아무나 하는 수학, 과학 & 라디오: W2.21/26강 스프링에 달린 질량(Application: mass on a spring)

[커세라] 이과생을 위한 미분 방정식(Differential Equations for Engineers)

0주: 환영(Welcome)
W0.1 강좌 예고(Course Trailer)
W0.2~5 강좌 개요(Course Overview)
W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
(Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)

1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application: Compound interest)
W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application: Terminal Velocity)
W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application: RC Circuit)
W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)
W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)

2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)
W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)
W2.2/11강 중첩의 원리(Principle of Superposition)
W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)
W2.4/보강1 복소수(complex numbers)
W2.5/13강 일원 2차 상미분 방정식 (Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.6/14강 예제1: 2개의 실근(Case1: Distinct Real Roots)
W2.7/15강 예제2A: 켤레 복소수 근 A(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part A))
W2.8/16강 예제2B: 켤레 복소수 근 B(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part B))
W2.9/17강 예제3A: 중근 A(Case 3: Repeated Roots (Part A))
W2.10/18강 예제3B: 중근 B(Case 3: Repeated Roots (Part B))
W2.11 연습문제(Practice quiz: Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.12/19강 이원 2차 상미분 방정식(Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.13/20강 지수함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Exponential func.)
W2.14/21강 삼각함수꼴 이원항(A)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part A)
W2.15/22강 삼각함수꼴 이원항(B)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part B)
W2.16/23강 다항함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Polynomials)
W2.17/24강 공진현상(Resonance)
W2.18 연습문제(Practice quiz: Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.19/보강2 차원해석(Dimensional Analysis: Nondimensionalization)
W2.20/25강 응용: RLC회로(Application: RLC Circuit)

W2.21/26강 응용: 스프링에 달린 질량(Application: mass on a spring) /동영상/영문자막

벽에 붙은 스프링의 한쪽에 질량을 가진 물체를 달았다. 그리고 벽쪽으로 힘을 주어 벽쪽으로 밀었다. 미는 힘 F_0 가 상수라면 스프링의 길이가 작아져(압축되어) 복원력 -kx가 미는 힘보다 커지면 질량은 반대쪽으로 밀린다. 스프링의 길이가 늘어나 복원력이 약해지고 미는 힘이 세지면 다시 스프링의 길이가 작아지면서 압축되기 시작한다. 이 질량이 움직이는 과정에 마찰력이 작용한다. 이렇게 스프링의 압축과 이완을 기술하는 매개 변수는 거리 x와 시간에 대한 변화율이다. 거리와 시간의 차원을 합쳐 차원이 없는 식을 만들어보자.

스프링에 메달린 질량에 작용하는 힘의 총합과 압축과 이완의 주기적 반복 현상을 이원 미분 방정식으로 기술한다. 특히 차원없는 미분 방정식은 RLC회로와 같은 꼴이다. 물리적 현상을 기술하고 이를 차원없는 방정식으로 기술하면 현상을 보는 관점이 하나로 모아진다.

We have the application of a mass on a spring.

We are using Newton's law, F equals ma. The acceleration is the second derivative of x with respect to time. We need to figure out how are we going to model the forces on this mass.

We're going to model the spring force using Hooke's law.

We're going to model the frictional force by saying it opposes the velocity and is proportional to the velocity,

We're going to model an external force.

So, someone is driving this mass. F equals ma gives us a second-order differential equation inhomogeneous because of the external force but with constant coefficients.

It looks different than our equation for the LRC circuit, but if we define the dimensionless variables using ω_0 squared.

If we define dimensionless variables,