[무선통신 시스템 설계] 13강. 송신 효율(TX Efficiency)

[무선통신 시스템 설계] 13강. 송신 효율(TX Efficiency)

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[일러두기] 이 글은 아래 강좌를 토대로 작성되었습니다. 일부 내용은 저의 생각 담아 첨삭하였습니다. 오류가 있을 수 있으니 강좌 원본을 꼭 함께 봐주시기 바랍니다.

[Radio System Design] Module 13. TX Efficiency / David S. Ricketts

함께 공부한다고 여기시고 아래 글에 오류가 있다면 가차없는 지적 바랍니다.
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개요

• Constant Envelope
• QAM vs. PSK

송신기 설계에 있어서 가장 중요시 여기는 사항이 바로 '효율'이다. 공중에 전력(전파)를 발사하는 일은 매우 많은 에너지 손실을 동반한다. 휴대 통신기기의 가장 큰 전력소모 요인이다. [통화하다 전화기가 뜨끈 뜨끈...] 안테나를 구동하는 고주파 증폭기에 관심을 가지는 이유다. 통신효율을 높이는 방법으로 증폭회로의 효율과 변조방식에 관심을 가져보자.

디지털 통신방식의 효율이 좋은 이유

• 디지털 부호화
  - 오류검출 및/또는 복구
  - 컴퓨터 끼리 교신: 지치지 않는 재송출 요구 
  - 음성도 디지털 화
• 포락선이 일정한 진폭변조(AM)방식
  - 반송파에 다중-톤 섞기
  - 주파수 천이 키잉(FSK), 위상 천이 키잉(PSK)
  - 변조(modulation)와 키잉(keying)은 다른 의미다.

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송신기의 효율

• 모든 무선송신 장치는 실제 방출되는 전력보다 더 많은 에너지 소비
  - 컴퓨팅 전력: 입력 센서 / 사용자 인터페이스 / 디지털 부호화
  - 전자회로 전력: 믹서 및 증폭 회로 (휴대전화의 송신 출력은 100mW 이하)
• 송신기 효율의 정의
  - Pconsumed: 송신에 소요되는 모든 에너지(컴퓨팅 전력 포함)
  - Pout: 안테나 복사전력

• PAE(Power-Added Efficiency) [Link]
  - 소모전력 효율계산에 컴퓨팅 전력 포함
  - PDC: 소요되는 모든 전력(베이스밴드 신호 생성용 컴퓨팅 전력 포함)
  - PRF: 고주파 신호를 만드는데 소요되는 전력
• 고주파 전력 증폭기(PA)의 효율
  - 출력을 높이면 효율(PAE)증가하지만 한계가 있다.
  - PA 회로의 선형성 문제(이득 억압, Gain Compression, P1dB)
  - 최근 연구에 따르면 PAE는 25%를 넘지 못한다고 함.
  - 효율좋은 고주파 증폭기는 여전히 매우 중요한 요소
• A, B, C > D >> E >>> F 급 증폭기로 발전 중
  [참고1] Class E RF amplifier - MORE efficiency (3/3) [Link]
  [참고2] RF Power Amplifiers [Link]
  [참고2] ABC's of PA  [Link]

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일정 포락선 변조 (Constant Envelope Modulation)

• 진폭변조
  - 후퇴운용에 불리 (피변조 신호의 진폭제한)
  - 왜곡(스펙트럼 성장, 혼변조 등)방지를 위해 후퇴운용(Back-Off mode)
• 포락선의 진폭 일정하게 유지 한 채 변조
  - 위상 천이 키잉 (PSK)
  - 주파수 천이 키잉 (FSK)

• 단점:
  - 대역폭이 넓어진다.
  - 펄스 모양잡기(Pulse Shaping)를 위해 대역폭을 늘릴 수 없다.(키잉 주파수 vs. 전송율)
  -> '디지탈 변조'[링크]

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오프-셑 PSK (Offset PSK)

• 대역폭을 줄이기 위한 방법
  - 인접 심볼의 디지털 데이터의 비트 변화를 최소화

• 심볼에 비트수가 많이 표현 될수록 인접 비트 차이가 적게 하기 어렵다.
  - 2비트 심볼 변환기 두개를 동원 

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결론

• 증폭 회로의 효율은 비선형성으로 인해 한계가 있다.
• 변조 방식을 기저신호의 진폭을 고정하고 주파수와 위상 키잉으로 표현하자.
• Offset PSK: 대역폭을 줄이기 위한 노력

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[무선통신 시스템 설계] 12강. 비선형성: 혼변조(Intermodulation) 및 OIP3

[무선통신 시스템 설계] 12강. 비선형성: 혼변조 및 OIP3

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[일러두기] 이 글은 아래 강좌를 토대로 작성되었습니다. 일부 내용은 저의 생각 담아 첨삭하였습니다. 오류가 있을 수 있으니 강좌 원본을 꼭 함께 봐주시기 바랍니다.

[Radio System Design] Module 12. Non-Linearity: Intermodulation and OIP3 / David S. Ricketts

함께 공부한다고 여기시고 아래 글에 오류가 있다면 가차없는 지적 바랍니다.
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개요

• 혼변조(Intermodulation)의 정의
• OIP3 (3rd-order Output Intercept Point)

[주] 혼변조: 인접해 있는 두 고주파(RF)의 고조파(harmonics)들 사이에 간섭을 일으키는 현상. 믹서는 주 주파수(fundamental) 사이의 섞임을 의도 했지만 고조파(harmonics) 사이에 섞이는 것은 원치 않았다.  

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혼변조에 신경을 쓰게된 이유

• 인접 주파수를 묶어 운용하는 다중 채널 통신이 흔해지면서 혼변조의 문제가 생겼다.
• 송신기의 비선형성(P1dB, 송신기 이득압축)이 혼변조에 어떤 영향을 미칠까? 

• 일단 두개의 채널 만 따져보자.
  - 두채널의 대역폭을 단순화 하여 두 반송파만 있다고 하자.
  - 단순화 했어도 수학이 다소 복잡하다. [고차 다항식의 전개라 복잡할 뿐 어렵진 않다]

두 인접한 주파수의 신호를 테일러 급수 형식을 갖는 비선형 증폭기의 입력에 인가하여 그 출력을 다항식 전개 후 정수배 ω로 확장하면 아래와 같다. [테일러 근사, 코사인 함수의 확장과 정리는 '기초편[링크]' 참조]

입력의 두 신호가 영항을 주어 (ω1±ω2)로 파생된 모든 신호에 변조(A1과 A2의 곱)가 있다.

• 주 신호(fundamental) Cos(ω1t) 와 Cos(ω2t) 항에 A1과 A2의 곱이 존재한다.
• 제2고조파 Cos(2*ω1*t) 와 Cos(2*ω2*t) 항에는 각각 A1과 A2만 있다. (혼변조 없음)
• 제3고조파 Cos(2*ω1+ω2)t 와 Cos(2*ω2+ω2)t 항에도 A1과 A2의 곱이 존재한다.
• 제3고조파 Cos(2*ω1-ω2)t 와 Cos(2*ω2t-ω2)t 항의 혼변조가 문제다.

파생된 고조파 성분은 대역 필터로 걸러 낼 수 있다. 하지만 Cos(2*ω1-ω2) 와 Cos(2*ω2-ω1)의 신호는 두 주 신호 ω1, ω2 에 너무 가까워서 걸러내지 못한다. 이를 3차 혼변조(IM3) 신호라 한다. 혼변조는 인접한 주파수에 두개의 강력한 신호를 변조(혹은 증폭)하면서 생긴 현상이다. 대역 필터로 걸러내기 어렵다.

고조파 혼변조가 주 신호에 영향을 주진 않지만 인접 주파수를 사용하는 통신 채널에 악영향(혼신)을 유발한다. 혼변조는 송신기 뿐만 아니라 수신기에서도 큰 문제가 된다. 단파 수신기에서 강력한 AM 방송국 신호가 유입되는 경우 혼복조(?)때문이다. 필터가 부실한 보급형(초소형) 수신기, 직접변환 방식 수신기에 흔히 발생한다.

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혼변조 특성 도식화(Interpolation Characterization)

• 혼변조를 없앨 수는 없으므로 증폭기의 작동 범위를 적절히 조절하기로 하자.
• 단일 주파수의 신호에 대한 고조파(단일변조)와 서로다른 두 주파수 신호 입력으로 인해 발생한 혼변조(특히 3차 혼변조)의 관계를 파악해 최적의 증폭기를 설계해 보자.

 혼변조 특징을 파악하기 위해 증폭기에 주어지는 두 주파수의 입력신호를 다음과 같이 놓자.

문제가 되었던 IM3 에 주목하자.

필터를 써서 멀리떨어진 고조파들은 성공적으로 제거 했다면,

선형 구간에서 출력은,

• 주파수가 모두 같은 간격(𝜟ω)으로 벌어져 있다.
• 선형 구간 내에서,
  - 주 신호(main tone)은 진폭 A 에 지배된다.
  - 혼변조 신호 IM3 는 진폭 A의 세제곱에 지배된다.

A 는 입력 신호의 진폭으로 전압(voltage) 값이다. 주 신호(main tone)와 혼변조 신호(IM3)를 입출력 전력(power) 도표로 나타내어 보자.

위의 도표에서 두 직선은 증폭기의 선형구간을 표시했다. 실제로 Pin 이 증가하다 포화구간에 이르면 선형성을 잃게 된다. 그리고, 두 직선의 기울기는 각각 1 과 3으로 다르다. IM3 직선의 기울기가 가파르기 때문에 두 직선이 만나거나, 그 지점을 지나면 오히려 혼변조가 더 클 수도 있겠으나 선형성을 잃게 되므로 그럴 일은 일어나지 않는다[있을 수도 없는 일이다. 두 직선은 비선형성을 테일러 급수로 근사했기 때문에 나온 것이다.] 다만, 입력이 증가할 수록 혼변조가 급격히 증가한다는 점에 유의하자. 이득 압축이 없다고 가정하고 두 직선이 만나는 지점, 0dBc가 되는 지점을 IP3 라고 한다.

입력 Pin 지점에서 두 직선이 보여주는 Pout의 차이는 주신호 대비 3차혼변조의 비를 나타낸다. 이를 반송파 대비 혼변조 출력의 전력비를 의미하여 dBc 로 표현한다. 위의 그림에서 dBc는 주신호보다 혼변조 신호가 항상 작으므로 음의 값을 가진다. [dBc, Decibel relative to the carrier]

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예제: 어떤 증폭기의 출력이 20dBm인 지점에서 상대 IM3가 -25dBc로 측정되었다. 이 증폭기의 출력이 22dBm 인 지점에서 상대 3차 혼변조(relative IM3)를 dBc 로 구하라.

3차 혼변조 IM3[dBm]의 증가는 입력전력 Pin[dBm]의 2배다. 따라서 전력의 데시벨 좌표계에서 반송파의 선형구간 전력증폭 직선의 기울기기 1이고 3차 혼변조 전력증가 직선의 기울기는 3이다. 두 직선의 기울기 차가 2므로 당연한 소리다.

만일 반송파 대비 상대 3차 혼변조 전력이 IM3[dBc] = -22dBc 였다면 IP3는 현재 입력전력에서 얼마나 높여야 도달할까? 입력 전력을 1dBm 올리면 IM3[dBc]가 2dBc 만큼 감소 하므로, -22dBc 가 0 이 되려면 현재 입력전력에서 11dBm 올리면 된다. [dBm은 전력량, dBc는 차분을 의미한다.]

사실 두 직선의 방정식(좌표계 눈금을 로그로 표현한 까닭에 직선식이 됐다!)에 대한 풀이에 불과한데 이걸 또 문제로 내고 공식이라며 외운다. 빠른 시간내에 풀어야 성적도 올리고 자격증도 따야 하니까 별 수 없다 만 알고나 있자.

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3차 인터셉트 포인트(Third Order Intercept Point: IP3 [Link])

• 혼변조 신호의 증가속도는 원 신호의 증가(1:1)보다 3배나 빠르다(1:3)[전력의 로그 스케일].

[그림출처: https://en.wikipedia.org/wiki/Third-order_intercept_point]

• 비선형 시스템(증폭기, 변조기 등등)에서 발생하는 혼변조 왜곡 현상(3-Order Inter Modulation)을 수치화 한 것.
• 이런 혼변조 현상을 수학적(테일러 급수 근사)으로 모형화 한 것.
• 수학적 모형은 어디 까지나 이론이며 실제로 일치하지 않을 수 있다.

결론

• 3차 혼변조 왜곡, IMD3 은 해롭다.
• 3차 인터셉트 포인트 구하는 공식이다.
  - 측정된 P1과 𝚫P로부터 OIP3 를 계산
  - 피측정 증폭기의 특성(입출력 작동 전압의 한계치)를 알려준다.

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[참고]

1. 상호변조 왜곡과 IP3 1부[링크]/2부[링크] <--- 그냥 참고로 보자

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[무선통신 시스템 설계] 11강. 비선형성: 고조파 왜곡(distortion) 및 스펙트럼 성장(growth)

[무선통신 시스템 설계] 11강: 고조파 왜곡(distortion) 및 스펙트럼 성장(growth)

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[일러두기] 이 글은 아래 강좌를 토대로 작성되었습니다. 일부 내용은 저의 생각 담아 첨삭하였습니다. 오류가 있을 수 있으니 강좌 원본을 꼭 함께 봐주시기 바랍니다.

[Radio System Design] Module 11. Non-Linearity: Harmonic Distortion and Spectral Growth / David S. Ricketts

함께 공부한다고 여기시고 아래 글에 오류가 있다면 가차없는 지적 바랍니다.
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개요

• 고조파 왜곡 (Harmonic distortion)
• 스펙트럼 성장 (Spectral Growth)

변조와 증폭의 품질 평가 용도의 계량법이다. 이번 강의에서는 개념만 살펴보고 자세한 계산법은 앞으로 혼변조(inter modulation) 시간에 다룬다.

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고조파 왜곡(Harmonic distortion)

비선형 시스템의 출력에 나타나는 고조파 특징:

• 입력 신호의 주파수에 정수배 주파수를 갖는 신호가 출력에 포함됨
  - 짝수배 고조파(even harmonics)
  - 홀수배 고조파(odd harmonics)
• 홀수배와 짝수배 고조파로 구분하는 이유
  - DC 성분은 짝수배 고조파다.
  - 고조파의 세기는 짝수배 또는 홀수배 끼리 모인다.
• 고조파 배수가 높아질 수록 크기(고조파의 전압 진폭)는 감소한다.
• 고조파 배수가 클 수록 입력 전압 진폭에 빠르게(크게) 반응 한다.
  Ain → (Ain)^n

• 고조파를 제대로 억제하지 않으면 인접 정수배 대역에 혼신을 야기한다.
  - 그건 알겠는데 굳이 정수배 대역을 정해놓고 사용하는 이유는 또 뭐여? (뭔가 잇점이 있을 것 같지 않아?)

• 인접 대역은 필터로 억제하긴 하는데,
  - LC 필터(GHz 대역은 디지털 필터 불가!)라 그리 날카롭지 않다.
  - 고조파는 입력에 빠르게 반응(약간의 입력 전압 변동에 크게 반응)하는 특성이 있다.

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스펙트럼 성장 (Spectral Growth)

비선형 시스템의 출력에 고조파 이외의 주파수 성분이 생겨난다.

• 부 주파수의 확장 및 증가
• 포화되는 경우

출력 감소운영(Back-Off Power)

• 1dB 점까지 선형성 구간이라고 할 수 있지만 스펙트럼 왜곡(팽창과 성장)에서 자유롭지 않다.
• 선형성 구간 이내로 출력을 줄여 운용하는 경우 왜곡을 피할 수 있으나 효율이 떨어진다.

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결론

효율인가? 왜곡 방지인가?

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[무선통신 시스템 설계] 10강. 비선형성: 이득억압(Gain Compression)

[무선통신 시스템 설계] 10강. 비선형성: 이득억압(Gain Compression)

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[일러두기] 이 글은 아래 강좌를 토대로 작성되었습니다. 일부 내용은 저의 생각 담아 첨삭하였습니다. 오류가 있을 수 있으니 강좌 원본을 꼭 함께 봐주시기 바랍니다.

[Radio System Design] Module 9. Non-Linearity: Gain Compression / David S. Ricketts

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개요

• 1dB Compression Point

증폭기의 이득이 포화되는 비선형적 현상이 발생한다. 증폭 이득이 더이상 선형성을 잃어가는 지점을 선형에서 1dB 벌어지는 지점으로 본다.

[사진출처] http://www.ktword.co.kr/test/view/view.php?no=6533

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테일러 급수로 근사 모형화 된 시스템(증폭기)에서 전력 1dB 이득억압 점(P1dB Compression point)의 입력 전압을 구해보자.

[어떤 증폭기의 유효 입력 전압의 한계치를 구해보자. 증폭기의 입력을 마냥 높일 순 없다. 증폭기는 비선형 이니까 선형 구간 내에서 작동 해야 한다.]

증폭기의 증폭도(gain)는 입출력 사이의 전압비(voltage ratio)를 의미한다. 선형성이 적용되는 구간에서 증폭은 입력 곱하기 이득이다. 선형구간에서 출력은 입력에 이득을 곱한 것이므로,

    Vout = Vin*G

dB 로 표현하기 위해 양변에 로그를 취하면,

    10*log(Vout) = 10*log(Vin*G)

    log(Vout) = log(Vin) + log(G)

결국,

    Vout[dB] = Vin[dB] + G[dB]

전력(Power)으로 따져봐도

    20*log(Pout) = 20*log(Pin*G)

    Pout[dB] = Pin[dB] + G[dB]

입력과 출력은 1:1의 선형관계에 있고 다만 이득 G 가 수직 이동된 셈이다.

입력을 증가 시키면 선형성이 흐트러지기 시작한다. 이득이 줄어들기 시작하여 차이가 1dB 되는 지점을 "1dB 이득 억압점"이라고 한다. [증폭기의 유효 동작 한계점으로 볼 수 있다.]

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비선형 증폭기를 테일러 급수로 근사시킨 모형으로 돌아가 "1dB 이득 억압점"을 찾아보자.

• 주 주파수에 대한 입출력 전압비를 이득으로 삼기로 한다.

•  이득 곡선:
  - 입력 전압이 작을 경우, 이득은 입력전압에 무관하게 α1 만 유효한 선형 구간
  - α1*α3>0경우, 큰 입력 전압에도 이득이 증가
  - α1*α3<0경우, 큰 입력 전압에 이득 감소 [대부분 전자회로 시스템이 이에 해당]

• '1dB Compression Point'을 찾아야 하므로 전압이득을 dB 로 표현

• 증폭기가 선형성을 유지하는 입력 전압의 유효치 Ain'1dB계산식을 얻음
  - 출력에서 기초 성분와 제3 고조파 성분의 비율 (전압비=전력비)

[주] 간단한 지수-로그 수학을 가지고 개념을 넣어 엄청난 듯한 수식을 만들어 냈다. 공돌이 놈들(대부분 실험을 다루는 대부분 이과놈들도 마찬가지!)이 만들어 놓은 어지러운 수식이 다 이런 식이다. 겁내지 말자!

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결론

• 비선형 시스템을 선형으로 근사한 모형에 대하여 입력구간의 유효범위는 선형출력에 1dB 오차가 나는 지점까지다.
• 이 범위를 벗어나면 효율이 급격히 떨어진다.
• 비선형 시스템의 테일러 급수 근사는 전압의 관점에서 본 것이다. 전력의 관점에서도 따져봤다.
• 비선형 증폭기(전자회로 증폭기는 모두 비선형)의 유효 입력 진폭(전압)은 본 주파수의 전력성분과 3고조파 전력 성분비로 계산된다.
•  데시벨로 표현해 보는 연습을 해봤다.

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[참고]

1. Gain Compression [Link]

2. Gain Compression/이득 억압, 이득 압축 [링크]

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[무선통신 시스템 설계] 9강. 비선형성 기초 (Non-Linearity Basics)

[무선통신 시스템 설계] 9강. 비선형성 기초 (Non-Linearity Basics)

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[일러두기] 이 글은 아래 강좌를 토대로 작성되었습니다. 일부 내용은 저의 생각 담아 첨삭하였습니다. 오류가 있을 수 있으니 강좌 원본을 꼭 함께 봐주시기 바랍니다.

[Radio System Design] Module 9. Non-Linearity Basics / David S. Ricketts

함께 공부한다고 여기시고 아래 글에 오류가 있다면 가차없는 지적 바랍니다.
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개요

• 비선형성의 정의(Definition of Non-Linearity)
• 비선형성 모형화(Modeling of Non-Linearity)

실제 우리가 접하는 모든 현상(자연적으로나 사회적으로나)은 비 선형적이다. 과거의 경험을 바탕으로 쉽게(!) 예측하고 싶어 선형적으로 근사화 하려는 노력이다.

[무전기 얘기 하다가 웬 수학 타령이람!]

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선형성과 비선형성의 비교(Linearity vs Non-Linearity)

• 어떤 시스템이 중첩의 원리(superposition rule)를 따를 때 선형적이라고 한다.
  - 시스템 = 입력+출력+함수
  - '중첩의 원리' [링크]: 입력의 중첩과 출력의 중첩은 동일해야 한다.

비선형 시스템의 간단한 예:

• 선형 방정식(편이가 있는 1차 함수)을 함수로 가진 시스템이라고 해서 선형성을 가지는 것은 아니다.
  

직관적으로 보자. 입력에 x 의해 반응 하는 증폭 m외에 별도의 c 가 생겨난 것과 같은 의미가 된다. 마치 없던 것이 생겨났다. 선형 시스템이 아니다.

• 사인파 증폭 회로의 예
  - 입력전압 V 에 대해 이득이 G인 시스템이다.
  - 증폭에는 전압증폭(voltage gain)과 전력증폭(power gain)이 있다. 여기서는 전압 증폭 시스템이라 하자.
  

입력으로 사인파가 주어지고 출력은 증폭률 G 에 의하여 결정된다. 입력의 모습이 선형이든 비선형이든 상관 없이 이 시스템은 선형성을 갖는다. (출력의 전압이 입력의 전압에 G 만큼 커졌다.)

주파수와 진폭이 다른 두 사인파가 입력으로 주어졌다. 출력은 두 사인파에 대해 각각 증폭도 G 를 곱한 반응이다. 이 시스템은 선형성을 갖는다. (두 사인파 사이의 영향 없음)

증폭률 G가 입력 신호의 전압변동에 의해 반응 하는 함수, G(Vin)인 경우 출력은 입력마다 다르게 증폭 될 뿐만 아니라 입력에 없던 새로운 신호를 생성하기도 한다. 과도증폭으로 인한 포화(saturation), 두 신호가 상호영향을 주는 변조(modulation), 특정 주파수를 억압하는 필터(filter) 등의 예에서 많이 보던 시스템이다. 이런 시스템은 비선형 이다. 증폭 함수 G(Vin)이 입력 전압 Vin과 입력전압의 주파수 ω에도 반응 한다.

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비선형성의 모형화 (Why & How Model)

• 현실 세계는 비선형 시스템
• 모의실행으로 예측과 분석을 위해서
• 수학을 통한 모형: 물리현상의 이해 (제멋대로 인것처럼 보이지만 규칙이...)

모형을 세우는 수학적 접근법은 여럿 있겠으나 테일러 급수(Taylor Seriese) 기법위주로 다루겠다. 접선을 계수로 하는 고차항 들의 합.

테일러 급수로 모형화 한 예: 다음과 같은 모습의 RF 증폭기가 있다고 하자.

• 이 증폭기는 포화 영역이 있다.
• 입력이 작은 구간에서 선형적으로 근사할 수 있다.
• 더 정확한, 입력 범위를 넓게 확장하려면 고차 미분항이 필요하다.

시스템의 비선형 행태를 테일러 급수를 써서 근사:

• 출력 Vout(t)는 입력 Vin(t) 에 대한 기울기(미분항)를 곱으로 하는 다항식(=급수의 합)으로 근사된다.
• 입력 Vin에 대한 각항의 기울기 α는 초기조건 Vin=0 (동작점)으로 하는 미분값.
• 이 근사 모형의 정확도는 입력의 범위에 달렸다.

* 근사식에 홀수차 제곱항 사용에 유의

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비선형적 모형화로 인해 생기는 일:

단일 주파수를 갖는 주기신호(=싱글톤, single-tone)가 비선형 시스템에 적용되면 어떤 일이 벌어지는지 보자.

• 입력에 대해 테일러 확장식으로 표현되는 시스템이라고 하자.

• 이 시스템의 입력에 싱글톤 신호를 입력하자.

• 이 시스템의 비선형성을 테일러 급수로 근사시켜 놓으면(비선형 근사 모형),

이 시스템의 행동(behavior)에 대해 입력(일차식 이었다!)과의 관계를 알고자 하는데 다행히 사인파처럼 주기함수들의 고차제곱은 일차항으로 확장 가능하다.

코사인 제곱을 확장하는 법칙을 울프람에게 물어보자. 인터넷은 이럴때 쓰는 것.

• 근데, 왜 확장했다고?

스펙트럼 아날라이져에서 많이 보던 모습이다. 증폭기, 변조기 등등 대부분 비선형 시스템에서 보던 고조파를 동반한 모습이다. 

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결론

테일러 확장식으로 비선형 시스템을 모형화 하는 방법은 타당하다.

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[참고] https://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html

Taylor Series

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Download Wolfram Notebook

A Taylor series is a series expansion of a function about a point. A one-dimensional Taylor series is an expansion of a real function  about a point  is given by

If , the expansion is known as a Maclaurin series.

Taylor's theorem (actually discovered first by Gregory) states that any function satisfying certain conditions can be expressed as a Taylor series.

......