아무나 하는 수학, 과학 & 라디오: W3.7/34강 불연속 함수를 이원항으로 갖는 상미분 방정식의 풀이

[커세라] 이과생을 위한 미분 방정식(Differential Equations for Engineers)

0주: 환영(Welcome)
W0.1 강좌 예고(Course Trailer)
W0.2~5 강좌 개요(Course Overview)
W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
(Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)

1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application: Compound interest)
W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application: Terminal Velocity)
W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application: RC Circuit)
W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)
W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)

2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)
W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)
W2.2/11강 중첩의 원리(Principle of Superposition)
W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)
W2.4/보강1 복소수(complex numbers)
W2.5/13강 일원 2차 상미분 방정식 (Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.6/14강 예제1: 2개의 실근(Case1: Distinct Real Roots)
W2.7/15강 예제2A: 켤레 복소수 근 A(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part A))
W2.8/16강 예제2B: 켤레 복소수 근 B(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part B))
W2.9/17강 예제3A: 중근 A(Case 3: Repeated Roots (Part A))
W2.10/18강 예제3B: 중근 B(Case 3: Repeated Roots (Part B))
W2.11 연습문제(Practice quiz: Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.12/19강 이원 2차 상미분 방정식(Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.13/20강 지수함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Exponential func.)
W2.14/21강 삼각함수꼴 이원항(A)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part A)
W2.15/22강 삼각함수꼴 이원항(B)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part B)
W2.16/23강 다항함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Polynomials)
W2.17/24강 공진현상(Resonance)
W2.18 연습문제(Practice quiz: Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.19/보강2 차원해석(Dimensional Analysis: Nondimensionalization)
W2.20/25강 응용: RLC회로(Application: RLC Circuit)
W2.21/26강 응용: 스프링에 달린 질량(Application: mass on a spring)
W2.22/27강 응용: 진자운동(Application: Pendulum)
W2.23/28강 응용: 감쇄공진(Application: Damped Resonance)
W2.24 평가문제(Week-2 Graded Quiz)

3주: 라플라스 변환과 급수해(Laplace Transform and Series Solution)
W3.1/29강 라플라스 변환의 정의(Definition of Laplace Transform)
W3.2/30강 상미분 방정식의 라플라스 변환(Laplace transform of a const.coeff.ode)
W3.3/31강 초기값 문제의 해(Solution of an Initial Value Problem)
W3.4 연습문제:라플라스 변환(Practice Quiz: Laplace Transform)
W3.5/32강 단위 계단함수(The heaviside step functions)
W3.6/33강 디랙-델타 함수(The Dirac delta function)

W3.7/34강 불연속 함수를 이원항으로 갖는 미분 방정식의 풀이
(solution of a discontinuous inhomogeneous term)/동영상/영문자막

미분 방정식 풀이의 대원칙은 적분이다. 하지만 쉽지 않다. 그래서 적분하기 수월한 해를 미리 상정하는 방법(ansatz)을 도입했다. 복합적인 현상(진자운동, RLC회로 등)을 기술하거나 여러 이론(우주론 방정식)을 엮어놓은 미분 방정식의 형태는 원하는 만큼 단순하지 않다(inhomogeneous). 더구나 이원항(inhomogeneous term)에 비연속(discontinuous) 함수가 포함된 경우도 있다. 라플라스 변환은 미분 방정식 풀이에 매번 적분을 수행하는 번거로움을 줄여준다. 더구나 비연속 함수가 포함된 미분 방정식의 풀이(적분)을 가능케 한다. 단, 미리 계산된 변환표를 참조해야 하므로 상당한 대수 연산과정(미적분 연산의 선형성 활용, 인수분해, 분수식 가감산 분리등)을 필요로 한다.

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이원항(inhomogeneous term)에 계단 함수(heaviside step function) u_1(t)가 포함된 미분 방정식의 예제를 풀어보자.

이 미분 방정식의 우변은 t<1 일때 1, t≥1일때 0이다. 이 미분 방정식의 우변을 힘(force)의 작용을 기술한 것이라고 한다면, t가 1보다 작은 동안에는 지속적으로 힘이 작용하다 t가 1보다 큰 구간에서는 힘의 작용이 없다는 의미다[힘이 다르게 작용하는 임계 영역이 있음]. 초기 조건에 따라 정지한 상태에서 시작한다. 우변에 불연속 함수가 포함된 미분 방정식으로 라플라스 변환을 적용하기에 적합한 형태다. 라플라스 변환표를 참조하여 미분 방정식을 변환시켜보자.

정리하면,

쉽게 해를 구했다. 이제 X 를 라플라스 역변환할 차례다. 대수연산이 필요하다. 역변환 역시 라플라스 변환표를 이용한다. 변환표에 있는 미리계산된 항목에 맞추기 위해 s의 분수식을 선형 결합의 꼴로 분리해 내어야 한다.

역변환 하기전에 라플라스 변환 해 X(t)를 다루기 수월하게 분수식에서 분자를 선형분리하자. F(s)를 다음과 같이 놓으면,