W2-7: 연습문제: 편미분(Practice Quiz: Partial Derivatives)

W2-7: 연습문제: 편미분(Practice Quiz: Partial Derivatives)

W2-2: 10강. 편미분(Partial Derivatives)

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[커세라] 이과생을 위한 벡터 미적분
W2-2: 10강. 편미분(Partial Derivatives)



편미분은 다중변수(multi-variable)의 미분의 개념은 간단하다. 다중변수의 함수를 한 변수에 대하여 미분 할 경우 나머지 변수는 상수인 것처럼 취급한다.



미분의 표기법:
함수에 ' 을 붙여 상미분 했음을 표시한다. 편미분의 경우 아랫첨자로 해당 변수로 편미분 했음을 표시한다.
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미분(도함수)의 응용으로 가장 널리 활용되는 테일러 급수(Taylor Series)가 있다. '테일러 급수'란,

"테일러 급수는 결국 x = a에서 f(x)와 동일한 미분계수를 갖는 어떤 다항함수로 f(x)를 근사시키는 것입니다." [링크]

특히 x=0 에서 테일러 급수를 맥로린 급수(Maclaurin series)라 한다. [링크] [Link]

"테일러 급수가 필요한 이유는 쉽게 말하면 우리가 잘 모르거나 복잡한 함수를 다루기 쉽고 이해하기 쉬운 다항함수로 대체시키기 위함입니다. 또한 어떤 함수를 테일러 급수로 표현하면 그 함수의 특성을 분석하기가 좀더 용이해지기 때문입니다." [링크]



다중변수 함수도 편미분을 이용하면 테일러 급수가 가능하다.

복잡한 함수를 급수로 표현하는 방법으로 퓨리에 급수(Fourier series)가 있다. 테일러 급수가 미분을 활용한다면 퓨리어 급수는 주기함수를 활용한다. 진폭과 주기가 다른 여러 주기함수의 합으로 세상의 모든 현상을 표현할 수 있다. 원리는 알겠는데 이 진폭과 주기를 찾기는 너무나 어렵다. [참고: 이과생을 위한 미분 방정식 강좌의 퓨리에 급수]



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Q1.

Q2.

W2-1: 2주차 공부할 내용 소개(Introduction)

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[커세라] 이과생을 위한 벡터 미적분
W2-1: 2주차 공부할 내용 소개(Introduction)




이과생을 위한 벡터 미적분(Vector calculus for engineers)의 2주차에서 공부할 내용은 벡터장과 스칼라장의 미분법에 대하여 배운다(How to differentiate scalar and vector fields).

1. 편미분(Partial Derivative)을 정의하고 이를 이용해 최소 자승법(the method of least squares)을 유도해본다.

2. 다중 연쇄 미분(Chain Rule)을 유도한다. 화학공학에서 중요한 3중 연쇄 미분법을 공부한다(the triple product rule familiar to chemical engineers).

3. 스칼라장의 그래디언트(the gradient of a scalar field), 벡터장의 다이버젼스와 컬(divergence and curl of a vector field)를 배운다.

4. 벡터 미분등가 공식(vector derivative identities) 공식들을 유도한다. 크로네커 델타(Kronecker delta)와 리바이 시비타 기호(Levi-Civita symbol)를 활용할 것이다. 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)은 전자기 파동(electromagnetic waves)을 어떻게 기술 했는지 알아본다.

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W1-14: 1주차 평가문제(Week One Assessment)

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[커세라] 이과생을 위한 벡터 미적분
W1-14: 1주차 평가문제(Week One Assessment)

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Soln)

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Soln)

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Soln)

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Soln)

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Soln)

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Soln)

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Soln)

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Soln)

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Soln)
A vector field multiplied by a scalar is VECTOR field.
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Soln)


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W1-13: 9강. 스칼라장과 벡터장(Scalar and Vector Field)

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[커세라] 이과생을 위한 벡터 미적분
W1-13: 9강. 스칼라장과 벡터장(Scalar and Vector Field)





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Q1. Give some physical examples of scalar and vector fields


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W1-12: 연습문제:벡터 대수(Practice Quiz: Vector Algebra)

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[커세라] 이과생을 위한 벡터 미적분
W1-12: 연습문제:벡터 대수(Practice Quiz: Vector Algebra)

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블로그/게시판에서 수학식 입력(Latex MathJax 활용)

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[커세라] 이과생을 위한 벡터 미적분
블로그/게시판에 수학식 입력
(How to Write Math in the Discussions using MathJax)

1. HTML 편집기에서 가장 첫줄에 아래의 스크립트 추가

<script type="text/javascript" async
  src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.1/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML">
</script>

2. 일반 편집기 상태에서 수식을 입력하려면 이중 달러 기호 사이에 Latex MathJax 수식을 써 넣는다.

$$

...Latex MathJax 수식...

$$

Latex MathJax 수식의 예:

(1) 함수

$$

f(x)=\dfrac{1}{e}x^4-ex^2+c

$$

$$f(x)=\dfrac{1}{e}x^4-ex^2+c$$

(2) 첨자

$$

a_1b_1 - a_2b_2

$$

$$a_1b_1 - a_2b_2$$

$$

a^1b^1 - a^2b^2

$$

$$a^1b^1 - a^2b^2$$

(3) 행렬

$$

\mathbf A\times\mathbf B =

  \begin{vmatrix}

    \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\
    A_1 & B_1 & C_1 \\
    B_1 & B_2 & B_3 \\

  \end{vmatrix}

$$

$$
\mathbf A\times\mathbf B =
  \begin{vmatrix}
    \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\
    A_1 & B_1 & C_1 \\
    B_1 & B_2 & B_3 \\
  \end{vmatrix}
$$

(4) 스칼라 곱

$$

\mathbf A \cdot \mathbf B = \mathbf B \cdot \mathbf A

$$

$$
\mathbf A \cdot \mathbf B = \mathbf B \cdot \mathbf A
$$

(5) 분수식

$$

frac{x-x_0}{u_1} = \frac{y-y_0}{u_2} = \frac{z-z_0}{u_3}

$$

$$\frac{x-x_0}{u_1} = \frac{y-y_0}{u_2} = \frac{z-z_0}{u_3}$$

(6) 로마자(델타)

$$

\delta_{ij} =

  \begin{cases}

    1, & \text{if }  i=j \\
    0, & \text{if } i \ne j

  \end{cases}

$$

$$
\delta_{ij} =
  \begin{cases}
    1, & \text{if }  i=j \\
    0, & \text{if } i \ne j
  \end{cases}
$$

(7)

$$

f(n) =

  \begin{cases}

    n/2,  & \text{if $n$ is even} \\
    3n+1, & \text{if $n$ is odd}

  \end{cases}

$$

$$
f(n) =
  \begin{cases}
    n/2,  & \text{if $n$ is even} \\
    3n+1, & \text{if $n$ is odd}
  \end{cases}
$$

(8) 편미분

$$

\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}= \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}

$$

$$
\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}= \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}
$$

(9) Nabla

$$

\nabla \times \nabla f

$$

$$
\nabla \times \nabla f
$$

(10) Integral

$$

\displaystyle \int_{y_0}^{y_1} \int_{x_0}^{x_1} f(x, y) \, dx \, dy

$$

$$
\displaystyle \int_{y_0}^{y_1} \int_{x_0}^{x_1} f(x, y) \, dx \, dy
$$

(11) Hat

$$

\displaystyle \frac{d\hat{\mathbf r}}{d\theta} = \hat{\theta}

$$

$$
\displaystyle \frac{d\hat{\mathbf r}}{d\theta} = \hat{\theta}
$$

(12) Line Integral

$$

\int_V \left(\nabla\cdot {\mathbf u}\right) \,dV = \oint_S {\mathbf u}\cdot d{\mathbf S}

$$

$$
\int_V \left(\nabla\cdot {\mathbf u}\right) \,dV = \oint_S {\mathbf u}\cdot d{\mathbf S}
$$

$$

\int_S \left(\nabla \times {\mathbf u}\right) \cdot d{\mathbf S} = \oint_C {\mathbf u}\cdot d{\mathbf r}

$$

$$
\int_S \left(\nabla \times {\mathbf u}\right) \cdot d{\mathbf S} = \oint_C {\mathbf u}\cdot d{\mathbf r}
$$

더많은 수식의 예는 아래 링크 참조
https://math.meta.stackexchange.com/questions/5020/mathjax-basic-tutorial-and-quick-reference

수식을 Latex 구문으로 변환해주는 사이트
http://www.hostmath.com/