[00:00] 브라이언: 좋습니다. 폴. 전편에서 수학공부를 좀 했죠. 당신이 보여준 π(원주율)이 어떻게 (RW 측량의) k 값에 따라 변할 수 있는지 수학적으로 보여 줬죠. 하지만 저는 원주율이 달라질 수 있다는 점을 머리 속에서 그려볼 수 없는 사람들 중 하나예요. 지금 가지고 있는 어려움은 우리가 삼차원에 시간이 더해진 공간에 살고 있다는 거죠. 그것을 사차원이라고 합니다. 그런데 사차원을 시각화 할 수 없다는 거예요. 하지만 삼차원 중 하나를 빼고 생각해 볼 수 있겠다는 묘안이 떠오르긴 하네요. 뭐, 아니면 두개를 빼봐도 되구요.
* 구면좌표계의 사용: 공간을 X,Y,Z 세개의 개별 차원으로 표현 했다면 그 중 하나를 임의로 빼고 생각 하기 어렵다. 각축으로 독립적인 운동을 할 수 있기 때문이다. 구면 좌표계를 사용 하므로서 차원을 갖는 축은 오직 r 뿐이다. 차원이 없는 두 각도축은 r에 의존한다. 차원이 없는 각도를 생략(dθ=0, dφ=0 으로 놓음으로써)한다고 측량의 차원에 영향을 주지 않는다.
폴: 맞아요. 기묘한 기하학을 이해 해 볼 한가지 방법은 우리의 삼차원 우주가 실제로 사차원에서 휘어졌다고 상상해 보는 겁니다. 세개의 공간 차원, 줄여서 삼차원이라 하는 것을 사차원에서 X, Y 그리고 Z로 표현된 곡면이라고 해보는 겁니다. (상상이 잘 않된다면)꼭 그럴 필요는 없겠죠. 실제로 사차원이 정말 있을 수 있는 것 같지 않잖아요. 그냥 측량(the metrics)을 바꿔보지요. 측량은 (공간을) 이해하는데 아주 도움이 됩니다. 물론 앞서 말한대로 사차원에 대한 설명을 아무리 들어도 한쪽 귀에서 다른 쪽 귀로 빠져나갈 겁니다. 그래서 아주 흔히 하는 비유는 (공간 차원 하나를 줄여서) 이차원 우주를 상상해 보는 겁니다. (이차원)평면(surface)을 상정 해 봅니다. 대개 이차원 우주에는 벌레가 살고 있죠. (날지는 못하고)평면위를 기어다닐 뿐 입니다. 그리고 삼차원에서 휘어져 있다고 상상해 봅시다. (평면을 기어 다니는 벌래는 이차원의 세계에 살고 있다.) 하지만 그 평면(벌래의 우주)가 삼차원에서 휘어 있다. 이는 k 값에 따른 공간 변화에 대한 비유라고 볼 수 있습니다.
* 우리가 사는 세계의 실제 공간은 세 좌표값 반지름 r 과 두 각도 θ, φ 로 표현 한 3차원이다. 하지만 측량의 논의를 단순화하기 위해 φ를 고정 시켰다는 점을 상기하자. 반지름과 θ 만으로 단순화 시켜도 문제 없는 이유는 우주는 균일하기 때문이다. 균일한 구에서 한 단면 만을 다룬다.
브라이언: 그럼 그 벌래는 지구 표면을 기어다니는 것과 다르지 않군요. 우리도 벌래처럼 표면위에 있죠. 물론 우리는 지구를 파고 들어가거나 우주로 튀어나갈 수 있다는 생각도 할 수 있습니다. 하지만 우리가 생각할 수 있는 차원은 평면이라고 상상해야 합니다. 표면에서 밑으로 혹은 공중으로 올라가는 선택의 여지가 아예 없습니다.
그럼 k 가 0보다 큰 경우를 생각해 보도록 합시다. 이때(k>0) (원주율)파이는 3.15159265.... 보다 작았습니다. 즉, 구의 표면에 비유 할 수 있겠군요.
[01:41] 폴: 구(sphere)에서 원주율 파이를 어떻게 측정 할까요? 이렇게 상상해보죠. 이 중간에 깃발을 꼽고 잘 훈련된 벌레 여러마리가 전 방향으로 동일한 거리를 기어 나가도록 했다고 합시다. 그 벌래들의 대열은 원을 형성 하겠죠. 그리고 그 원의 둘레를 돌아볼 수 있어요. 그리고 그 둘레가 원주율 파이 곱하기 지름보다 작다는 것을 알게 될 겁니다.
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[01:57] 브라이언: 지구의 표면에 비유하자면, 우리가 어디에 거주하든 북극 혹은 남극을 향해 간다고 생각해봅시다. 그런후 적도를 향해 깃발을 내려 보낸다고 합시다. 그리고 앞으로 쭉 나가면서 둘레를 쟀다고 해봅시다. 멀리 내려 갈수록 둘레의 길이가 달라지죠. 평평하지 않고 굽어 있어요. 그러니까 원주의 길이가 짧아지게 됩니다.
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[02:19] 폴: 게다가 북극에서 출발하여 남극까지 걸어갈 수도 있어요.
[02:23] 브라이언: 아. 맞아요.
[02:24] 폴: 그럴경우 극점에서 둘레는 0이 되겠지요.
[02:26] 브라이언: 맞습니다.
[02:27] 폴: 그런데 북극에서 남극까지 가는 동안 내내 반경은 계속 증가 했지만 마침내 둘레는 0이 되었습니다.
[02:33] 브라이언: 맞아요.
[02:34] 그러고 보니 다 맞아 떨어지네요. (RW측량에서 k>0 일 경우 반경이 길어지면서 원주율이 감소하여 결국 0이되었다.)
[02:36] 폴: 그러니까 이것이 우리의 우주(모형) 예상 중 하나 입니다. k 가 0보다 크다면 우주의 모습은 구에 비유될 수 있어요. (우주의 모습이 '구'라는 것이 아니다. '구'에 '비유(analogy)'될 수 있다는 점을 명심하자.)
[02:41] 그리고 이 생각은 우주의 모습에 대한 여러개의 가능성 중에 하나 입니다. k>0 인 우주 모습에서 원주율이 점점 줄어들게 된다는 것을 보여 줬습니다.
[02:46] 브라이언: 그렇군요.
[02:46] 폴: 작은(반경) 규모에서의 원주율. 방안에서 원을 그려봐야 크게 다를 것 없어요. 하지만 점점 규모를 넓혀서 반경이 우주의 규모까지 길어지면(수십억 광년) 원주율은 급격하게 줄어들 겁니다.
[02:56] 브라이언: 맞습니다.
[02:56] 폴: k>0 인 우주 모습의 두번째 예상은 평행선이 마침내 만난다는 겁니다.
[03:01] 브라이언: (평행선이) 만난 다구요? (만나면 평행선이 아니지?)
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[03:01] 그 말은, 그러니까 예를 들어 지구 적도에서 직각으로, 어쨌든 구 표면에서 극점을 향해 선을 그으면 이 두 선이 결국 만나게 된다는 뜻이군요. 이 경우 만나는 곳이 바로 극점이 되겠구요. 그러니까 90도가 되는 지점 이네요. 90도 아니면 180도, 또 다른 90도를 더한 지점이 있겠군요. 그럼 삼각형의 내각 합이 180도를 넘습니다.
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[03:25] 폴: 맞아요. 이런 모습(k>0)의 우주에서 평행선은 (언잰가) 만납니다. 물론 이차원의 비유에 그치지 않습니다. 그러니까 만일 두개의 레이져 광선을 발사하면 정확히 앞을 향해야 겠죠, 결국 두선은 만납니다.
[03:36] 브라이언: 네.
[03:36] 폴: 거리의 규모를 우주의 반경까지 확장 하면, 아주 아주 크게 보는 거죠. 이런 걸 실험실 안에서는 해볼 수 없어요. 그럼 이런 우주(k>0 인 구)의 또 다른 가능성(증거)는 어떤 방향으로든 아주 멀리가면 출발했던 그 지점으로 다시 돌아오게 됩니다.
[03:50] 브라이언: 맞아요. 모든게 자체적으로 감쌓여 있죠. 그러니까, 그 우주에서 빠져나올 수 없어요. 그 안에 빠져 버린 것과 같아요. 그러 유한(finite) 하군요.
[03:58] 폴: 네!
[03:58] 브라이언: 그래요? 이 구의 표면을 쭉 훓고 지나가면서 누적하면 표면적을 구하죠. 구의 표면적은 유한 하잖아요.
[04:03] 폴: 네. 그것이 소싯적 항상 저를 괴롭혔어요. 왜냐면, 어떻게 우주가 유한 할 수 있을지 설명하는 우주론에 관한 책을 읽곤 했는데 그리고 저는 납득 할 수 없었습니다. 어떻게 우주가 유한 할 수 있죠? 유한 하다는 말은 만일 우리가 우주선을 타고 멀리 가다보면 "여기가 우주의 끝이니 넘지 마시오"라고 써있는 담장을 만나게 될지도 모르는 거잖아요. 도데체 다른 쪽 담장은 어디에 있을까요? 이 생각은 참 납득할 수 없었습니다. 하지만 이렇게 생각해 볼 수 있죠. 우주선을 타고 정말 아주 멀리 가다보면 결국 내 등뒤에 도달 할 것입니다.
[04:27] 브라이언: 맞군요. 그러니까 우리 우주에서 모두 제자리가 될 겁니다. 한 방향으로 아주 오랜 시간을 두고 가다보면(은근히 '시간'이 끼어들다.), 우주가 이런 모습을 하고 있는 한 결국 출발지에 도달 하겠죠.
[04:36] 폴: 맞습니다. 저는 항상 이것이 공상 과학(SF) 영화에서나 나올 법한 이야기 라고 생각 했어요. 우주 영웅을 가둬 놓을 최고의 감옥 같은 거요. 당신도 알다시피 아놀드 슈워츠제네거나 뭐 그런 배우들 말이죠. 만일 그들이 수미터 방 크기만 한 공간이 이렇게 스스로 휘어있는 그런 우주를 만들 수만 있다면요. 그리고 우리의 영웅이 그 공간을 탈출하는 상상을 해봐요. 그는 한 방향으로 총을 쏘면 결국 그 총알은 그의 등을 맞출 겁니다. 만일 그가 땅을 파고 들어가면 부스러기 들이 머리위에서 떨어질 거구요. 그러니까 그가 이런 우주를 빠져나올 방법이 없네요. 아주 완벽한 감옥이예요. 탈출 방법이 없어요.
[05:02] 브라이언: 흠.. 좋아요. 그런데 이것(k>0인 구)이 우주모형의 다는 아니죠.
[05:05] 폴: 물론 아니죠. 그것은 k가 0보다 크다는 조건에 불과 합니다. 만일 k가 0보다 작다고 해봐요(k<0). 또다른 기묘한 모습을 생각해 볼 수 있죠. 흔히 말 안장(saddle) 모형이라고들 부릅니다. 그럼 이런 (말안장)모양을 살펴볼 짧은 동영상을 준비 했습니다.
[05:16] 브라이언: 그럼 이 모습은 쌍곡선(hyperbola)을 닮았군요. 쌍곡선을 본적이 있다면 비슷하다고 생각되겠습니다.
[05:21] 폴: 네. 그럼 이 경우(k<0), 다시한번 위치를 잡아서 (훈련받은 여러마리)벌레들을 모든 방향으로 보내고 그 벌래들이 도달한 위치를 따라 원을 그려 봅시다.
[05:29] 브라이언: 흠.. 그래요.
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[05:30] 폴: 이제 그 원이 위아래로 울겠죠. 그럼 원주율(파이)을 따져보죠. 원둘레가 2π 곱하기 반지름r 보다 길어 집니다.
[05:37] 브라이언: 맞아요. 그러니까 그말은 여기 반경에 점선을 찍었더니 2π 보다 크다는 거잖아요. 그럼 다시 이런 모습의 우주를 생각해 봅시다. 앞서 봤던 우주와 아주 달라요. 방안에서 상상해보고 종이에 그려보던 그런 식으로 따져보기는 어렵습니다. 그저 일반적인 원이 아닙니다.
[05:57] 폴: 네. 그리고 이 경우(k<0)의 표면에 평행선을 그어보면 서로 벌어집니다(diverge).
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[06:01] 브라이언: 그리고 만일 여기에서 삼각형을 그려 본다면 내각을 다 합쳐 180도보다 작아야 삼각형을 만들 수 있습니다.
[06:09] 폴: 네. 이 경우에도 차이를 알아보려면 곡률 반경이 우주의 규모에 이르러야 합니다. 아주아주 크게 봐야 하지요. 초등학교 수업시간에 삼각형을 그릴 때 내각의 합이 180도 였던 것과는 규모가 다릅니다. 그것에 대한 또 다른 설명이 있어요.
[06:22] 브라이언: 우리가 아주 일부에 지나지 않는다고 볼 수 있습니다. 우리의 화면이 어주 유한하기 때문이죠. 하지만 이 우주는 계속됩니다. 여기에서 끝나지 않고 끝없이 이어져요.(구형=폐쇄형 우주, 말안장=개방형 우주) 그러니까 이 안장의 표면적이 몇 평방 미터나 될지 재보려고 해도 무한히 넓다고 말할 수 밖에 없죠. 영원하죠(면적과 시간을 혼용하고 있다). 계속해서 (안장의) 양방향으로 커져가는 중입니다.
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[06:44] 폴: 좋아요. 우리는 k 가 0보다 큰 경우를 살펴 봤었습니다(k>0). 유한한 우주(finite universe) 인데, (삼각형 내각의) 합이 180도를 넘는 곳이며, 원주율 π가 작고, 평행선이 결국 만나게 되는 곳이죠.
[06:54] 그리고 k 가 0보다 작은 우주도 봤어요(k<0). 이런 우주에서 평행선은, 만일 두개의 레이저 광선을 쏘면 영원히 벌어지죠. 직선이었 더라도 두 형행선은 벌어집니다. 그리고 이 우주는 무한(infinite universe)합니다.
[07:04] 만일 k 가 정확히 0 이라면(k=0), 정상 우주(normal universe)의 경우 입니다. 측량이 우리가 익히 알고 있던 것과 같아요.
[07:12] 브라이언: 그런 우주는 그저 격자 입니다. 아주 큰 육면체 처럼 보입니다. 이 외에 (우주를 보는)다른 방법도 있겠죠? 예외 같은 것은 없나요?
[07:20] 폴: 네. 그럼 약간 희안한 것을 볼께요. 이런 겁니다.
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[07:24] 브라이언: 이것은 어떻게 한거죠?
[07:25] 폴: 아,네. 그러니가, 심술을 부렸어요. 제가 여기에 가한 것은 원래 평평한 우주였는데 둥그렇게 말았죠. 그래서 원통형이 됐어요. 말하자면....
[07:31] 브라이언: 그러니까 원통으로 말린 쪽으로보면 끝없이 돌고 돌겠네요? 아, 알겠어요. 돌고 돌아요. 맞아요.
[07:35] 폴: 네. 여기 화면 크기가 작아서 일부만 그린 겁니다. 이 경우 평평한 우주죠. 이쪽으로 원주율을 계산하면 평평한 종이에 그린 것과 일치합니다.
[07:42] 브라이언: 네.
[07:42] 폴: 이쪽 축으로 차이가 있죠. 돌고 돌아서 시작한 위치로 되돌아옵니다. 뭐든 이렇게 할 수 있어요(어떤 형태의 우주라도 만들어 낼 수 있는 수학은 대단하다.) 우리가 할 수 있는 모든 형태로 우주를 그려볼 수 있죠(기하학 geometry 으로 그리고 위상 수학 topology 으로 설명하고). 그러니까, 구형 우주(sphere universe), 말 안장형 우주(saddle universe), 완전히 평평한 우주(all flat universe) 등등 말이죠. 아주 이상한 지형(topology)을 가진 우주를 만들 수 있고 다양한 방법으로 이어 붙일 수도 있어요. (수학으로) 아주 다양한 (우주 모형)이 가능 합니다. 하지만 어떤 형태가 되었든 원주율 π와 기하학적인 측정을 고려해 볼 때 이 세가지 중 하나로 귀결 됩니다. 그러니까 k는 기하학적으로 세가지 모형인데, 개방형(opened), 폐쇄형(closed) 혹은 평편형(flat) 중 하나라는 겁니다. 아직 시간 t에 대해서는 이야기 하지 않았습니다.
[08:13] 브라이언: 네. (k에 따른 측량)앞에 곱해지는 값이었죠. 그럼 이제 a(t) 에 대해 따져봐야 할 때가 되었다는 뜻이군요. 어찌보면 기하학적인 측면과는 관련 없어 보입니다. 시간에 따라 우주가 어떻게 변해갈지 말해주는 것 같아요.
[08:26] 폴: 맞습니다. 운동, 역학(kinematics)에 관한 겁니다. (속도 가속도 등은 물체의 운동을 시간상 변화를 기술 한 것) 다음 동영상 강좌에서 이 것이 미치는 영향(역학)을 다뤄 볼께요.
LQ2.3 ---------------------------------------------------------
At one point, a few decades ago, only two really bright, high redshift quasars were known, and the two of them lay almost exactly in opposite directions in the sky (179 degrees apart). This was most likely a coincidence, but at the time, there was some speculation that in fact these were the same quasar, being viewed in two opposite directions around the universe.
For this theory to be true, what should the value of k be?
[A] k greater than 0 (k>0)
b) k equal to 0 (k=0)
c) k less than 0 (k<0)
d) All of the above are possible.
Explanation
The simplest answer would be a spherical universe - i.e. k>0, as the universe is then finite and you could see all around if the radius was right. Both the other cases are infinite and so you would not see multiple images (unless they were folded into some wierd topology).
[00:01] 폴: 자, 그럼 생각해 볼까요. π (원주율)는 어떻게 정해진 걸까요? 파이의 정의는 원둘레를 c라 하고 지름을 d 라 하면, 원둘레(circumference)를 지름(diameter)으로 나눈 값입니다. 쉽죠.
[00:20] 실험으로 원을 그려볼 수 있습니다. 중심에서 반지름 r 인 지점에 점을 수없이 찍으면 원을 그릴 수 있는데 반지름의 두배가 지름 d 입니다. 그럼 둘레를 재면 원주길이가 되요. 그리고 이 둘의 비율을 구합니다.
[00:36] 로버트슨-워커(RW) 측량이 옳다 치고 원주율 π을 계산해 보기로 합시다. 원을 그려놓고, 원은 아무데나 그려도 되요. 우주가 균일 하기 때문에(uniform & isotopic) 원을 어디에 둬도 좋습니다. 반지름이 r0인 점을 찍어보죠. 그리고 쎄타를 변화시켜봅니다. 그리고 쎄타 주변을 따라가 봅니다. 앞선 가정(균일한 우주)을 유지해야 합니다. 어떤 원이든 같은 답(원주길이 나누기 지름은 원주율 π)을 얻어야 하니까요. 각도 θ를 변경하면서 반지름이 r0인 원을 그리는데 φ 는 0으로 두기로 합시다. (우주는 균일 하다는 가정 하에 구를 원으로 단순화 시켰다.) 그러니까 (RW측량에서) δφ는 변화하지 않습니다.
[01:23] 이제 (로버트슨-워커)측량을 사용하여 얼마 만한 원을 그릴 수 있는지 보기로 합시다. 우리에게 필요한 것은 이 측량이 좌표의 한 부분에 약간의 변화를 주면 이에 해당하는 약간의 길이 변화가 있을 것임을 보여준다는 겁니다. 그럼 좌표계에 큰 변화를 주어 봅시다. 원의 둘레 혹은 지름에 한 해 변화를 살펴보기 위해 각각을 잘게 나눠 볼 겁니다.
[01:43] 먼저 (RW측량으로) 원둘레를 계산해 봅시다. 각도를 잘게 나눈 δθ 에 대응하여 원둘레가 잘게 나눠 지죠. 그럼, 이 작은 원호 길이를 δs 라고 할 수 있죠. 이 경우 δs 는 어떻게 될까요? 그렇죠. δs 의 제곱은 a(t)의 제곱이 될 겁니다. 이 경우 θ 만 약간 변화했을 뿐입니다. 그외 아무것도 바뀌지 않았어요. 그러니까 (RW측량에서) 다른 항들(δr과 δφ)은 모두 0 입니다. 그러니까, (δs 의 제곱은) r 제곱에 d 쎄타 제곱이죠.
[02:15] 이는 전체 길이의 작은 부분으로 δs 인데, 단지 a(t)와 r, 이 경우 (고정된 반지름을) r0 라고 놓고 각도만을 변화 시킵니다. 이는 미소 각도 근사(small angle approximation)입니다. 아주 작은 값이죠. 이 작은 조각들을 모두 더하여 전체 원주의 길이를 구합니다. 작은 조각을 모두 더하는 것을 적분이라고 하죠. 따라서 (δs를 적분하면) 원주의 길이를 알 수 있는데, 각도에 대해 0에서 2π 범위에서 적분 하면 전체 원 둘레의 길이가 됩니다.
[02:48] 각도는 라디안이고 a(t) r0 에 δθ 를 dθ 로 바꾼 것이죠. 아주 작은 양의 각도에 극한을 취한 겁니다. 그러면 이 적분은 어찌 될까요? 그렇죠. 여기에서는 (적분 변수가 θ 뿐이므로) a(t) 와 r0 모두 상수로 취급됩니다. 그러므로 단지 r0로 고정되었을 때 dθ에 대한 0 에서 2π 구간의 적분입니다. a 와 r0는 밖으로 빼냈구요. 적분은 단지 1 곱하기 쎄타 입니다. 이 적분은 θ가 될 것이고 구간은 0에서 2π 이며, 결국 2π r0 a(t) 죠. 이 결과가 바로 예상했던 대로 원둘레 길이 입니다. 원둘레 2π r0에 a(t)에 곱해 졌습니다. a(t)는 우주가 언재든 팽창하거나 수축할 것이라고 가정 했었죠. 자. 아주 쉽죠.
[04:02] 이번에는 약간 복잡하게 될텐데 (RW 측량으로) 원의 반지름, r 혹은 지름, d 를 따져볼 겁니다. 다시 RW 측량을 살펴보죠. 길이 측량 δs에 영항을 주는 반경 r에 대한 변화를 볼 겁니다. 그러니까 각도 θ 와 φ 는 고정시켜 두고 r이 변화 합니다. 지름은 반경의 두배죠. 두배의 반경은 0에서 r0까지 구간의 적분과 같게 되죠. 단지 a(t) 와 dr을 1 빼기 k r 제곱의 제곱근으로 나눈 겁니다. 분모의 제곱근 안에 k 가 있군요. RW 측량 식에서 dr 항을 취한여 얻습니다. δθ 와 δφ 는 0으로 두고 ds를 취하기 위해 제곱근을 씌운겁니다. 이제 a(t)에서 t를 고정 하기로 합니다. 그러면 a 를 밖으로 빼고 1 나누기 1빼기 k r제곱의 제곱근에 대해 적분을 하겠습니다. 이 (제곱근 분의 일)부분의 적분은 다소 난해 합니다. 분모의 k 가 0보다 작거나 클때에 따라서 결과가 달라지기 때문이죠. 그럼 k를 -1 혹은 1일 때로 단순화하여 생각해 봅시다. 두가지 경우에 대한 각각의 적분을 풀어봅니다.
[05:25] 만일 k가 양수일 경우(k>0), k는 여러 상수를 가질 수 있지만 +1로 단순화 시키기로 하죠. 동일하게 k가 -1이 아닌 음수를 가질 수 있지만 역시 -1로 단순화 시키기로 합시다. 그럼 k를 +1 와 -1로 놓고 풀어봅시다. 이제 이 적분을 풀어볼까요? 좀 복잡하네요. 약간의 요령이 필요하겠어요. 대수(algebra tool)를 온-라인으로 풀어주는 웹사이트를 찾아보죠. 아니면 컴퓨터에서 수행되는 대수 도구를 사용 할 수도 있죠. 여기에서는 사용할 도구는 이겁니다. 무료 온-라인 컴퓨터 대수 도구로 SAGE 가 있습니다. 소스 공개형 컴퓨터 대수 시스템입니다. 주소는 sagemath.com 입니다. 여러분도 스스로 사용해 보세요.
[06:00] 제가 한 것을 보여드리죠. 변수로 r을 지정하고, r=var('r'), k를 1로 취했다고 하고, 여기에 음수로 놓았습니다. integrate(1/sqrt(1-r^2), r). 1 나누기 제곱근 1 빼기 r제곱을 r의 함수로 놓고 적분 한 겁니다. 그리고 실행 시켰습니다. 결과로 r의 아크 사인이 나왔군요. arcsin(r).
[06:22] 이번에는 k 가 음수로 조건을 바꿔보죠. 이 부분을 양수로 바꿔야죠. 그러니까 k 가 -1 이니까, 1 나주기 제곱근 1 더하기 r 제곱 입니다. integrate(1/sqrt(1+r^2), r). 이렇게 하면 적분 결과는 아크 하이퍼볼릭 사인이 되는군요. arcsinh(r).
[06:39] k에 다른 상수값을 넣어볼까요. 일테면 1.003 이라고 하죠. 전체적으로 곱해지는 상수값만 바뀔 뿐이죠. 전체에 곱해지는 상수와 삼각함수의 변수에 상수가 곱해 지네요.
[06:51] 그럼 우리가 알아낸 바는 반경이 2 곱하기 a(t) 가 밖에 있고, k 가 1일 때는 r0의 아크 사인, arcsin(r0), k 가 -1일 때는 r0의 아크 하이퍼볼릭 사인, arcsinh(r0) 이 됩니다. 그외 다른 상수를 적용해도 결과 함수형은 변함이 없어요. 그럼, 이 적분 결과는 (RW측량이 적용되는)이 우주에서 π(원주율)값이 어떻게 변화할지 알려주고 있어요.(원주율 π는 상수 아닌가요?)
[07:30] 앞서 보였지만 π는 c 나누기 d 였죠(π = c / d). (k 가 0인 우주에서는) 지름이 d인 원의 원주길이 c는 2π 곱하기 r0 입니다. (RW측량으로 k 가 0이 아닌 경우 π를 계산하면) 분모 분자의 2는 약분되고, 반지름이 r0로 고정된 우주(k=0임)에서 원주율을 π0 라고 합시다. t의 함수 a(t) 도 역시 약분 되네요. 그럼 r0 나누기 arcsin(r0) 또는 arcsinh(r0) 가 남습니다.
[07:59] 자, 이제 원주율 π는 상수가 아니예요. 변화한다는 얘기죠. 어떤 식으로 변할까요? 다시 컴퓨터 대수 시스템을 활용해 보죠. 분모에 삼각함수를 넣었는데, 앞서 구한 r 나누기 아크 사인, r/arcsin(r)으로 놓고 변화를 살펴볼까요. plot(r/arcsin(r), (r,0,1)) 세로축이 (RW 측량이 적용된 우주의) π 입니다. r0인 우주에서 (원주율은) π0 였습니다. 반지름 r이 아주 작을 때(소규모 우주) 원주율이 π0가 된다는 것을 보여주죠. 하지만 우주의 반경(우주 규모)을 점점 늘리면 π 값이 줄어들어요.
[08:40] 이제, k 가 -1인 우주를 보죠. 분모가 아크 하이퍼볼릭 사인, arcsinh(r) 이 되겠죠. 이번에도 컴퓨터 대수 도구를 실행 시켜서 모양을 볼까요? 작은 규모의 우주라면 예상대로 π0 입니다. 하지만 반경 r이 커짐에 따라 π 값도 점점 커져요.
[09:02] 이로부터 우리가 알 수 있는 것은 원주율 파이는 k가 0일 때 상수 입니다(k=0). 만일 k가 양수(k>0)라면 원주율 파이는 (반지름이) 작은 규모라면 이미 알고 있던 값과 같습니다. 하지만 원의 규모(반지름 r)를 크게 할 수록 원주율은 작아지죠. 만일 k가 음수(k<0)라면 양상은 달라 집니다. 그리고 (원을 측정하는) 규모가 커질 수록 원주율 파이는 커지요.
[LQ2.2]-----------------------------------------------------------
We derived the value of for the cases where k=1 and k=-1. How would behave if k=0?
[A] would have its normal value at all radii correct
b) would be lower than normal at all radii
c) would be larger than normal at all radii
d) would be close to normal at small radii, but would then grow as the radius becomes larger
e) would be close to normal at small radii, but would then shrink as the radius becomes larger
[00:00] 폴: 자 이제까지 시간과 공간에 대한 이론, 아인슈타인의 일반 상대론에 대해 살펴봤었습니다. 그리고 그 이론은 물질이 떨어진 두 원소가 실제로 얼마나 근접해 있는지 알려주는 측량법(the Metric)을 지배한다는 겁니다. (중력은 실제하는 것이 아니며 질량을 가진 물질이 즉량법을 바꾼 결과다.) 그리고 그 측량법은 피타고라스 정리(직각에 기반을 두고 있는)와 같이 익히 알고있던 방법과는 사믓 다르며 살제로 휘어질 수 있어서 (직교 좌표에 익숙한 기존의 관점에서 보면) 아주 이상하죠. 그리고 이로 인해 물체들이 아주 이상하게 움직입니다. 그런데 이런 이론과 현상이 대체 우주론어 어떻게 엮이단 말인죠?
[00:24] 브라이언: 네. 저는 아주 운이 좋다고 생각되요. 왜냐면 당신도 알다시피 공간을 비틀거나 휠 수 있는 방법을 수도 없이 많이 알고 있잖아요. 그런데 우주는 다행 스럽게도 어디를 보나 아주 균일 하답니다. (수학적으로 공간을 매우 다양하게 변형 시킬 수 있으니 우주는 균일하므로 선택은 하나다. 그런 점에서 우주를 수학, 특히 기하학으로 설명하는데 아주 다행이다) 그말인 즉슨 우주의 모든 부분이 다른 부분과 서로 다 같다는 거죠. 따라서 어느 방향으로 특정 할 수도 없어요. (흔히 좌표계를 정할 때 원점을 두고 증가하는 방향을 지정하는 따위를 할 수 없다.) 그리하여 결국 어떤 측량법이 가능하고 불가능한지 판가름 하는 지렛대가 될 수 있다는 점이 밝혀졌죠. 그리고 이는 알렉산더 프리드만(Alexander Friedmann)이 마침내 이런 기묘한 생각을 고안해 내기에 이르럿어요.
물리우주론에서, 프리드만 방정식(Фридман方程式, 영어: Friedmann equation)은 등방적인 우주의 팽창과 수축을 나타내는 미분방정식이다. 러시아의 수학자 알렉산드르 프리드만의 이름을 딴 것이다.
* 현대 우주론의 근간이 된 가장 큰 발견(혹은 관측) 두가지를 들면 '등방우주'와 '우주의 팽창'이다!
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[00:54] 먼저 구면 좌표계에서 물체가 어떻게 움직이는지 생각해 봅시다. 사람들이 보통 잘 다루지 않는 좌표계이긴 한데요,
[01:02] 폴: 좋아요. 우리가 이미 측량법(the metric)에 대해 배웠으니까, 두 물체의 x,y,z 값을 알고 있으면 그 둘이 얼마나 멀리 떨어져 있는지 잴 수 있다는 거죠. 그리고 우리는 원통 극좌표(cylindrical polar coordinates)에 대해서도 배웠죠. 우리 주변에 놓인 물체의 위치를 높이와 함께 측정하는 것이 었습니다. 그외 세번째 형태의 좌표체계가 있어요. 그리고 이 세번째 좌표계는 우리가 사는 우주의 바른 측량법을 이해하는데 실질적으로 필요한 것으로 밝혀 졌죠. 이 좌표계를 구면 극좌표계(spherical polar coordinates)라고 합니다. 이 좌표계는 천구의 위치를 측정할 때 사용되기도 하죠. 적위(Declination), 적경(RA, Right Ascension) 그리고 위도(Latitude)인데 지구에서 보면 위도과 경도는 구면 극좌표계 입니다.
극점에서 아래로 내린 각도를 측정하며 이를 쎄타(Theta, θ)라 합니다. 해당 지점까지의 거리가 r 이죠. 적도를 따라 각도를 재는데 이를 파이(Phi, φ)라 하죠.
[01:48] 브라이언: 그럼, 만일 우리가 멀리까지 가고 싶다면, 그러니까 ds는 A와 B사이를 여행 하려면 얼마나 먼지 알려주는 것이네요. 그리고 우리가 알고자 하는 A의 좌표값이 r, 쎄타(θ) 그리고 파이(φ) 이구요. 그리고 만일 목표지점까지 반경 r만 제대로 안다면 거리 s 를 즉시 계산할 수 있겠네요.
[02:11] 폴: 맞아요. 만일 거리 r 만 움직였다면 미소 변위 ds는 dr 이 되는 셈이죠.
[02:17] 폴: 이번에는 각도를 극점에서 아래로 내리면 이는 마치 지구에서 위도를 낮추거나 하늘에서 각도를 내리는 것과 같죠, 그리고 다시 각도를 벌려 목표지점까지 움직이면 점점 벌어 지죠. 만일 아주 가갑게 있다면 각도를 조금만 움직여도 되고 긴 작대기를 뻗어 움직였다면 (작은 각도에도) 사이는 아주 벌어집니다. 이는 미소각도 근사인데 이번 강좌에서 여러번 얘기했던 겁니다만, 벌어진 각도로 나온 거리는 반경 r 곱하기 각도 변화 쎄타(θ)입니다. (호도법의 원호길이)
[02:47] 브라이언: 맞아요. 그러니까 s는 당신이 움직인 거리인데 라디언 각도와 반경의 곱입니다(원호의 길이). 그리고 미소 각도가 dθ 로 근사하기 때문에 가능한 아주 작은 값을 취해야 모두 제대로 위의 미소 변위 측정이 성립합니다. (ds는 미소거리, θ 축에 대응하는 미소원호는 모두 반경 곱하기 미소각도 dθ)
[03:02] 폴: 그렇습니다.
[03:03] 브라이언: 그럼 조금 더 복잡한 변위를 볼께요. 각도 φ 축은 조금 더 복잡합니다. 지구로 치면 적도면이 아닌 위도가 올라간 지점에서 원을 그리기 때문인데 위로 위도를 높였더라도, 원주를 도는데 예를 들어 남위 45도에서 지구를 돈다고 해보죠.
[03:22] 폴: 그래요. 여기 보다시피 적도라면 sin(θ) 는 1입니다. 따라서 적도를 따라 돌면 각도 φ 곱하기 반지름 r 이죠. θ 축으로 했던 원호길이 계산과 같아요. 하지만 각도를 극점으로 다가 갈수록 회전 반경이 줄어듭니다. 적도(90도)에서 한바퀴 도는 것보다 +89도에서 한바퀴가 조금 짧죠. 그리고 sin(θ)의 제곱으로 곱해집니다. (1보다 작은 값을 제곱하면 훨씬 작은 값이된다) 사실 만일 북극과 남극에 서면 제자리에서 지구 한바퀴 돌 수 있어요. θ 가 0 또는 180도 이므로 sin(θ) 는 0 이기 때문입니다. 그러므로 제자리에서 한바퀴 돕니다.
[03:57] 브라이언: 맞아요. 그거 완벽한 비유 인데요. 여기를 보세요. r 곱하기 sin(θ) 가 반지름이 되죠. 그러니까 dφ 앞에 두면 당연히 작아지게 됩니다.
[04:14] 폴: 네. 이제 운동을 기술할 변위의 세가지 요소를 갖게 되었죠. 밖으로 향하는 반경 r, 아래로 θ 그리고 회전하며 φ 죠. 그런 후 각각을 제곱하여 모두 더하면 피타고라스 정리가 되죠. 결국 얼마나 움직였는지 알려 줍니다.
[04:25] 브라이언: 그렇죠!
[04:26] 폴: 그렇습니다! 이것이 평평한 우주(flat universe)에 대한 일반적인 측량법입니다. 하지만 로버트슨-워커 측량(Robertson-Walker metric)은 우리의 우주에 적용할 측량인데 만일 우리의 우주가 어느 방향으로 균일 하다면, 등방성(isotropy)이라 하죠, 약간 달라집니다. 그렇게 많이 다르진 않지만 이해 하려면 생각을 많이 해야합니다. 그러니까 다시 ds를 보죠. 앞서 했던 것과 같아요. dr을 제곱하고, r제곱과 dθ 제곱 그리고 sin(θ), dφ 가 보이죠.
[04:53] 브라이언: 여기만 빼고 다 같네요.
[04:59] 폴: 우주가 균일 하다면, 그러니까 어디든 다 같다는 거죠, 이 부분이 측량에 해당하는데요,
[05:06] 브라이언: 네.
[05:07] 폴: 이부분이 정말 중요한 조건 사항입니다. 규모를 좁히면 우주는 균일하지 않죠, 그러니까 규모를 좁히면 측량이 달라져요. 마치 태양의 주위를 도는 지구의 규모 말이죠. 하지만 정말 큰 규모로 보면 이렇게(로버트슨 워커 측량 처럼) 되어야 합니다. 그리고 여기 두개의 아주 흥미로운 항이 있어요. 그럼 여기에 어떤 의미가 있을까요?
[05:20] a(t) 제곱은 전체를 곱하는 것이구요. a 가 t의 함수네요. 그러니까 t는 시간 입니다. 이는 거리나 각도에 무관 한 겁니다. 오직 시간에 관련된 함수죠. 그게 무슨 뜻일까요?
[05:30] 브라이언: 그럼 한번 생각햐보죠. 만일 시간에 비례하여 커진다고 해보죠. 시간이 갈 수록 증가하고 나머지 측량에 곱해집니다. 그 뜻은 측량이 점점 커지게 된다는 거죠. 이는 팽창하는 우주를 의미합니다.
[05:49] 폴: 네. 두 물체가 어떤 좌표계에 놓여 있다고 하죠, 아무일도 없이 그냥 특정 r과 각도 φ가 있는데 가만히 있어도 멀어집니다.
[05:57] 브라이언: 아. 그렇군요. 그말은 우주가 팽창한다는 것을 표현한 것처럼 들리는데요.
[06:00] 브라이언: 맞아요.
[06:02] 폴: 만일 a(t)가 점점 커지면, 물론, a(t)는 실제로 작아 질 수도 있겠죠. 나중에 a(t)가 어떻게 될지 다시 보도록 하겠습다.
[06:09] 브라이언: 좋습니다. 그럼 다른 항들을 살펴볼까요. 그러니까 dr 제곱이 1 빼기 kr 제곱 말이죠. 아주 흥미로운 항 이네요. 이 항이 어떻게 작용하는지 생각해 봅시다.
[06:22] 폴: 네. 이 부분이 당장 난해해 보입니다. 왜냐면 파이(π, 원주율)가 다를 수 있음을 보여주는 겁니다.
[06:30] 브라이언: 그래요....
[06:30] 폴: 파이(π, 원주율)에 대해 생각해 보면 원이 떠오르죠. 그리고 원주에 관한 것이죠. 원의 둘레를 지름으로 나누면 π가 됩니다. 여기에 보듯이 a(t)값을 고정 시켜놓고 두 각도 θ와 φ 를 움직이면 변위는 여기 이 계산대로 나옵니다. 특별 할게 없어요. 하지만 만일 밖으로 뻗는은 반경을 바꾸면 변위는 커지거나 작아지겠죠. 우리가 보통 생각했던 것보다요. 이 변위는 k가 0, 음수 혹은 양수이냐에 따라 다를 겁니다.
[06:57] 만일 k가 양수(k>0)라고 해보죠. (분모부분은) 1빼기 어떤 값이됩니다. 그러니까 어떤 값(dr제곱)을 1보다 작은 값으로 나누게 되죠. 작은 값으로 나누니까 이 항은 커지게 됩니다. 따라서 원이 있을 때 원주길이가 같아야 하지만 반경이 커져요. 만일 k가 다른 값을 가지면 반경이 작아질 수도 있죠. 좀 이상하게 들리죠.
* 원의 둘레 길이를 측정려는 중이다. 원둘레가 커지면 원주율 π 가 유지되어야 하므로 반경도 늘어나야 한다. 원의 반경이 변화하는데 불구하고 원주길이가 같다고 한다면 모순된 것 아닌가?
[07:12] 브라이언: 그것 참 기묘한 생각이네요. 근데... 지구에사는 우리 주변의 것과 비유할 만 한게 있으면 좋겠네요.
[07:18] 폴: 자. 그럼 π 가 어떤 의미를 갖는지 살펴볼께요. 우리가 k 값을 변경 하였을 때 말이죠.
[07:24] 브라이언: 좋아요. 그렇게 하죠.
[LQ2.1]------------------------------------------------------------------
Why do we believe that the Robertson-Walker metric is the one that describes our universe?
a) Because spherical polar coordinates have the most symmetry.
b) Because it predicts an expanding universe.
[C] Because it is the only metric that is the same everywhere. correct
d) Because Einstein said so.
* This metric is the only solution to General Relativity that is the same at all locations and in all directions. While it can predict an expanding universe, it can also predict a shrinking one, and there are many other metrics that can have expansion.
PQ1.3 ------------------------------ 어느별의 분광 측정을 하였다. 실험실의 분광 측정돠 별의 분광측정을 비교하여 이 별이 지구로 접근 하는지 후퇴하는지 알고 싶다. 실험실 분광 측정은 다음과 같다.
위의 실험실 분광 측정은 잡음도 없고 편이도 없이 아주 깨끗하다. 어느 별의 분광 측정 중 일부분을 확대하여 다음과 같은 값을 얻었다.
실험실 분광 관측과 비교하여 만일 이 별이 움직이지 않는다는 가정하에 위 흡수선의 파장과 원소는 무엇인가?
[A] Ca (칼슘) 393.3 nm and 396.8 nm B) C-H 분자 430 nm C) H (수소) 486.1 nm and 656.3 nm D) Mg (마그네슘) 517.5 nm E) Na (나트륨) 589.0 nm
PQ1.4 ------------------------------ 위의 별은 지구로부터 멀어지는가 가까워 지는가?
[A] 지구에 상대적으로 접근하고 있다. B) 지구로부터 멀어지고 있다. C) 상대적인 움직임은 없다.
PQ1.5 ------------------------------
위 별의 두 흡수선의 중심 파장은 얼마인가?
A) 390.0 과 293.8 nm [B] 391.8 과 395.2 nm C) 393.3 과 396.8 nm D) 394.0 과 397.3 nm
PQ1.6 ------------------------------ 어떤 은하의 스펙트럼 측정에서 수소 알파선이 659.2nm로 관측되었다. 실험실 측정치는 656.3nm 다. 이 은하의 적색편이 값을 계산 하여라.
z = ( 659.2-656,3)/656.3
PQ1.7 ------------------------------ 어느 별의 적색편이 값이 0.01로 측정 되었다. 이 별의 우리로부터 후퇴 속도를 km/s로 계산하여라. 빛의 속도는 c = 3x10^8 m/s 다.
z = v / c v = 3x10^8 * 1x10^(-2) = 3x10^6 m/s = 3x10^3 Km/s = 3000 Km/s
PQ1.8 ------------------------------ 일반 측량(Metric)의 세상에서 두 입자의 위치 차를 겨산 하려고 한다. 첫째 입자의 위치는 r=5.0, θ=1.0, z=-3.0 이며, 두번째 입자의 위치는 r=4.9, θ=1.1, z=-2.9 였다. 두 입자의 간격을 계산하여라. 원통 극좌표계의 미소거리 계산 공식(피타고라스 정리)을 활용 하라.
RN1 요약: 공간과 시간(Space and Time) / 전체 강의 요약집(영문 pdf)
현대 우주론의 근간이 된 두가지 원리, 혹은 관측:
1. 균일성(Uniformity): 우주는 어딜 보나 똑같다.
우주는 균일 하다고 하는데 어딜 보나 같다는 것인가? 지구나 행성의 규모를 봐도 확실히 똑같은 곳은 없다. 지구 중심과 우주 저편의 공허한 우주의 밀도가 어떻게 같다고 할 수 없다.
수천, 수만 광년(지구의 반지름은 고작 6,371 킬로미터, 태양까지 1억 5천만 킬로미터, 1광년은 9조 5천억 킬로미터, 우리 은하 반경은 2만5천 광년)정도의 규모로도 균일하다고 보기 어렵다. 우리 은하 내에도 별이 많은곳과 성긴곳의 차이가 분명하다. 은하들끼리 모여 있는 은하단을 형성한다. 은하들이 밀집된 곳도 있고 은하들 사이에 빈공간을 두고 드믄드믄 떨어져 있어 균일 하다고 할 수 없다. (우리 은하와 가깝다는 안드로메다 은하도 2백 5십만 광년 떨어져 있다.)
우주에 있는 어떤 천체의 분광사진을 찍더라도 전자의 에너지 준위가 바뀌면서 방출 혹은 흡수 선 스펙트럼을 볼 수 있다. 원소마다 고유의 파장으로 선이 나타나는데 일예로 수소 알파선이 천체에서 흔하게 나타난다. 수소 알파선의 파장은 656.3nm 다. 별(항성)의 전형적인 강한 선 스펙트럼은 다음과 같다.
만일 멀리있는 은하의 분광관측을 하면 모든 선들의 파장이 긴 쪽으로 이동한 것을 발견 하게 된다. 이를 적색편이(redshift)라고 한다. 관측한 천체의 적색편이 값을 계산하는 식은 다음과 같다.
적색편이 값 z는 관측한 천체의 편이된 파장 Δλ 을 실험실에서 얻은 원소의 고유 스펙트럼 선 파장 λ0로 나눈 값이다. 이 편이는 도플러 효과로 설명 할 수 있다. 모든 멀리 떨어진 은하는 우리에게서 속도 v로 멀어진다. 이 속도는 빛의 속도 c 로부터 얻어진다.
에드윈 허블은 후퇴하는 속도가 거리에 비례한다는 것을 관측을 통해 밝혔다. 허블 상수 H0의 정확한 값은 (관측 기술의 정밀도에 따라) 여전히 수정 중이다.
현재 허블 상수의 값은,
이는 1메가 파섹(Mpc, 1pc = 3.6Ly)떨어진 은하의 후퇴 속도는 초당 70 킬로미터라는 뜻이다.
'우리로부터' 후퇴속도라는 표현이 마치 우리가 중심(혹은 특별한) 위치에 있는 듯한 인상을 주지만 모두 서로서로 멀어진다는 뜻이다. 이를 벡터로 표현하면 이렇다. 중심을 어디에 잡아도 두 은하 사이의 변위벡터는 같다.
즉, 우리가 살고있는 이곳은 무한히 넓고 균일 한 우주의 한 곳일 뿐이며 서로 떨어진 거리에 비례하여 멀어져 가는 중이다.
3. 두 질량(Two Masses)의 문제: 관성질량과 중력질량
아인슈타인은 (고전)물리학에서 다루는 두가지 종류의 질량이 서로 다르게 설명하는지 의문을 품게됐다.
첫번째 질량은 중력으로 표현되는 질량이다. 마치 '전하(charge)'를 가진 두 물체가 물리량(전위차)를 갖는 것 만으로도 서로 끌거나 미듯이 질량을 가졌다고 힘이 작용한다(만유인력). 이를 중력질량(gravitational mass)이라 하며 이에 의한 힘(중력)은,
두번째 질량은 관성(inertia)이다. 외력에 대해 움직이길 거부하는 정도를 나타낸다. 이 관성질량(inertia mass)는 다음과 같은 힘(관성력)의 식으로 표현된다.
왜 두 식이 같을 수 있는지 이에 대한 의문을 갖게 됐다(뉴튼도 이에 대한 의문을 가지고 있었지만 풀지는 못했다). 왜 질량을 가진 물체는 밀리기를 거부하기도 하고 다른 물체를 끌어 들일까? 자연의 다른 어떤 힘도 이렇게 (같은 물리량이 다르게 발현되는) 이상한 경우는 없다. 전자기락의 예를 보자, 물체를 끌거나 글리는 힘은 오직 '전하량'에 의한다. 하지만 이 힘은 광성과는 무관하다. 동일한 전하량을 가진 물체라도 관성은 아주 다를 수 있다. 그 예로 양전자(positron)와 양성자(proton)의 전하량은 같지만 질량은 다르다.
양전자의 물리량:
기호 e+, β+
질량 9.109 3826(16) × 10^-31 kg
전하 +1e (1.602 176 53(14) × 10^−19 C)
양성자의 물리량:
기호 p+
질량 1.672 621 71(29) × 10−27 kg
전하 1e (1.602 176 53(14) × 10^−19 C)
한가지 분명한 점은 모든 물체의 추락비(가속도)는 같다. 어떤 물체가 중력에 의해 가속되면 그 물체의 질량은 무시된다. 하지만 전기장에서 모든 물체는 동일하게 당기지 않는다. 이런 특성은 질량 분석기(mass spectrometer)에서 다른 재질을 분리할 때 활용 된다.
아인슈타인은 왜 이 두 질량을 같게 둘 수 있을지 의문을 가졌었다. 이에대한 답으로 시간과 공간에 대해 아주 깊이 생각하게 되었다.
4. 측량(The Metric)
공간을 자기참조 용어를 사용하지(씨불이지) 않고 어떻게 정의할 수 있을까? 유일한 실질적 방법은 수학을 활용하는 것이다. 공간은 한 점이 점유한 세개의 숫자로 정의된다. 임의 원점을 두고 좌표 x,y,z 또는 그 기준에 대한 차분으로 표현한다. 어쨌든 세개의 숫자를 동원 하는데 우리가 삼차원 세계에 살고 있기 때문이다.
좌표에 덧붙여 한 입자가 다른 입자에 얼마나 영향을 미치는지 측정하기 위한 방법도 필요하다. 이를 거리(distance)라 하는데 s 라고 표기한다. 직교 (x,y,z) 좌표계에서 두 물체 사이의 거리는 피타고라스 정리(Pythagorus' Theorem)에 따라,
이 공식은 세개의 축에 대한 거리측정에 관계된 식으로 측량(the metric)이라 한다. 아인슈타인은 이 측량을 변형하는 뛰어난 발상을 해냈다. 측량방법의 변형으로 물체가 아주 기묘하게 움직이는 것이다. 예를 들어 원통좌표계의 측량에서 (r^2)을 빼면 직선이 원통 좌표계에서는 원운동으로 나타날 수 있다.
The way you work out motion in a strange metric is to imagine a wavefront and see how far each edge of it moves. Where these waves add up in phase is where something will go.
원통 좌표계의 세축은 r, θ, z 이다. 이 셋중 r 과 z 는 길이의 차원 [L] 이지만 θ는 차원이 없는 각도다. 따라서 미소 거리 δs의 측량을 위한 피타고라스 정리에 δθ 를 사용할 수 없다. δs는 거리의 측량이기 때문에 δθ를 사용하면 양변의 차원이 맞지 않다.
원통 좌표계에서 미소거리를 측량하기 위한 피타고라스 정리는 호도법으로 표현된 원호의 길이 rδθ가 사용되어야 한다.
[주]-----------------------------------------------------
측량의 변경이 만든 기묘한 우주
원통 극좌표계의 미소거리 측량에서 r^2을 고려하지 않았다면 r의 길이에 상관 없이 δθ에 대한 δs는 모두 같다.
빛의 이동거리를 설명하는 하위헌스 원리를 적용해보자. A에서 출발한 직진하는 빛의 파동은 B에 도착한다. 빛이 이동한 미소변위는 δs5 다. 이를 원통 좌표계로 표현하면 δs3이며 δs4와 같다(δs3=δs4).
원통 극좌표계에서 r에 무관한(r=1) 측량법을 적용한 경우 δs1=δs2=δs3 이 된다(δs3≠δs4).따라서 A에서 출발한 빛의 파동은 동일한 거리를 이동해야 하므로 C 에 도착한다. 즉, 이 이상한 측량을 적용한 우주에서 빛은 원운동으로 관측된다.
아인슈타인의 일반 상대론을 말로 풀어보자. 세상에 중력이라고 하는 것은 없다. 그대신 물질이 두러싸고 있는 공간의 측량(metric)을 바꾸는 것이다.
"Matter Changes the Metric of Space around it"
이런 측량의 변화로 우주선이 지구궤도를 돌 수 있게 하며 물건이 아래로 떨어진다. 공중에서 뭔가 놓았을 때 아무런 힘을 주지 않았는데 어떻게 아래로 떨어진다는 말인가. 물체는 정지했다가 아래로 점점 속도를 얻어 가속(accelerate)된다. 이는 가속은 지구가 만들어낸 휘어 있는 시간과 공간(curved time-space)에서 당연한 운동(natural motion)이다(운동은 '당연히' 가장 짧은 경로를 따른다. 당연한 것은 굳이 설명할 필요 없다. 우리는 이를 '공리'라 한다.)
만일 뭔가 떨어지지 않고 있다면, 예를 들어 책상위에 놓인 공은 떨어지지 않는데, 책상면이 공의 당연한 운동을 밀어올리고 있기 때문이다. 이 책상이 떠바치는 힘이 존재하는 유일한 힘이다. 중력이라는 것은 없다. 큰 덩치의 물건이 무겁다. 책상이 그 덩치의 당연한 가속 운동을 받치기 위해 더 큰힘을 내기 때문이다.
따라서 중력은 원심력(centrifugal force) 처럼 가상의 힘으로 간주된다. 차를타고 굽은 길을 돌 때 원심력을 느낀다. 하지만 이는 실제로 존재하는 힘이 아니다. 우리의 몸은 당연한 운동인 직선으로 가려고 하는 중이며 차가 우리를 옆으로 밀어내려는 것이다. 우리가 이래로 떨어지는 중력을 느끼는 이유는 우리의 당연한 운동을 지구 표면이 우리 몸을 위로 밀어올리기 때문이다.
이 당연한 운동을 '측지선(Geodesic)이라고 한다.
This natural motion is called the Geodesic.
[주]------------------------------------
물체의 운동은 가장 짧은 거리를 택하는 것은 당연하다.
에너지가 적게드니까 아주 자연 스럽다.
71
00:03:13,280 --> 00:03:17,270
이는 가속도와 중력이 왜 같은지 설명합니다.
* 일반 상대론의 기본 원리 '등가의 원리(equivalence principle)'
https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%93%B1%EA%B0%80%EC%9B%90%EB%A6%AC
So this explains why acceleration and gravity are the same thing.
72
00:03:17,270 --> 00:03:19,270
사실 중력이라는 것은 없죠.
That in fact, there is no such thing as gravity.
73
00:03:19,270 --> 00:03:20,859
항상 가속도만 있을 뿐입니다.
It's always acceleration.
74
00:03:20,859 --> 00:03:23,650
중력에 대해 생각해보면, 예를 들어 궤도를 도는 위성같은 거요,
When we think of gravity, for example making something go in orbit,
75
00:03:23,650 --> 00:03:25,852
또는 의자를 짖누르는 따위는 힘이 아니라는 겁니다.
or pushing us down in the chair, it's not.
76
00:03:25,852 --> 00:03:27,810
이러한 일들은 그저 그 물체들의 측지선을 따르는 것 뿐입니다.
These things are just following their geodesic.
77
00:03:27,810 --> 00:03:29,120
힘이 가해진 것은 없어요.
There's no force involved.
78
00:03:29,120 --> 00:03:32,069
당신의 측지선에서 떨어지면, 우리가 지금 의자에 앉아 있는 것처럼, 그때 진짜 힘이 작용 합니다.
When you depart from your geodesic, like us, there is a real force.
79
00:03:32,069 --> 00:03:33,860
그대 비로서 우리는 힘을 측정 할 수 있죠.
But that's a force we can actually measure.
80
00:03:33,860 --> 00:03:35,526
그게 바로 의자의 방석에 가해지는 힘입니다.
It's the force of the foam in our chair.
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00:03:35,526 --> 00:03:38,920
브라이언: 그럼 원심력도 비슷한 경우로 볼 수 있겠지요.
BRIAN: So it's kind of analogous to centrifugal force, which
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00:03:38,920 --> 00:03:42,470
실제로 존재하는 힘이 아닌 힘 말이죠.
is this force that sort of is not really there,
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00:03:42,470 --> 00:03:45,590
하지만 때로 회전 운동에서 나오는 힘이라고 말하잖아요.
but we often like to describe it when we look at circular motion.
폴: 이제껏, 힘이 가해지지 않고도 가속되는 상황을 본거죠.
PAUL: So we seem to be getting acceleration without force.
만일 우리가 측량을 흐트러 놓음으로써 사물들이 아주 이상하게 행동 하게 만듭니다.
If we muck-up the metric, it makes things behave rather weirdly.
* 십분여에 걸친 긴 강좌다. 중간에 일부 장황한 예는 생략하겠다.
0
00:00:00,000 --> 00:00:00,292
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00:00:00,292 --> 00:00:01,250
브라이언: 좋습니다. 폴.
BRIAN: All right, Paul.
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00:00:01,250 --> 00:00:06,710
당신이 공간에 대해 설명해 주셨는데 확실하지 않군요.
So I'm not sure if you've illuminated us on what space is,
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00:00:06,710 --> 00:00:09,480
제가 이해한 바로는 공간이란
but as near as I can understand, the idea
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00:00:09,480 --> 00:00:14,110
숫자로 표현될 수 있다는 거죠.
is that space is described by numbers.
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00:00:14,110 --> 00:00:17,207
공간은 모두 숫자를 가지고 있다는 거죠. 이런 숫자들을 사용할 수 있다는 건데...
Every part of space has got a number, and we can use those numbers--
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00:00:17,207 --> 00:00:18,040
폴: 세개의 숫자지요.
PAUL: Three numbers.
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00:00:18,040 --> 00:00:19,480
브라이언: 네. 세개의 숫자.
BRIAN: Well, three numbers, sorry.
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00:00:19,480 --> 00:00:20,850
맞아요. 숫자 세개.
Yes, three numbers.
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00:00:20,850 --> 00:00:24,980
세개의 숫자라는 것은 기본적으로
And that those numbers can be used to describe, essentially,
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00:00:24,980 --> 00:00:29,320
수학으로 사물들이 서로 얼마나 멀리 떨어져 있는지 표현할 수 있다는 거네요.
how far things are apart by using mathematics.
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00:00:29,320 --> 00:00:33,380
그러니까 중력이라던가 그런 물리 법칙들이
And we care about that because physical laws, like gravity and things,
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00:00:33,380 --> 00:00:36,785
숫자공간에서 거리에 달려 있다는 거죠.
depend on that distance in number space.
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00:00:36,785 --> 00:00:41,004
숫자로 공간을 기술하는 고도의 방법이라는 거네요.
And so that's sort of an abstract way of describing space in numbers.
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00:00:41,004 --> 00:00:42,920
폴: 여기서 중요한 것은
PAUL: So the crucial thing here is the concept
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00:00:42,920 --> 00:00:45,050
'측량(metric)'이라고 부르는 개념 입니다.
of what we call the metric, which is, if you've
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00:00:45,050 --> 00:00:47,880
세개의 숫자로 표현된 두 지점의
got two things with their sets of three numbers,
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00:00:47,880 --> 00:00:51,020
거리를 재는 방법이 바로 '측량' 입니다.
to work out how close they are.
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00:00:51,020 --> 00:00:53,976
여기 지구에서 두 지점의 좌표를 X-Y-Z 로 알고 있다고 합시다.
So let's say I've got X-Y-Z coordinates of two things on Earth.
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00:00:53,976 --> 00:00:55,850
그 두 지점이 얼마나 떨어져 있는지 계산하는 방법이 뭘까요?
How will you work out how far apart they are?
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00:00:55,850 --> 00:00:58,766
브라이언: 네. 그 방법은 고대 그리스 수학자가 이미 알려 줬었죠.
BRIAN: Well, that's easy, because that's just what the Greeks told us.
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00:00:58,766 --> 00:01:00,161
피타고라스 정리라고 하는 거요.
Pythagorean theorem.
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00:01:00,161 --> 00:01:00,660
폴: 넵.
PAUL: Yep.
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00:01:00,660 --> 00:01:00,780
브라이언: 오.
BRIAN: Whoops.
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00:01:00,780 --> 00:01:01,930
바로 이겁니다.
PAUL: Here it is.
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00:01:01,930 --> 00:01:05,349
미소 거리를 계산해 볼께요.
So we're talking about small distances.
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00:01:05,349 --> 00:01:09,040
여기 델타()라고 한 의미는 x축으로 작은 차이, y축으로 작은 차이,
So a delta means a small difference in x, a small difference in y,
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00:01:09,040 --> 00:01:10,040
z 축으로 작은 차이를 의미 합니다.
a small difference in z.
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00:01:10,040 --> 00:01:12,675
만일 전체 거리를 계산 할 거라면 이 미소거리를 합치면 되겠죠.
If you had to go a big distance, you just add up all these small differences
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00:01:12,675 --> 00:01:13,640
as you go.
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00:01:13,640 --> 00:01:16,970
이것이 바로 피타고라스 정리 입니다. 거리란
And so this is just Pythagoras' theorem, that the distance is
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00:01:16,970 --> 00:01:19,820
x의 제곱, y의 제곱 그리고 z의 제곱을 더해
equal to the square root of the difference in x-coordinates squared,
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00:01:19,820 --> 00:01:21,490
제곱근을 씌운 겁니다.
the difference in y-coordinates squared, the difference in z-coordinates
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00:01:21,490 --> 00:01:21,650
squared.
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00:01:21,650 --> 00:01:23,000
그게 바로 피타고라스 정리죠.
That's just Pythagoras' theorem.
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00:01:23,000 --> 00:01:25,750
브라이언: 만일 삼차원 이라면, X-Y-X는
BRIAN: If you have a three-dimensional triangle, that's X-Y-Z,
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00:01:25,750 --> 00:01:27,800
경사(hypotenuse)의 길이가 되겠네요.
that's how long the hypotenuse is.
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00:01:27,800 --> 00:01:31,160
그리고 우리가 계산한 이 거리는 아주 작고
And we're going to make sure that our distances are really small here,
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00:01:31,160 --> 00:01:34,104
그 미소 길이를 모두 직선으로 취급 할 수 있어요.
