0주: 환영(Welcome)
W0.1 강좌 예고(Course Trailer)
W0.2~5 강좌 개요(Course Overview)
W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
(Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)
1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application: Compound interest)
W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application: Terminal Velocity)
W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application: RC Circuit)
W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)
W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)
2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)
W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)
W2.2/11강 중첩의 원리(Principle of Superposition)
W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)
W2.4/보강1 복소수(complex numbers)
W2.5/13강 일원 2차 상미분 방정식(Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.6/14강 예제1: 2개의 실근(Case1: Distinct Real Roots)
W2.7/15강 예제2A: 켤레 복소수 근 A(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part A))
W2.8/16강 예제2B: 켤레 복소수 근 B(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part B))
W2.9/17강 예제3A: 중근 A(Case 3: Repeated Roots (Part A))
W2.10/18강 예제3B: 중근 B(Case 3: Repeated Roots (Part B))
W2.11 연습문제(Practice quiz: Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.12/19강 이원 2차 상미분 방정식(Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.13/20강 지수함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Exponential func.)
W2.14/21강 삼각함수꼴 이원항(A)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part A)
W2.15/22강 삼각함수꼴 이원항(B)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part B)
W2.16/23강 다항함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Polynomials)
W2.17/24강 공진현상(Resonance)
W2.18 연습문제(Practice quiz: Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.19/보강2 차원해석(Dimensional Analysis: Nondimensionalization)
W2.20/25강 응용: RLC회로(Application: RLC Circuit)
W2.21/26강 응용: 스프링에 달린 질량(Application: mass on a spring)
W2.22/27강 응용: 진자운동(Application: Pendulum)
W2.23/28강 응용: 감쇄공진(Application: Damped Resonance)
W2.24 평가문제(Week-2 Graded Quiz)
3주: 라플라스 변환과 급수해(Laplace Transform and Series Solution)
W3.1/29강 라플라스 변환의 정의(Definition of Laplace Transform)
W3.2/30강 상미분 방정식의 라플라스 변환(Laplace transform of a const.coeff.ode)
W3.3/31강 초기값 문제의 해(Solution of an Initial Value Problem)
W3.4 연습문제:라플라스 변환(Practice Quiz: Laplace Transform)
W3.5/32강 단위 계단함수(The heaviside step functions)
W3.6/33강 디랙-델타 함수(The Dirac delta function)/동영상/영문자막
이전 강의에서 보여준 계단함수(Heaviside step function)은 이원항(inhomogeneous term)에 단절된 연속함수(piece-wise continuous function)로 기술된 미분 방정식을 풀때 유용함을 보였다. 이번 강의에서 소개할 델타 함수는 디랙(Dirac)이 양자역학을 다루면서 도입한 함수로 물리학 뿐만 아니라 여러 이공계 분야에 널리 활용된다. 다루기 까다로운 적분(미분 방정식 풀기)을 아주 쉽게 해준다.
델타 함수(delta function)는 해머 함수(hammer function)라고도 하는데 매우 짧은 시간동안 거대한 충격(impulse)을 가한 모습을 기술한다. [크기가 0에 가까운 점 전하의 포텐셜, 미지 시스템에 가하는 탐침 등을 모형화 할 때 활용됨]
델타 함수를 그림으로 표현 해보자. 특정 순간에 갑자기 무한대의 충격이 가해진다.
이 디랙 델타 함수는 실제로 함수라 할 수는 없으나 극한으로 기술 할 수 있고 함수처럼 작동한다. 충격이 가해진 충격량(면적)을 1로 두고 간격이 0에 가깝게 하면 충격의 세기는 무한대가 된다. 디랙 델타 함수를 단계 계단 함수(heaviside step function)을 이용하여 기술하면 다음과 같다. 두 계단 함수의 차는 '사각형'의 폭이다. 폭이 작아지면 '사각형'의 면적을 1로 정의 하였으므로 높이는 무한히 커진다.
사각형의 시간축 간격(Δt=ε)이 0으로 접근하는 극한으로 기술된 델타함수의 정의는 다음과 같다.
위와 같이 기술된 디랙 델타 함수는 함수하기 어렵다. 실제로 수학자들은 함수라 하지 않고 분포(distribution)라고 한다. 하지만 함수처럼 작동(활용)한다.
임의의 t의 함수 f(t)를 디랙 델타 함수 δ(t-c) 의 곱을 [0, ∞] 구간에서 적분 해보자. 델타 함수의 특성에 따라 적분이 아주 쉬워진다. 함수 f(t)와 델타 함수 δ(t-c)의 곱은 t=c 이외에 모두 0 이다. 아울러 델타함수의 정의에 따라 무한 적분은 1이다. 따라서 이 적분은 함수 f(t)의 t=c 에서 값이 된다.
이번에는 델타 함수의 라플라스 변환을 해보자. 위의 델타함수의 적분 특성을 이용하면 아주 쉽다.
계단 함수와 델타함수의 라플라스 변환은 여러모로 유용하게 사용된다. 특히 13번 공식인 계단함수의 라플라스 변환은 역변환에 유용하게 활용된다.
I introduce a new function in this video, the Dirac Delta function. One of my favorite functions because it makes modeling of an impulse force very clean, and allows you to do integrals that are otherwise impossible to do.
* Application of Delta function: Impulse response -> system function
We can model the Dirac Delta function using a step-up, step-down function and it just obeys the property that the width will go to zero and the height will go to infinity, but the area of that rectangle will stay constant of area one.
Because of that property, integrals become easy. If you integrate a function against the Dirac Delta function, it just picks out the function at the value at which the argument of the Dirac Delta function is zero.
That allows us to do the Laplace transform of the Dirac Delta function. The Dirac Delta function together with the Heaviside step function, Laplace transforms are shown in the table.
[연습]----------------------------------------------------------
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