0주: 환영(Welcome)
W0.1 강좌 예고(Course Trailer)
W0.2~5 강좌 개요(Course Overview)
W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
(Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)
1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application: Compound interest)
W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application: Terminal Velocity)
W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application: RC Circuit)
W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)
W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)
2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)
W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)
W2.2/11강 중첩의 원리(Principle of Superposition)
W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)
W2.4/보강1 복소수(complex numbers)
W2.5/13강 일원 2차 상미분 방정식(Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.6/14강 예제1: 2개의 실근(Case1: Distinct Real Roots)
W2.7/15강 예제2A: 켤레 복소수 근 A(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part A))
W2.8/16강 예제2B: 켤레 복소수 근 B(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part B))
W2.9/17강 예제3A: 중근 A(Case 3: Repeated Roots (Part A))
W2.10/18강 예제3B: 중근 B(Case 3: Repeated Roots (Part B))
W2.11 연습문제(Practice quiz: Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.12/19강 이원 2차 상미분 방정식(Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.13/20강 지수함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Exponential func.)
W2.14/21강 삼각함수꼴 이원항(A)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part A)
W2.15/22강 삼각함수꼴 이원항(B)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part B)
W2.16/23강 다항함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Polynomials)
W2.17/24강 공진현상(Resonance)
W2.18 연습문제(Practice quiz: Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.19/보강2 차원해석(Dimensional Analysis: Nondimensionalization)
W2.20/25강 응용: RLC회로(Application: RLC Circuit)
W2.21/26강 응용: 스프링에 달린 질량(Application: mass on a spring)
W2.22/27강 응용: 진자운동(Application: Pendulum)
W2.23/28강 응용: 감쇄공진(Application: Damped Resonance)
W2.24 평가문제(Week-2 Graded Quiz)
3주: 라플라스 변환과 급수해(Laplace Transform and Series Solution)
W3.1/29강 라플라스 변환의 정의(Definition of Laplace Transform)
W3.2/30강 상미분 방정식의 라플라스 변환(Laplace transform of a const.coeff.ode)
W3.3/31강 초기값 문제의 해(Solution of an Initial Value Problem)
W3.4 연습문제:라플라스 변환(Practice Quiz: Laplace Transform)
W3.5/32강 단위 계단함수(The heaviside step functions)
W3.6/33강 디랙-델타 함수(The Dirac delta function)
W3.7/34강 불연속 함수를 이원항으로 갖는 미분 방정식의 풀이
(solution of a discontinuous inhomogeneous term)
W3.8/35강 임펄스 함수를 이원항으로 갖는 미분 방정식의 풀이
(Solution of an impulsive inhomogeneous term)
W3.9 연습문제:불연속 및 임펄스 이원항
(Practice Quiz: Discontinuous and Impulse Inhomogeneous Term)
W3.10/36강 급수해법(The Series Solution Method)
W3.11/37강 에어리 방정식의 급수해-A
(Series solution of the Airy's equation-Part A)/동영상/영문자막
계수가 상수가 아닌 미분 방정식은 이전에 배운 지수함수의 가설해법으로 풀 수 없었다. 미분의 선형 결합으로 구성된 방정식이라 보고 해를 가정한 방법에서 벗어나기 때문이다. 이런 미분 방정식은 해석적(Analytic method)으로 풀기 불가능 하여 급수(수열)해 방법(Series method) 또는 수치해석 방법(Numerical method)으로 풀 수 있다[결국 근사해(Approximation)].
다음과 같이 y(x)의 계수가 상수가 아닌 다시 x의 곱이 있는 에어리 방정식(Airy's equation)은 수학에서 잘 알려진 특수 방정식의 하나다[에어리 함수].
이 미분 방정식이 다음과 같은 급수해를 갖는다고 가정하자.
급수 형식의 가설해는 다항식의 꼴이므로 쉽게 미분 할 수 있다. 2차 미분하여 방정식에 대입하면 다음과 같다.
두 급수합을 합치기 위해 먼저 인수 x의 차수를 맞추자.
이어서 합에 포함된 각 항의 색인을 일치 시켜 두 항을 합쳐 보자[계수 a_n은 수열 관계(series relation)에 있다고 가정하였으므로 색인을 이동(index shifting) 시킬 수 있다]. 첫번째 급수항의 첫항인 n=-1을 적용하면 이 급수의 첫항은 상수가 된다. 이 상수 첫항을 분리해 내면 두 급수를 합칠 수 있다.
방정식의 양변이 일치해야 하므로 a_2=0이며 급수의 계수도 0이어야 한다. 급수합의 계수는 재귀적 관계(recursion relation)[수열]에 있다.
2차 미분이므로 계수의 수열관계는 2개의 색인 차가 난다. 먼저 n=0 부터 시작해보자.
두번째 수열은 n=1로 시작한다.
n=2에서 시작하는 수열은 0이다.
결국 에어리 방정식의 급수해는 다음과 같다. 두 급수의 선형 결합이다.
[연습]---------------------------------------------------------
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