아무나 하는 수학, 과학 & 라디오: W4.5/41강 복소수근 고유치(Complex-Conjugate eigenvalues)

[커세라] 이과생을 위한 미분 방정식(Differential Equations for Engineers)

0주: 환영(Welcome)
W0.1 강좌 예고(Course Trailer)
W0.2~5 강좌 개요(Course Overview)
W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
(Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)

1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application: Compound interest)
W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application: Terminal Velocity)
W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application: RC Circuit)
W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)
W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)

2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)
W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)
W2.2/11강 중첩의 원리(Principle of Superposition)
W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)
W2.4/보강1 복소수(complex numbers)
W2.5/13강 일원 2차 상미분 방정식 (Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.6/14강 예제1: 2개의 실근(Case1: Distinct Real Roots)
W2.7/15강 예제2A: 켤레 복소수 근 A(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part A))
W2.8/16강 예제2B: 켤레 복소수 근 B(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part B))
W2.9/17강 예제3A: 중근 A(Case 3: Repeated Roots (Part A))
W2.10/18강 예제3B: 중근 B(Case 3: Repeated Roots (Part B))
W2.11 연습문제(Practice quiz: Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.12/19강 이원 2차 상미분 방정식(Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.13/20강 지수함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Exponential func.)
W2.14/21강 삼각함수꼴 이원항(A)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part A)
W2.15/22강 삼각함수꼴 이원항(B)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part B)
W2.16/23강 다항함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Polynomials)
W2.17/24강 공진현상(Resonance)
W2.18 연습문제(Practice quiz: Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.19/보강2 차원해석(Dimensional Analysis: Nondimensionalization)
W2.20/25강 응용: RLC회로(Application: RLC Circuit)
W2.21/26강 응용: 스프링에 달린 질량(Application: mass on a spring)
W2.22/27강 응용: 진자운동(Application: Pendulum)
W2.23/28강 응용: 감쇄공진(Application: Damped Resonance)
W2.24 평가문제(Week-2 Graded Quiz)

3주: 라플라스 변환과 급수해(Laplace Transform and Series Solution)
W3.1/29강 라플라스 변환의 정의(Definition of Laplace Transform)
W3.2/30강 상미분 방정식의 라플라스 변환(Laplace transform of a const.coeff.ode)
W3.3/31강 초기값 문제의 해(Solution of an Initial Value Problem)
W3.4 연습문제:라플라스 변환(Practice Quiz: Laplace Transform)
W3.5/32강 단위 계단함수(The heaviside step functions)
W3.6/33강 디랙-델타 함수(The Dirac delta function)
W3.7/34강 불연속 함수를 이원항으로 갖는 미분 방정식의 풀이
(solution of a discontinuous inhomogeneous term)
W3.8/35강 임펄스 함수를 이원항으로 갖는 미분 방정식의 풀이
(Solution of an impulsive inhomogeneous term)
W3.9 연습문제:불연속 및 임펄스 이원항
  (Practice Quiz: Discontinuous and Impulse Inhomogeneous Term)
W3.10/36강 급수해법(The Series Solution Method)
W3.11/37강 에어리 방정식의 급수해-A
  (Series solution of the Airy's equation-Part A)
W3.12/38강 에어리 방정식의 급수해-B
  (Series solution of the Airy's equation-Part B)
W3.13 연습문제:급수해(Practice Quiz: Series Solutions)

W3.14 평가문제(Week-3 Grade Quiz)

4주: 선형 미분 방정식 시스템(Systems of linear differential equation)
W4.1/보강3 행렬과 행렬식(Matrices and Determinant)
W4.2/보강4 고유치 및 고유값(Eigenvalue and Eigenvectors)
W4.3/39강 선형 일원 1차 미분방정식 시스템
(System of Homogeneous Linear 1-st order ODE)
W4.4/40강 실근 고유치(Distinct real eigenvalue)

W4.5/41강 복소수근 고유치(Complex-Conjugate eigenvalues)/동영상/영문자막

한개 이상의 미분 방정식으로 기술된 시스템(system of linear differential equations)의 해를 구하는 방법을 공부하고 있다. 복수의 선형 방정식을 푸는 방법으로 다수의 방정식을 행렬로 기술 하여 단일 행렬대수 미분 방정식으로 취급하는 방법이 있다.

보통의 미분 방정식에서 그랬던 것처럼 지수함수를 가설해로 삼아 단순한 대수 방정식으로 바꿔 근을 구한다.

행렬이 포함된 방정식의 경우 고유치 문제(eigenvalue)가 발생한다. 행렬의 연산은 특별하다. 실수와 허수가 제각각 영역에서 연산되듯 행렬 또한 행렬끼리 연산되어야 한다. 가설해를 구하는 과정에서 행렬과 미지의 스칼라가 포함된 방정식이 얻어진 경우 단위행렬(Identity matrix)를 곱하여 등가의 행렬이 되도록 만든다.

행렬 방정식에서 0 이 아닌 벡터 해가 존재하려면 행렬식(determinant)이 0이어야 한다. 이 행렬식을 특성 방정식(characteristic equation)이라 한다. 특성 방정식에서 고유치 λ 를 구하고 이를 가설해에 대입하여 고유 벡터 v 를 구한다. 이때 구해지는 두 해 x1, x2 와 고유 벡터 v1, v2 는 벡터이며 고유치 λ가 지수부에 포함된 지수함수는 스칼라(scalar)임에 유의하자.

끝으로 가설해를 중첩(superposition)하여 일반해(general solution)를 구한다.

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두 1차 미분 방정식으로 기술된 시스템의 해를 구하는 과정에서 특성 방정식의 고유치가 켤레 복소수가 되는 경우를 풀어보자. 2차 미분 방정식의 가설해를 푸는 과정에서 근이 켤레 복소수가 되었을 경우 이를 다루는 법은 앞서 공부했다[A][B]. 판별식(특성 방정식)의 근이 복소수가 되는 경우 실수부(real)와 허수부(imaginery)로 구성된 켤레 관계의 두 근을 갖는다. 다음과 같은 1차 미분 방정식 시스템의 해를 구해보자.