0주: 환영(Welcome)
W0.1 강좌 예고(Course Trailer)
W0.2~5 강좌 개요(Course Overview)
W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
(Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)
1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application: Compound interest)
W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application: Terminal Velocity)
W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application: RC Circuit)
W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)
W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)
2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)
W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)
W2.2/11강 중첩의 원리(Principle of Superposition)
W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)
W2.4/보강1 복소수(complex numbers)
W2.5/13강 일원 2차 상미분 방정식
(Homogeneous 2nd-order ODEs with constant coefficients)
W2.6/14강 예제1: 2개의 실근(Case1: Distinct Real Roots)
W2.7/15강 예제2A: 켤레 복소수 근 A(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part A))
W2.8/16강 예제2B: 켤레 복소수 근 B(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part B))
W2.9/17강 예제3A: 중근 A(Case 3: Repeated Roots (Part A))
W2.10/18강 예제3B: 중근 B(Case 3: Repeated Roots (Part B))
W2.11 연습문제(Practice quiz: Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.12/19강 이원 2차 상미분 방정식(Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.13/20강 지수함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Exponential func.)
W2.14/21강 삼각함수꼴 이원항(A)(Inhomogeneous term:sine or cosine)/동영상/영문자막
사인(sim)과 코사인(cos) 함수를 이원항(inhomogeneous term)으로 갖는 2차 상미분 방정식을 풀어보자. 앞선 예에서 1차 및 2차 미분에 지수함수의 원형가 보전되는 지수함수의 특성상 쉽게 이원항을 소거 하여 특수해를 구할수 있었다. 사인과 코사인 함수의 경우 다행히 2차 미분이 원함수가 되지만 1차 미분은 사인과 코사인이 반복되어 단순 소거가 어렵다. 다행히 삼각함수의 주기성을 이용할 수 있다.
다음과 같은 이원 2차 상미분 방정식을 풀어보자. 이원항이 사인 함수다.
1,2차 미분이 사인과 코사인이 반복되므로 특수해를 다음과 같이 가정(ansatz)하자. 구해야할 미지 계수가 A, B로 두개다.
가설해를 1차, 2차 미분하고 문제의 미분 방정식에 대입한다.
위 식을 사인과 코사인으로 묶어 정리하면,
두개의 미지수 상수를 갖는 방정식으로 양변에 모두 삼각함수를 포함하고 있다. 삼각함수의 주기성을 활용하여 두개의 특수해를 구할 수 있다. 각각 t=0, t=(1/2)π 인 특별한 경우의 삼각함수 방정식은 다음과 같다. 이 이원 1차 연립방정식을 풀어 두 미지수 A와 B를 결정 하였다.
결국 특수해(articular solution)는 다음과 같다.
일원 1차 상미분 방정식을 풀고 특수해와 합치면 일반해를 구할 수 있다.
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