0주: 환영(Welcome)
W0.1 강좌 예고(Course Trailer)
W0.2~5 강좌 개요(Course Overview)
W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
(Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)
1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application: Compound interest)
W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application: Terminal Velocity)
W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application: RC Circuit)
W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)
W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)
2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)
W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)
W2.2/11강 중첩의 원리(Principle of Superposition)
W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)
W2.4/보강1 복소수(complex numbers)
W2.5/13강 일원 2차 상미분 방정식
(Homogeneous 2nd-order ODEs with constant coefficients)
W2.6/14강 예제1: 2개의 실근(Case1: Distinct Real Roots)
W2.7/15강 예제2A: 켤레 복소수 근 A(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part A))
W2.8/16강 예제2B: 켤레 복소수 근 B(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part B))
W2.9/17강 예제3A: 중근 A(Case 3: Repeated Roots (Part A))
W2.10/18강 예제3B: 중근 B(Case 3: Repeated Roots (Part B))
W2.11 연습문제(Practice quiz: Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.12/19강 이원 2차 상미분 방정식(Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.13/20강 지수함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Exponential func.)
W2.14/21강 삼각함수꼴 이원항(A)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part A)
W2.15/22강 삼각함수꼴 이원항(B)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part B)
W2.16/23강 다항함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Polynomials)/동영상/영문자막
이번에 풀어볼 이원 2차 상미분 방정식의 예는 이원항이 다항 함수(polynomial)의 경우다. 가설해법(ansatz)으로 방정식의 특수해(particular solution/특정해:가정한 경우에만 만족하는 해)을 구하고 그 선형 조합으로 일반해를 구하는 과정은 같다.
앞선 예에서 이원항과 동일한 꼴의 해를 가정해 놓고 특수해를 구했었다. [그리하여 가설해의 미분을 대입하여 이원항을 소거를 해 내고 가설해에 포함된 미지계수 값을 구할 수 있었다] 이원항이 다항식인 경우에도 x 를 이원항과 같은 차수의 다항식으로 가정해놓자. [양변에 동차 다항 방정식으로 만들어 계수 비교로 미지수를 구할 수 있다]
다음과 같은 이원 2차 미분 방정식의 특수해(particular solution)를 구하라.
이 미분 방정식의 해가 이원항과 동일한 차수의 다항식이라고 가설을 세워 놓자.
이 가설해와 그의 1차 미분, 2차 미분 모두 선형조합하면 최고 차수는 결국 이원항과 같다.
가설해의 미분을 미분 방정식에 대입하면,
양변은 t에 대한 동차 다항식이다. 계수를 비교해 보자.
혹은,
t에 관계없이 이 방정식을 만족하려면 다음의 조건을 만족해야 한다.
가설로 세웠던 해에 포함된 미지 계수 A,B,C의 값을 모두 구했다. 따라서 특정해는 다음과 같다.
[연습]--------------------------------------------------------------
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