0주: 환영(Welcome)
W0.1 강좌 예고(Course Trailer)
W0.2~5 강좌 개요(Course Overview)
W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
(Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)
1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application: Compound interest)
W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application: Terminal Velocity)
W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application: RC Circuit)
W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)
W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)
2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)
W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)
W2.2/11강 중첩의 원리(Principle of Superposition)
W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)
W2.4/보강1 복소수(complex numbers)
W2.5/13강 일원 2차 상미분 방정식(Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.6/14강 예제1: 2개의 실근(Case1: Distinct Real Roots)
W2.7/15강 예제2A: 켤레 복소수 근 A(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part A))
W2.8/16강 예제2B: 켤레 복소수 근 B(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part B))
W2.9/17강 예제3A: 중근 A(Case 3: Repeated Roots (Part A))
W2.10/18강 예제3B: 중근 B(Case 3: Repeated Roots (Part B))
W2.11 연습문제(Practice quiz: Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.12/19강 이원 2차 상미분 방정식(Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.13/20강 지수함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Exponential func.)
W2.14/21강 삼각함수꼴 이원항(A)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part A)
W2.15/22강 삼각함수꼴 이원항(B)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part B)
W2.16/23강 다항함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Polynomials)
W2.17/24강 공진현상(Resonance)
W2.18 연습문제(Practice quiz: Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.19/보강2 차원해석(Dimensional Analysis: Nondimensionalization)
W2.20/25강 응용: RLC회로(Application: RLC Circuit)
W2.21/26강 응용: 스프링에 달린 질량(Application: mass on a spring)
W2.22/27강 응용: 진자운동(Application: Pendulum)
W2.23/28강 응용: 감쇄공진(Application: Damped Resonance)
W2.24 평가문제(Week-2 Graded Quiz)
3주: 라플라스 변환과 급수해(Laplace Transform and Series Solution)
W3.1/29강 라플라스 변환의 정의(Definition of Laplace Transform)
W3.2/30강 상미분 방정식의 라플라스 변환(Laplace transform of a const.coeff.ode)
W3.3/31강 초기값 문제의 해(Solution of an Initial Value Problem)
W3.4 연습문제:라플라스 변환(Practice Quiz: Laplace Transform)
W3.5/32강 단위 계단함수(The heaviside step functions)
W3.6/33강 디랙-델타 함수(The Dirac delta function)
W3.7/34강 불연속 함수를 이원항으로 갖는 미분 방정식의 풀이
(solution of a discontinuous inhomogeneous term)
W3.8/35강 임펄스 함수를 이원항으로 갖는 미분 방정식의 풀이
(Solution of an impulsive inhomogeneous term)
W3.9 연습문제:불연속 및 임펄스 이원항
(Practice Quiz: Discontinuous and Impulse Inhomogeneous Term)
W3.10/36강 급수해법(The Series Solution Method)
W3.11/37강 에어리 방정식의 급수해-A
(Series solution of the Airy's equation-Part A)
W3.12/38강 에어리 방정식의 급수해-B
(Series solution of the Airy's equation-Part B)
W3.13 연습문제:급수해(Practice Quiz: Series Solutions)
W3.14 평가문제(Week-3 Grade Quiz)
4주: 선형 미분 방정식 시스템(Systems of linear differential equation)
W4.1/보강3 행렬과 행렬식(Matrices and Determinant)
W4.2/보강4 고유치 및 고유값(Eigenvalue and Eigenvectors)
W4.3/39강 선형 일원 1차 미분방정식 시스템
(System of Homogeneous Linear 1-st order ODE)
W4.4/40강 실근 고유치(Distinct real eigenvalue)
W4.5/41강 복소수근 고유치(Complex-Conjugate eigenvalues)
W4.6 연습문제: 미분방정식 시스템(Systems of Differential Equations)
W4.7/42강 결합 진동자(Coupled Oscillator)/동영상/영문자막
한개 이상의 미분 방정식으로 기술되는 시스템의 예로서 스프링에 연결된 두 질량의 운동이다. 그림에서 보는 것처럼 같은 크기의 두 질량 m이 각각 탄성 계수가 k인 스프링에 붙어 양 벽에 걸렸고 두 질량 사이에 다른 탄성계수 K의 스프링에 연결되어 있다. 두 물체의 스프링 운동이 중간의 또다른 스프링을 매개로 복합적 진동(coupled oscillation)을 일으킨다.
이 두 물체의 의 움직임을 해석해 보자. 다소 복잡해 보이는 이 문제는 매틀랩(MATLAB)같은 물리/수학 시뮬레이션 패키지에 예제로 흔히 등장한다.
뿐만 아니라 매우 흥미있는 주제로서 수많은 물리 학습 동영상에 등장하는 문제 이기도 하다. 언뜻보면 두 질량의 움직임이 제멋대로 같아도 주기성을 가지고 있으며 수학적으로 기술 할 수 있다는 것을 알게될 것이다.
이 시스템에 작용하는 힘은 질량이 진동하며 가속하는 뉴튼의 힘의 법칙(Newton's Law)과 진동의 원인을 제공한 후크의 법칙(Hooke's Law)이 있다. 질량의 움직임은 오직 x 축의 방향만을 고려하며 아주 미끄러운 지면위에 있다고 보고 마찰은 무시하도록 한다.
스프링에 묶인 물체에 작용하는 힘은 다음과 같다. 질량을 가진 물체의 운동을 기술하는 뉴튼의 법칙과 스프링의 탄성력을 기술한 훅크의 법칙이다.
평형 상태에서 물체 m이 정지해 있으면 아무런 힘이 작용하지 않는다. 질량 m이 -x 방향으로 움직이면 그 거리만큼 스프링의 인장력이 생겨 물체에 작용하며 이는 곧 물체를 가속운동 시킨다. 각 질량에 작용하는 운동을 기술하자.
첫번째 물체에 작용하는 힘은 좌우에 메달린 두 스프링의 인장력에 영향을 받는다. 하지만 중간의 스프링 K의 다른쪽에 움직이는 질량이 연결되어 있으므로 이 물체의 움직임에 의해 상쇄된다. 따라서 스프링 K가 첫번째 물체에 연향을 주게될 인장력은 두 물체의 움직임의 차이만큼이다. 두번째 물체에 작용하는 힘 역시 이 물체에 연결괸 두 스프링의 영향을 받는다.
두개의 질량이 K 스프링에 연결됨으로 인해 복합적인 진동(coupled oscillation)을 한다. 따라서 두 방정식을 연립하여 풀어야 한다. 두 미분 방정식을 행렬로 기술하면 다음과 같다.
결국 한 미분 방정식으로 표현될 수 있는데 x 는 벡터, A 는 행렬이라는 점에 유의하자.
이 행렬 미분 방정식의 해를 구하는 방법은 이어지는 강의에서 계속한다.
[연습]-----------------------------------------
4주: 선형 미분 방정식 시스템(Systems of linear differential equation)
W4.1/보강3 행렬과 행렬식(Matrices and Determinant)
W4.2/보강4 고유치 및 고유값(Eigenvalue and Eigenvectors)
W4.3/39강 선형 일원 1차 미분방정식 시스템
(System of Homogeneous Linear 1-st order ODE)
W4.4/40강 실근 고유치(Distinct real eigenvalue)
W4.5/41강 복소수근 고유치(Complex-Conjugate eigenvalues)
W4.6 연습문제: 미분방정식 시스템(Systems of Differential Equations)
W4.7/42강 결합 진동자(Coupled Oscillator)/동영상/영문자막
한개 이상의 미분 방정식으로 기술되는 시스템의 예로서 스프링에 연결된 두 질량의 운동이다. 그림에서 보는 것처럼 같은 크기의 두 질량 m이 각각 탄성 계수가 k인 스프링에 붙어 양 벽에 걸렸고 두 질량 사이에 다른 탄성계수 K의 스프링에 연결되어 있다. 두 물체의 스프링 운동이 중간의 또다른 스프링을 매개로 복합적 진동(coupled oscillation)을 일으킨다.
이 두 물체의 의 움직임을 해석해 보자. 다소 복잡해 보이는 이 문제는 매틀랩(MATLAB)같은 물리/수학 시뮬레이션 패키지에 예제로 흔히 등장한다.
뿐만 아니라 매우 흥미있는 주제로서 수많은 물리 학습 동영상에 등장하는 문제 이기도 하다. 언뜻보면 두 질량의 움직임이 제멋대로 같아도 주기성을 가지고 있으며 수학적으로 기술 할 수 있다는 것을 알게될 것이다.
이 시스템에 작용하는 힘은 질량이 진동하며 가속하는 뉴튼의 힘의 법칙(Newton's Law)과 진동의 원인을 제공한 후크의 법칙(Hooke's Law)이 있다. 질량의 움직임은 오직 x 축의 방향만을 고려하며 아주 미끄러운 지면위에 있다고 보고 마찰은 무시하도록 한다.
스프링에 묶인 물체에 작용하는 힘은 다음과 같다. 질량을 가진 물체의 운동을 기술하는 뉴튼의 법칙과 스프링의 탄성력을 기술한 훅크의 법칙이다.
평형 상태에서 물체 m이 정지해 있으면 아무런 힘이 작용하지 않는다. 질량 m이 -x 방향으로 움직이면 그 거리만큼 스프링의 인장력이 생겨 물체에 작용하며 이는 곧 물체를 가속운동 시킨다. 각 질량에 작용하는 운동을 기술하자.
첫번째 물체에 작용하는 힘은 좌우에 메달린 두 스프링의 인장력에 영향을 받는다. 하지만 중간의 스프링 K의 다른쪽에 움직이는 질량이 연결되어 있으므로 이 물체의 움직임에 의해 상쇄된다. 따라서 스프링 K가 첫번째 물체에 연향을 주게될 인장력은 두 물체의 움직임의 차이만큼이다. 두번째 물체에 작용하는 힘 역시 이 물체에 연결괸 두 스프링의 영향을 받는다.
두개의 질량이 K 스프링에 연결됨으로 인해 복합적인 진동(coupled oscillation)을 한다. 따라서 두 방정식을 연립하여 풀어야 한다. 두 미분 방정식을 행렬로 기술하면 다음과 같다.
결국 한 미분 방정식으로 표현될 수 있는데 x 는 벡터, A 는 행렬이라는 점에 유의하자.
이 행렬 미분 방정식의 해를 구하는 방법은 이어지는 강의에서 계속한다.
[연습]-----------------------------------------
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