0주: 환영(Welcome)
W0.1 강좌 예고(Course Trailer)
W0.2~5 강좌 개요(Course Overview)
W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
(Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)
1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application: Compound interest)
W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application: Terminal Velocity)
W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application: RC Circuit)
W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)
W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)
2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)
W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)
W2.2/11강 중첩의 원리(Principle of Superposition)
W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)
W2.4/보강1 복소수(complex numbers)
W2.5/13강 일원 2차 상미분 방정식
(Homogeneous 2nd-order ODEs with constant coefficients)
W2.6/14강 예제1: 2개의 실근(Case1: Distinct Real Roots)
W2.7/15강 예제2A: 켤레 복소수 근 A(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part A))
W2.8/16강 예제2B: 켤레 복소수 근 B(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part B))
W2.9/17강 예제3A: 중근 A(Case 3: Repeated Roots (Part A))
W2.10/18강 예제3B: 중근 B(Case 3: Repeated Roots (Part B))
W2.11 연습문제(Practice quiz: Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.12/19강 이원 2차 상미분 방정식(Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.13/20강 지수함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Exponential func.)/동영상/영문자막
이원 2차 미분 방정식을 몇가지 예를 풀어 보자. 이원 방정식은 방정식 왼편에 0이 아닌 t의 함수 g(t)를 가지는 경우다. 이때 x가 t의 미분가능 하지만 서로 비종속 변수라는 점을 기억하자.
* 현상을 일으킨 원인이 x만이 아니라 g(t)가 더 있어서 이원(異源, inheterogeneous, heterogeneous). 그 원인에 대한 각각의 해는 선형 결합으로 일반화 할 수 있음(변수가 비종속이라 선형성을 가짐). 표기할 때 굳이 x(t)로 표기하지 않고 마치 x를 변수 취급. 다만 t에 대한 미분의 의미로 점을 찍음.
첫번째 예는 이원항(inheterogeneous term)의 꼴이 지수함수인 경우다. [지수함수의 발견은 축복이다!] 다음과 같은 이원 2차 미분방정식을 풀어보자. 방정식을 완성(미지 계수의 확정)하기 위한 초기조건도 함께 주어졌다.
앞서 이원 미분 방정식의 풀이 과정을 3단계로 나눴었다 첫단계는 미분 변수(실은 t의 함수) x의 일원 미분 방정식(homogeneous DE)으로 놓고 x 가 지수함수라는 가설(ansatz)을 세운다. [미분해도 원형이 변하지 않는 지수함수라니!] 이로부터 얻은 특성 방정식(characteristic equation)은 쉽게 인수분해 된다. 두개의 특수해(가설로부터 얻은)를 구한 후 중첩(superposition)의 원리를 적용하여로 일반화 시킨다. 일반 해에 두개의 가설해에 곱해진 미지 계수가 있다.
두번째 단계는 특수해(particular solution) 구하기다. 방정식의 왼편에 어떤 값(혹은 함수)를 대입해도 오른편이 나와야 한다. 왼편의 변수에 상수를 대입하면 그미분은 오른편처럼 지수함수 꼴이 되지 않는다. x가 e^(2t)를 포함한 함수라는 가설을 세우자. 다행히(놀랍게도!) 지수함수는 몇번을 미분해도 원형이 나온다. 가설 x를 미분식에 적용하므로서 방정식을 만족 시킬 수 있다. 지수함수의 특징 덕분에 x를 방정식에 적용후 양변의 e^(2t)를 소거 시킨후 특수해를 구할 수 있다. 이렇게 얻은 특수해는 결국 x가 지수함수 꼴을 가진다는 가설에서 얻어진 것이다.
세번째 단계는 일반해 구하기다. 일원해(homogeneous solution)와 특수해(particular solution)을 모두 중첩(superposition)해 놓음으로써 구할 수 있다.
일반해에 남아있는 두 미지계수는 초기조건(initial condition)을 적용하여 구한다.
간단한 2원 1차 연립 방정식으로 미지 상수를 구하면,
지수함수꼴 이원항을 가진 2차 미분 방정식의 해
[연습]-----------------------------------------------------------------
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