1주: 행렬(Matrics)
W1.1 첫째주 강의 안내(Intro to Week One)
W1.5 연습문제:행렬의 정의(Practice Quiz:Definition of Matrices)
W1.9 연습문제:전치행렬과 역행렬(Practice Quiz:Transpose and Inverse Matrix)
W1.13 연습문제:직교행렬(Practice Quiz: Orthogonal Matrix)
W1.14 첫째주 평가문제(Week One Quiz)
2주: 선형 방정식 시스템(Systems of Linear Equations)
W2.1 둘째 주 강의안내(Intro. to Week Two)
W2.3 기약행사다리꼴(RREF: Reduced Row Echelon Form)
W2.5 연습문제:가우스 소거법(Practice Quiz:Gaussian Elimination)
W2.9 연습문제:LU 분해(Practice Quiz: LU Decomposition)
W2.10 둘째주 평가문제(Week Two Quiz)
3주: 벡터 공간(Vector Space)/이 강의를 수강하는 이유
W3.1 셋째주 강의안내(Intro. to Week Three)
W3.2 벡터 공간(Vector Spaces)
W3.3 선형독립(Linear Independence)
W3.4 선형생성, 기저 그리고 차원(Span, Basis and Dimension)
W3.5 연습문제:벡터공간(Practice Quiz:Vector Space Definition)
W3.6 그람-슈미트 알고리즘(Gram-Schmidt Process)
W3.7 그람-슈미트 알고리즘 예제(Gram-Schmidt Process Example)
W3.8 연습문제:그람-슈미트 알고리즘(Practice Quiz:Gram-Schmidt Process)
W3.9 영 공간(Null Space)
W3.10 영 공간 활용(Application of the null space)/동영상/영문자막
- 영공간은 미결 연립 방정식(Underdetermined system, 연립 방정식에서 미지수에 비해 방정식의 갯수가 적을 때)의 일반해(general solution)를 구하는 방법으로 활용된다. Underdetermined system을 행렬로 나타낼 경우, 행의 수가 열의 수보다 작다.
- u 를 Null(A)의 일반 벡터(general vector)라고 하자. 일반 벡터는 기저 벡터들의 집합인 영공간의 기저 벡터를 선형 조합하여 생성한 벡터다.
- v 를 연립 방정식 Ax=b 의 임의 해라고 하자. Underdetermined system 에서 해는 다수 존재 할 수 있다.
- x 를 Ax = b의 일반 해라고 하고 x = u + v 로 놓을 수 있다. 행렬 A 에 대한 영공간(기저 벡터들의 집합)에서 선형 생성된 u는 행렬 A 를 0으로 만드는 벡터라는 점에 유의하자. 이제 일반 해 x는 u로 인해 그 수가 매우 많아진다.
이 성질을 이용해 미결 연립 방정식(Underdetermined system)의 일반해를 구한다.
- 예를 들어보자. 다음과 같은 연립방정식이 있다. 미지수는 셋이지만 방정식은 둘이다. Underdetermined System이다.
행렬식으로 표현하면,
연립방정식을 풀기 위해 Augmented Matrix로 표현하여 상위 삼각행렬(Upper Triangular)을 만들자. Undetermined System 이기 때문에 RREF가 되며 두개의 고정 변수와 한개의 자유변수가 나온다.
영공간(Null Space)와 특정 해(particular solution)으로 나눈다.
그리고,
이제 일반해(general solution)를 구하자.
연습: 다음과 같은 선형 시스템의 일반해를 구하라.
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선형 시스템의 행렬 표시,
Augmented Matrix에서 RREF,
영공간의 해,
특정 해,
마침내 일반해,
