0주: 환영(Welcome)
W0.1 강좌 예고(Course Trailer)
W0.2~5 강좌 개요(Course Overview)
W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
(Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)
1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application:Compound interest)/동영상/영문자막
미분 방정식의 풀이는 자연과학에서 뿐만아니라 우리 삶 구석구석 어디 에서나 마주치는 문제(궁금증)의 답을 찾는데 도움을 준다. 선형 일차 미분 방적식이 예금 계산(Compound interest)에 사용된 예를 보자. 풀이는 수학자나 컴퓨터 CAS(Computer Algebra System)에 맞긴다 해도 문제를 기술할 수 있어야 한다. 그리고 그 풀이를 해석하는 능력이 더욱 의미있는 일이다.
- 문제의 인지 후 목표설정(호기심과 관련 배경지식)
- 수학 방정식으로 기술(수학적 통찰)
- 풀이(도움을 받자. 아인슈타인 같은 천재도 그랬다는데...)
- 해석(전문성 및 또다른 의문)
시간이 흐른 후 예금액을 계산해 보고자 하는 것이 목표다. 예금액은 시간의 함수다.
S(t+Δt) = S(t) + (r*Δt)*S(t) + k*Δt
예금 총액에 영향을 줄 수 있는 요인은 S(t), 현재 예금액; r, 금리; k, 향후 입금액 그리고 예치기간 Δt 다. 총액을 예치 기간의 함수로 보고 이를 미분 형으로 바꿔 미분 방정식을 세워보자. 그리고 현재 예치금을 초기 조건으로 한다.
dS/dt = r*S(t) + k, S(0)=S_0
결국 선형 미분 방정식을 얻었다. 1차 선형 미분 방정식의 풀이는 이미 알고 있다. 그런데 예금 총액에 영향을 미치는 요소가 예치기간 뿐일까? 은행은 손해보지 않기 위해 금리를 바꾼다. 만일 금리가 0이라고 한다면 미분 방정식으로 푼 총액의 계산이 쉽지 않다. 금리 r➝0 이 됨에따라 극한이 부정형이 되어 버린다. 도함수를 활용하여 부정형의 극한을 구하는 기법은 로피탈의 정리(l'Hospital's rule)로 잘 알려져 있다.
만일 금리가 0 이 되면 미래 찾게될 금액은 현재 예치금 S_0 에 매년 입금액 k에 기간 t의 곱한 값을 합한 것이다.
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