0주: 환영(Welcome)
W0.1 강좌 예고(Course Trailer)
W0.2~5 강좌 개요(Course Overview)
W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
(Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)
1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application: Compound interest)
W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application: Terminal Velocity)
W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application: RC Circuit)
W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)
W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)
2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)
W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)
W2.2/11강 중첩의 원리(Principle of Superposition)
W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)
W2.4/보강1 복소수(complex numbers)
W2.5/13강 일원 2차 상미분 방정식(Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.6/14강 예제1: 2개의 실근(Case1: Distinct Real Roots)
W2.7/15강 예제2A: 켤레 복소수 근 A(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part A))
W2.8/16강 예제2B: 켤레 복소수 근 B(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part B))
W2.9/17강 예제3A: 중근 A(Case 3: Repeated Roots (Part A))
W2.10/18강 예제3B: 중근 B(Case 3: Repeated Roots (Part B))
W2.11 연습문제(Practice quiz: Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.12/19강 이원 2차 상미분 방정식(Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.13/20강 지수함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Exponential func.)
W2.14/21강 삼각함수꼴 이원항(A)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part A)
W2.15/22강 삼각함수꼴 이원항(B)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part B)
W2.16/23강 다항함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Polynomials)
W2.17/24강 공진현상(Resonance)
W2.18 연습문제(Practice quiz: Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.19/보강2 차원해석(Dimensional Analysis: Nondimensionalization)
W2.20/25강 응용: RLC회로(Application: RLC Circuit)
W2.21/26강 응용: 스프링에 달린 질량(Application: mass on a spring)
W2.22/27강 응용: 진자운동(Application: Pendulum)
W2.23/28강 응용: 감쇄공진(Application: Damped Resonance)
W2.24 평가문제(Week-2 Graded Quiz)
3주: 라플라스 변환과 급수해(Laplace Transform and Series Solution)
W3.1/29강 라플라스 변환의 정의(Definition of Laplace Transform)
W3.2/30강 상미분 방정식의 라플라스 변환(Laplace transform of a const.coeff.ode)
W3.3/31강 초기값 문제의 해(Solution of an Initial Value Problem)
W3.4 연습문제:라플라스 변환(Practice Quiz: Laplace Transform)
W3.5/32강 단위 계단함수(The heaviside step functions)
W3.6/33강 디랙-델타 함수(The Dirac delta function)
W3.7/34강 불연속 함수를 이원항으로 갖는 미분 방정식의 풀이
(solution of a discontinuous inhomogeneous term)
W3.8/35강 임펄스 함수를 이원항으로 갖는 미분 방정식의 풀이
(Solution of an impulsive inhomogeneous term)
W3.9 연습문제:불연속 및 임펄스 이원항
(Practice Quiz: Discontinuous and Impulse Inhomogeneous Term)
W3.10/36강 급수해법(The Series Solution Method)
W3.11/37강 에어리 방정식의 급수해-A
(Series solution of the Airy's equation-Part A)
W3.12/38강 에어리 방정식의 급수해-B
(Series solution of the Airy's equation-Part B)
W3.13 연습문제:급수해(Practice Quiz: Series Solutions)
W3.14 평가문제(Week-3 Grade Quiz)
4주: 선형 미분 방정식 시스템(Systems of linear differential equation)
W4.1/보강3 행렬과 행렬식(Matrices and Determinant)
W4.2/보강4 고유치 및 고유값(Eigenvalue and Eigenvectors)
W4.3/39강 선형 일원 1차 미분방정식 시스템
(System of Homogeneous Linear 1-st order ODE)
W4.4/40강 실근 고유치(Distinct real eigenvalue)
W4.5/41강 복소수근 고유치(Complex-Conjugate eigenvalues)
W4.6 연습문제: 미분방정식 시스템(Systems of Differential Equations)
W4.7/42강 결합 진동자(Coupled Oscillator)
W4.8/43강 정규 모드(고유치)(Normal mode(eigenvalues))
W4.9/44강 정규 모드(고유 벡터)(Normal mode(eigenvectors))/동영상/영문자막
앞서 결합 진동자(coupled oscillator)의 고유치(eigenvalues)를 구하는 문제를 풀었다. 결합 진동자를 기술하는 행렬 방정식으로부터 가설해를 설정한 후 고유치 문제를 풀어 두 고유치를 구했다.
첫번째 고유치로부터 얻은 해의 진동수는 스프링 k에 의존하고 두번째 고유치의 진동수는 두 스프링 k와 K에 모두 영향을 받고 있음에 유의하자. 고유치로부터 얻은 r 을 가설해에 적용하면 켤레 복소수(complex-conjugate) 꼴이 된다.
두 고유벡터(eigenvectors;상수 벡터)가 실수 값을 가진다면,
결국 두 켤레 복소수(complex-conjugate)의 덧셈과 뺄셈으로 실수 값을 갖는 가설해를 구할 수 있다.
이제 고유 벡터(eigenvectors)를 구해보자. 첫번째 고유치를 적용하여 얻은 고유벡터로 원소 모두 실수다.
두번째 고유치에서 얻은 고유벡터 역시 모두 실수 원소를 갖는다.
결합 진동자(coupled oscillator)의 풀이는 겉보기에 매우 난해해 보이지만 실제로 구해보면 쉽다. 첫번째 고유치와 고유 벡터에 대하여 두 진동자의 가설해는 중간의 K 스프링과 무관하게 (마치 한물체 인 것처럼) 동일 방향으로 동일 변위로 진동 한다.
두번째 고유치와 고유 벡터에 대한 진동은 K 스프링의 영향을 받는다. 동일 변위지만 방향은 반대로 진동한다.
일반 해(general solution)는 두 가설해의 중첩(superposition of ansatz solution)으로 구할 수 있다.
위의 해에서 알 수 있듯이 복잡해 보이는 결합 진동자의 두 질량체 움직임은 주파수가 다른 두 사인파(또는 코사인파)의 선형 합(linear sum=superposition)으로 해석된다.
다른 진동수와 진폭을 가진 두 파동의 결합(상쇄 혹은/그리고 복합)으로 복잡한 진동의 모습을 보이더라도 각기 고유 진동수를 갖는 파장으로 분해된다. 이 각각의 진동을 정규 모드(normal mode)라 한다.
[연습]------------------------------------------
댓글 없음:
댓글 쓰기