아무나 하는 수학, 과학 & 라디오: W3.12/38강 에어리 방정식의 급수해-B(Series solution of the Airy's equation-Part B)

[커세라] 이과생을 위한 미분 방정식(Differential Equations for Engineers)

0주: 환영(Welcome)
W0.1 강좌 예고(Course Trailer)
W0.2~5 강좌 개요(Course Overview)
W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
(Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)

1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application: Compound interest)
W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application: Terminal Velocity)
W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application: RC Circuit)
W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)
W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)

2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)
W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)
W2.2/11강 중첩의 원리(Principle of Superposition)
W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)
W2.4/보강1 복소수(complex numbers)
W2.5/13강 일원 2차 상미분 방정식 (Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.6/14강 예제1: 2개의 실근(Case1: Distinct Real Roots)
W2.7/15강 예제2A: 켤레 복소수 근 A(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part A))
W2.8/16강 예제2B: 켤레 복소수 근 B(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part B))
W2.9/17강 예제3A: 중근 A(Case 3: Repeated Roots (Part A))
W2.10/18강 예제3B: 중근 B(Case 3: Repeated Roots (Part B))
W2.11 연습문제(Practice quiz: Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.12/19강 이원 2차 상미분 방정식(Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.13/20강 지수함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Exponential func.)
W2.14/21강 삼각함수꼴 이원항(A)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part A)
W2.15/22강 삼각함수꼴 이원항(B)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part B)
W2.16/23강 다항함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Polynomials)
W2.17/24강 공진현상(Resonance)
W2.18 연습문제(Practice quiz: Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.19/보강2 차원해석(Dimensional Analysis: Nondimensionalization)
W2.20/25강 응용: RLC회로(Application: RLC Circuit)
W2.21/26강 응용: 스프링에 달린 질량(Application: mass on a spring)
W2.22/27강 응용: 진자운동(Application: Pendulum)
W2.23/28강 응용: 감쇄공진(Application: Damped Resonance)
W2.24 평가문제(Week-2 Graded Quiz)

3주: 라플라스 변환과 급수해(Laplace Transform and Series Solution)
W3.1/29강 라플라스 변환의 정의(Definition of Laplace Transform)
W3.2/30강 상미분 방정식의 라플라스 변환(Laplace transform of a const.coeff.ode)
W3.3/31강 초기값 문제의 해(Solution of an Initial Value Problem)
W3.4 연습문제:라플라스 변환(Practice Quiz: Laplace Transform)
W3.5/32강 단위 계단함수(The heaviside step functions)
W3.6/33강 디랙-델타 함수(The Dirac delta function)
W3.7/34강 불연속 함수를 이원항으로 갖는 미분 방정식의 풀이
(solution of a discontinuous inhomogeneous term)
W3.8/35강 임펄스 함수를 이원항으로 갖는 미분 방정식의 풀이
(Solution of an impulsive inhomogeneous term)
W3.9 연습문제:불연속 및 임펄스 이원항
(Practice Quiz: Discontinuous and Impulse Inhomogeneous Term)
W3.10/36강 급수해법(The Series Solution Method)
W3.11/37강 에어리 방정식의 급수해-A
(Series solution of the Airy's equation-Part A)

W3.12/38강 에어리 방정식의 급수해-B
(Series solution of the Airy's equation-Part B)/동영상/영문자막

계수가 상수가 아닌 미분 방정식을 풀기는 불가능 하므로 수치해석 또는 급수해 방법으로 근사 해를 구한다. 앞서 에어리 방정식(Airy's equation)의 해를 급수해 방법으로 구했다.

가설해를 급수로 놓고 구한 해는 다음과 같다. 두개의 해에 대한 선형 결합이다. 두개의 해 y_0(x)와 y_1(x)는 서로 독립적인 급수로서 각각 에어리 함수(Airy Function)라 한다.

두 에어리 함수는 아주 특수한 함수로 취급되는데 그 모양이 아주 특이하다. 두 에어리 함수의 그래프를 그려보자. 어떤 함수의 그래프를 그리기 위해 x=0에서의 값과 미분을 구한다.

에어리 함수는 x=0에서 값이 아주 명확하다. 하지만 그 이외의 x에서 에어리 함수의 값을 구하기는 매우 곤란하다. 급수에서 x의 차수가 높을 수록 계수가 작아지긴 하지만 차수가 정해지지 않은 고차 다항식이기 때문이다. 컴퓨터를 활용한 각종 수학 소프트웨어로 그래프를 그려보면 다음과 같다.

이 에어리 함수는 특이하게도 x가 0보다 작은 음의 구간(x<0)에서 진동(Oscillatory)하며 x가 0을 넘어서는 양의 구간(x≥0)에서는 지수함수적(Exponential)인 증가 함수가 된다. 에어리 함수가 이런 특성을 갖게된 이유를 앞서 풀어본 미분 방정식의 해를 통해 정성적으로 살펴보면 다음과 같다.