W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application:Terminal Velocity)

[커세라] 이과생을 위한 미분 방정식(Differential Equations for Engineers)

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1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
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    W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
    W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
    W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application:Compound interest)

W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application:Terminal Velocity)/동영상/영문자막



뉴턴의 운동 법칙을 따르는 물체의 운동을 미분 방정식으로 풀어보자. 중력이 작용하는 공간에서 아무런 영향을 받지 않고 떨어지는 자유낙하(Free-Fall)에 비해 스카이 다이버의 낙하에 바람의 영향은 무시할 수 없다.

힘을 다룰 때 작용하는 방향을 따지는 일은 매우 중요하다. 좌표체계를 세우고 그 방향을 정한다. 중력의 영향을 받는 공간의 낙하는 수직 방향의 좌표축 만을 고려하기로 하자. 높이 방향과 떨어지는 방향은 서로 반대다.

중력 가속도(등가속도 로써 상수 g⋍9.8 m/sec^2)를 받으며 떨어지는 물체에 바람의 영향을 고려하자. 떨어지는 물체가 받는 힘은 다음과 같다.

F = -mg - kV

자유 낙하는 등가속 운동이지만 바람의 저항으로 인해 이 운동은 등가속 운동이 아니다. 뉴튼의 법칙에 따라 가속 운동하는 물체가 받는 힘은 질량 곱하기 가속도다.

F= ma = m(dV/dt)

위의 두 힘은 낙하하는 물체에 작용하는 힘 이므로 갖게 놓아 속도에 관한 선형 1차 미분방정식을 마련하였다.

dV/dt + (k/m)*V = -g

이 미분 방정식을 풀어 등가속도 낙하운동을 하는 물체에 대하여 시간상 속도의 변화 V(t)를 구할 수 있다.

V(t) = (-mg/k)*(1-exp(-kt/m))

낙하는 물체의 가속 운동은 아주 특이점이 있는데 바람의 저항으로 인해 언잰가는 가속이  없는 시점이 올수 있다. 이를 평형 상태(Equilibrium)이라 한다.

dV/dt = 0

미분 방정식은,

(k/m)*V = -g

이때의 속도를 V_∞ 라 하자.

V_∞ = -mg/k

그나저나 속도가 음수? 속도와 가속도는 벡터로써 x 축과 반대 방향이라는 의미다.

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