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2019년 5월 20일 월요일

W4.19 연습문제: 변수분리 가능한 편미분 방정식(Separable Partial Differential Equations)

[커세라] 이과생을 위한 미분 방정식(Differential Equations for Engineers)

0주: 환영(Welcome)
W0.1 강좌 예고(Course Trailer)
W0.2~5 강좌 개요(Course Overview)
W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
(Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)

1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application: Compound interest)
W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application: Terminal Velocity)
W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application: RC Circuit)
W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)
W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)

2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)
W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)
W2.2/11강 중첩의 원리(Principle of Superposition)
W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)
W2.4/보강1 복소수(complex numbers)
W2.5/13강 일원 2차 상미분 방정식 (Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.6/14강 예제1: 2개의 실근(Case1: Distinct Real Roots)
W2.7/15강 예제2A: 켤레 복소수 근 A(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part A))
W2.8/16강 예제2B: 켤레 복소수 근 B(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part B))
W2.9/17강 예제3A: 중근 A(Case 3: Repeated Roots (Part A))
W2.10/18강 예제3B: 중근 B(Case 3: Repeated Roots (Part B))
W2.11 연습문제(Practice quiz: Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.12/19강 이원 2차 상미분 방정식(Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.13/20강 지수함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Exponential func.)
W2.14/21강 삼각함수꼴 이원항(A)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part A)
W2.15/22강 삼각함수꼴 이원항(B)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part B)
W2.16/23강 다항함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Polynomials)
W2.17/24강 공진현상(Resonance)
W2.18 연습문제(Practice quiz: Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.19/보강2 차원해석(Dimensional Analysis: Nondimensionalization)
W2.20/25강 응용: RLC회로(Application: RLC Circuit)
W2.21/26강 응용: 스프링에 달린 질량(Application: mass on a spring)
W2.22/27강 응용: 진자운동(Application: Pendulum)
W2.23/28강 응용: 감쇄공진(Application: Damped Resonance)
W2.24 평가문제(Week-2 Graded Quiz)

3주: 라플라스 변환과 급수해(Laplace Transform and Series Solution)
W3.1/29강 라플라스 변환의 정의(Definition of Laplace Transform)
W3.2/30강 상미분 방정식의 라플라스 변환(Laplace transform of a const.coeff.ode)
W3.3/31강 초기값 문제의 해(Solution of an Initial Value Problem)
W3.4 연습문제:라플라스 변환(Practice Quiz: Laplace Transform)
W3.5/32강 단위 계단함수(The heaviside step functions)
W3.6/33강 디랙-델타 함수(The Dirac delta function)
W3.7/34강 불연속 함수를 이원항으로 갖는 미분 방정식의 풀이
(solution of a discontinuous inhomogeneous term)
W3.8/35강 임펄스 함수를 이원항으로 갖는 미분 방정식의 풀이
(Solution of an impulsive inhomogeneous term)
W3.9 연습문제:불연속 및 임펄스 이원항
  (Practice Quiz: Discontinuous and Impulse Inhomogeneous Term)
W3.10/36강 급수해법(The Series Solution Method)
W3.11/37강 에어리 방정식의 급수해-A
  (Series solution of the Airy's equation-Part A)
W3.12/38강 에어리 방정식의 급수해-B
  (Series solution of the Airy's equation-Part B)
W3.13 연습문제:급수해(Practice Quiz: Series Solutions)

W3.14 평가문제(Week-3 Grade Quiz)

4주: 선형 미분 방정식 시스템(Systems of linear differential equation)
W4.1/보강3 행렬과 행렬식(Matrices and Determinant)
W4.2/보강4 고유치 및 고유값(Eigenvalue and Eigenvectors)
W4.3/39강 선형 일원 1차 미분방정식 시스템
(System of Homogeneous Linear 1-st order ODE)
W4.4/40강 실근 고유치(Distinct real eigenvalue)
W4.5/41강 복소수근 고유치(Complex-Conjugate eigenvalues)
W4.6 연습문제: 미분방정식 시스템(Systems of Differential Equations)
W4.7/42강 결합 진동자(Coupled Oscillator)
W4.8/43강 정규 모드(고유치)(Normal mode(eigenvalues))
W4.9/44강 정규 모드(고유 벡터)(Normal mode(eigenvectors))
W4.10 연습문제: 정규 모드(Practice Quiz: Normal Mode)
W4.11/45강 푸리에 급수(Fourier Series)
W4.12/46강 푸리에 사인 및 코사인 급수(Fourier Sine and Cosine Series)
W4.13/47강 푸리에 급수 예제(Fourier Series: Example)

W4.14 연습문제: 푸리에 급수(Practice Quiz: Fourier Series)

W4.15/보강5 편미분(Partial Derivatives)
W4.16/48강 확산방정식(The Diffusion Equation)
W4.17/49강 확산방정식 풀이: 변수분리
(Solution of the Diffusion Equation: Separation of Variables)
W4.18/50강 확산방정식 풀이: 고유치
(Solution of the Diffusion Equation: Eigenvalues)

W4.19 연습문제: 변수분리 가능한 편미분 방정식(Separable Partial Differential Equations)

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W4.18/50강 확산방정식 풀이:고유치(Solution of the Diffusion Equation: Eigenvalues)

W4.14 연습문제: 푸리에 급수(Practice Quiz: Fourier Series)

W4.15/보강5 편미분(Partial Derivatives)
W4.16/48강 확산방정식(The Diffusion Equation)
W4.17/49강 확산방정식 풀이: 변수분리
(Solution of the Diffusion Equation: Separation of Variables)

W4.18/50강 확산방정식 풀이:고유치
(Solution of the Diffusion Equation: Eigenvalues)/동영상/영문자막

관 내부로 도료를 분사하였을 때 도색의 농도는 길이와 시간의 함수 u(x,t) 다.

이 도색 농도 함도는 분사된 염료 분말의 확산 방정식으로부터 얻어진다. 시간과 길이의 변수가 포함된 확산 방정식(시간과 길이의 편미분 방정식)은 변수 분리를 통해 시간과 길이 각각의 상미분 방정식으로 분리 되었다. 이번 강의는 디리클레 경계조건을 가지고 확산 방정식 중 길이 변수 X=X(x) 인 방정식을 풀어보자. [디리클레 경계조건은 시간에 무관한 조건이었다.]

이 미분 방정식을 만족하는 해는 수없이 많다. X(x)=0 과 같이 단순한 해(trivial solution)도 이 방정식을 성립 하지만 무의미하다. 위의 방정식에서 특정한(discrete) λ 값에 대하여 성립하는 의미있는 해(non-trivial solution)를 구해보자. 특정 값(discrete value)에 대하여 그를 만족하는 X=X(x)인 함수가 있을 때 미분 방정식의 고유치(eigenvalues)와 고유함수(eigenfunctions)라 한다. [확산 방정식을 푸는 목표는 u(x,t)를 구하는 것이다. 변수 분리되었으므로 풀이의 목표는 X(x)를 구하는 것이다.]

미분 방정식의 해는 λ 값에 따라 달라질 수 있다는 것은 이미 알고 있다[특히 특성 방정식의 근의 꼴이 두 실근, 복소수 근, 중근이 될 수 있으며 그에 따라 풀이 방법도 달라진다]. (길이에 관한 해를 구하고 있으므로 λ>0인 경우에 한해 유의미 해를 구하기로 한다. λ가 항상 양의 실수를 가지도록 실수 μ 의 제곱을 사용하여 방정식을 정리하면,

일원 2차 미분 방정식을 풀어 해 X(x)를 구하면,

위 일반 해에서 경계조건을 적용하여 계수 A, B를 구해보자. 경계조건 x=0에서 cos(μ⋅0)=1 이므로 A는 반드시 0 이어야 한다. 두번째 항의 경우 sin(μ⋅0)=0 이므로 B는 반드시 0일 필요는 없다.

두번째 경계 조건 x=L을 적용해 보자. 앞서 A=0 이었으므로 cos(μ⋅L)이 어떤 값을 가져도 좋다. 하지만 두번째 항의 경우 B⋅sin(μ⋅L)=0 을 만족해야 한다. B=0으로 놓을 수도 있으나 으미없는 해가 된다. B≠0 이면 sin(μ⋅L)=0 이어야 한다.

주기함수 sin(μ⋅L)=0 을 만족하려면,

결국 특정 λ 와 그에 대응하는 해인 함수 X 는 다음과 같다. 이를 각각 고유치(eigenvalues)와 고유 벡터(eigenvectors)다.

[연습]------------------------------------------------------

W4.17/49강 확산방정식 풀이: 변수분리(Solution of the Diffusion Equation: Separation of Variables)

W4.14 연습문제: 푸리에 급수(Practice Quiz: Fourier Series)

W4.15/보강5 편미분(Partial Derivatives)
W4.16/48강 확산 방정식(The Diffusion Equation)

W4.17/49강 확산방정식 풀이: 변수분리
(Solution of the Diffusion Equation: Separation of ariables)/동영상/영문자막

앞으로 세편에 걸쳐 확산 방정식을 풀어보기로 한다. 앞의 강의편에서 얻은 확산 방정식은 다음과 같다. [좌변은 염색 농도 u(x,t)의 시간 t에 대한 1차미분, 우변은 길이 x에 대한 2차 미분 방정식]

먼저 변수 분리법으로 풀어보자. 염색농도 u(x,t)를 각 변수에 의존하는 두 함수의 곱이라고 가정(ansatz) 해보자.

미분 방정식의 해는 수없이 존재 할 수 있으며 위와 같은 꼴의 해도 그중 하나가 될 수 있다. 가설해는 특수해의 하나로 복수의 가설해를 중첩(superposition)하여 일반해를 구한다. 가설해를 확산 방정식에 대입하면 다음과 같다.

양변을 각각 x와 t의 변수로 분리해 놓음으로써 양변은 두 변수에 대해 서로 독립적인 관계가 된다. 분리된 양변은 어느 변수에도 독립이므로 (변수가 아니므로) 상수가 된다. 이를 변수분리 상수(separation constant, λ)라 한다.

변수분리 상수의 개념을 도입 함으로써 확산 방정식은 두개의 상미분 방정식으로 분리된다.

관의 양끝의 위치를 경계조건(boundary condition)으로 잡는다[미분 방정식을 완전히 풀려면 초기조건이 필요하다].

관의 양끝에 커다란 저장공간(reservoir)이 있어서 염료의 시간상 흐름은 없다고 하자. 관의 밖(경계)을 벗어나면 시간과 무관해 진다. T(t)에 상관 없이 경계에서 0이 되려면,

이를 일원 디리클레(homogeneous Dirichlet) 경계조건 이라고 한다. 이제 두개의 상미분 방정식과 경계조건을 얻었으므로 다음 편에는 시스템 방정식을 풀어보자. 고유치(eigenvalues) 문제다.

[연습]-----------------------------------------

W4.16/48강 확산 방정식(The Diffusion Equation)

W4.14 연습문제: 푸리에 급수(Practice Quiz: Fourier Series)

W4.15/보강5 편미분(Partial Derivatives)

W4.16/48강 확산 방정식(The Diffusion Equation)/동영상/영문자막

편미분 방정식(partial differential equation)의 예로 확산 방정식(diffusion equation)의 유도해 본다. '확산'은 매연이 대기중으로 퍼지는 양상으로 대기오염(air pollution)을 묘사하기도 한다. 이 예는 가는 관(tube)에 분사된 염료가 퍼져 내부를 도색시킨 농도 변화를 미분 방정식으로 묘사해보기로 한다.

[염료가 처음 분사된 입구쪽의 농도가 높다. 그리고 시간이 지남에 따라 염료의 농도가 변화한다. 확산은 시간과 길이의 함수다. 착색된 염료 농도 변화를 길이축 위치와 시간의 변화로 각각 고려하여 확산 방정식을 유도해 내기로 한다.]

관의 길이축 위치에 따라 농도 변화를 u(x,t)로 표현하자. u(x,t)의 차원은 관의 길이 분에 흡착된 염료의 질량이다.