0주: 환영(Welcome)
W0.1 강좌 예고(Course Trailer)
W0.2~5 강좌 개요(Course Overview)
W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
(Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)
1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application: Compound interest)
W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application: Terminal Velocity)
W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application: RC Circuit)
W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)
W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)
2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)
W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)
W2.2/11강 중첩의 원리(Principle of Superposition)
W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)
W2.4/보강1 복소수(complex numbers)
W2.5/13강 일원 2차 상미분 방정식(Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.6/14강 예제1: 2개의 실근(Case1: Distinct Real Roots)
W2.7/15강 예제2A: 켤레 복소수 근 A(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part A))
W2.8/16강 예제2B: 켤레 복소수 근 B(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part B))
W2.9/17강 예제3A: 중근 A(Case 3: Repeated Roots (Part A))
W2.10/18강 예제3B: 중근 B(Case 3: Repeated Roots (Part B))
W2.11 연습문제(Practice quiz: Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.12/19강 이원 2차 상미분 방정식(Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.13/20강 지수함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Exponential func.)
W2.14/21강 삼각함수꼴 이원항(A)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part A)
W2.15/22강 삼각함수꼴 이원항(B)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part B)
W2.16/23강 다항함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Polynomials)
W2.17/24강 공진현상(Resonance)
W2.18 연습문제(Practice quiz: Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.19/보강2 차원해석(Dimensional Analysis: Nondimensionalization)
W2.20/25강 응용: RLC회로(Application: RLC Circuit)
W2.21/26강 응용: 스프링에 달린 질량(Application: mass on a spring)
W2.22/27강 응용: 진자운동(Application: Pendulum)
W2.23/28강 응용: 감쇄공진(Application: Damped Resonance)
W2.24 평가문제(Week-2 Graded Quiz)
3주: 라플라스 변환과 급수해(Laplace Transform and Series Solution)
W3.1/29강 라플라스 변환의 정의(Definition of Laplace Transform)
W3.2/30강 상미분 방정식의 라플라스 변환(Laplace transform of a const.coeff.ode)
W3.3/31강 초기값 문제의 해(Solution of an Initial Value Problem)
W3.4 연습문제:라플라스 변환(Practice Quiz: Laplace Transform)
W3.5/32강 단위 계단함수(The heaviside step functions)
W3.6/33강 디랙-델타 함수(The Dirac delta function)
W3.7/34강 불연속 함수를 이원항으로 갖는 미분 방정식의 풀이
(solution of a discontinuous inhomogeneous term)
W3.8/35강 임펄스 함수를 이원항으로 갖는 미분 방정식의 풀이
(Solution of an impulsive inhomogeneous term)
W3.9 연습문제:불연속 및 임펄스 이원항
(Practice Quiz: Discontinuous and Impulse Inhomogeneous Term)
W3.10/36강 급수해법(The Series Solution Method)
W3.11/37강 에어리 방정식의 급수해-A
(Series solution of the Airy's equation-Part A)
W3.12/38강 에어리 방정식의 급수해-B
(Series solution of the Airy's equation-Part B)
W3.13 연습문제:급수해(Practice Quiz: Series Solutions)
W3.14 평가문제(Week-3 Grade Quiz)
4주: 선형 미분 방정식 시스템(Systems of linear differential equation)
W4.1/보강3 행렬과 행렬식(Matrices and Determinant)
W4.2/보강4 고유치 및 고유값(Eigenvalue and Eigenvectors)
W4.3/39강 선형 일원 1차 미분방정식 시스템
(System of Homogeneous Linear 1-st order ODE)
W4.4/40강 실근 고유치(Distinct real eigenvalue)
W4.5/41강 복소수근 고유치(Complex-Conjugate eigenvalues)
W4.6 연습문제: 미분방정식 시스템(Systems of Differential Equations)
W4.7/42강 결합 진동자(Coupled Oscillator)
W4.8/43강 정규 모드(고유치)(Normal mode(eigenvalues))
W4.9/44강 정규 모드(고유 벡터)(Normal mode(eigenvectors))
W4.10 연습문제: 정규 모드(Practice Quiz: Normal Mode)
W4.11/45강 푸리에 급수(Fourier Series)
W4.12/46강 푸리에 사인 및 코사인 급수(Fourier Sine and Cosine Series)
W4.13/47강 푸리에 급수 예제(Fourier Series: Example)
W4.15/보강5 편미분(Partial Derivatives)
W4.16/48강 확산방정식(The Diffusion Equation)
W4.17/49강 확산방정식 풀이: 변수분리
(Solution of the Diffusion Equation: Separation of Variables)
W4.18/50강 확산방정식 풀이:고유치
(Solution of the Diffusion Equation: Eigenvalues)/동영상/영문자막
관 내부로 도료를 분사하였을 때 도색의 농도는 길이와 시간의 함수 u(x,t) 다.
이 도색 농도 함도는 분사된 염료 분말의 확산 방정식으로부터 얻어진다. 시간과 길이의 변수가 포함된 확산 방정식(시간과 길이의 편미분 방정식)은 변수 분리를 통해 시간과 길이 각각의 상미분 방정식으로 분리 되었다. 이번 강의는 디리클레 경계조건을 가지고 확산 방정식 중 길이 변수 X=X(x) 인 방정식을 풀어보자. [디리클레 경계조건은 시간에 무관한 조건이었다.]
이 미분 방정식을 만족하는 해는 수없이 많다. X(x)=0 과 같이 단순한 해(trivial solution)도 이 방정식을 성립 하지만 무의미하다. 위의 방정식에서 특정한(discrete) λ 값에 대하여 성립하는 의미있는 해(non-trivial solution)를 구해보자. 특정 값(discrete value)에 대하여 그를 만족하는 X=X(x)인 함수가 있을 때 미분 방정식의 고유치(eigenvalues)와 고유함수(eigenfunctions)라 한다. [확산 방정식을 푸는 목표는 u(x,t)를 구하는 것이다. 변수 분리되었으므로 풀이의 목표는 X(x)를 구하는 것이다.]
W4.16/48강 확산방정식(The Diffusion Equation)
W4.17/49강 확산방정식 풀이: 변수분리
(Solution of the Diffusion Equation: Separation of Variables)
W4.18/50강 확산방정식 풀이:고유치
(Solution of the Diffusion Equation: Eigenvalues)/동영상/영문자막
관 내부로 도료를 분사하였을 때 도색의 농도는 길이와 시간의 함수 u(x,t) 다.
이 도색 농도 함도는 분사된 염료 분말의 확산 방정식으로부터 얻어진다. 시간과 길이의 변수가 포함된 확산 방정식(시간과 길이의 편미분 방정식)은 변수 분리를 통해 시간과 길이 각각의 상미분 방정식으로 분리 되었다. 이번 강의는 디리클레 경계조건을 가지고 확산 방정식 중 길이 변수 X=X(x) 인 방정식을 풀어보자. [디리클레 경계조건은 시간에 무관한 조건이었다.]
이 미분 방정식을 만족하는 해는 수없이 많다. X(x)=0 과 같이 단순한 해(trivial solution)도 이 방정식을 성립 하지만 무의미하다. 위의 방정식에서 특정한(discrete) λ 값에 대하여 성립하는 의미있는 해(non-trivial solution)를 구해보자. 특정 값(discrete value)에 대하여 그를 만족하는 X=X(x)인 함수가 있을 때 미분 방정식의 고유치(eigenvalues)와 고유함수(eigenfunctions)라 한다. [확산 방정식을 푸는 목표는 u(x,t)를 구하는 것이다. 변수 분리되었으므로 풀이의 목표는 X(x)를 구하는 것이다.]
미분 방정식의 해는 λ 값에 따라 달라질 수 있다는 것은 이미 알고 있다[특히 특성 방정식의 근의 꼴이 두 실근, 복소수 근, 중근이 될 수 있으며 그에 따라 풀이 방법도 달라진다]. (길이에 관한 해를 구하고 있으므로 λ>0인 경우에 한해 유의미 해를 구하기로 한다. λ가 항상 양의 실수를 가지도록 실수 μ 의 제곱을 사용하여 방정식을 정리하면,
일원 2차 미분 방정식을 풀어 해 X(x)를 구하면,
위 일반 해에서 경계조건을 적용하여 계수 A, B를 구해보자. 경계조건 x=0에서 cos(μ⋅0)=1 이므로 A는 반드시 0 이어야 한다. 두번째 항의 경우 sin(μ⋅0)=0 이므로 B는 반드시 0일 필요는 없다.
두번째 경계 조건 x=L을 적용해 보자. 앞서 A=0 이었으므로 cos(μ⋅L)이 어떤 값을 가져도 좋다. 하지만 두번째 항의 경우 B⋅sin(μ⋅L)=0 을 만족해야 한다. B=0으로 놓을 수도 있으나 으미없는 해가 된다. B≠0 이면 sin(μ⋅L)=0 이어야 한다.
주기함수 sin(μ⋅L)=0 을 만족하려면,
결국 특정 λ 와 그에 대응하는 해인 함수 X 는 다음과 같다. 이를 각각 고유치(eigenvalues)와 고유 벡터(eigenvectors)다.
[연습]------------------------------------------------------
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