[공업역학] 15강: 라그랑지 방정식 기초와 예제(Introduction to Lagrange With Examples)

[공업역학] 15강: 라그랑지 방정식 기초와 예제(Introduction to Lagrange With Examples) [MIT/OCW]

[주: 아래 글은 위의 강좌를 보고 내멋대로 이해한 내용임. 오류가 있을 것이니 주의할 것. 각종 댓글 환영.]

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라그랑지 방법으로 역학을 해석해본다. 움직임을 다루는(운동을 해석하여 그 움직임의 궤적을 알아내는) 방법으로 가장 먼저 배운 것이 뉴튼 역학으로 직교 좌표계에서 벡터 해석이었을 것이다. 이 방법은 일견 단순해 보이나 자유도가 복잡하게 얽힌 운동의 경우 매우 어렵다. [Introduction to Lagrangian Mechanics by Physics Explained]

좌표계를 (문제를 다루는 시각을) 바꾸면 문제 풀기가 수월해 질 수 있다. 일반 좌표계(generalized coordinates)와 그 좌표계에서 힘(generalized forces)을 어떻게 다룰지 알아보자. 몇가지 예제를 선보일 것이다. [강의 자료 pdf]

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[01:20] 라그랑지언(Lagrangian)이라고 하는 운동하는 물체가 갖는 총 에너지를 운동 에너지와 포텐셜 에너지의 차로 정의한 것이다. [물체의 가속운동은 외력이 작용되었기 때문에 일어난다. 이 외력을 포텐셜 에너지로 보고 발현 중인 운동을 운동에너지로 보자. 운동 에너지, KE(kinetic energy)는 힘이 운동으로 발현되었을 때 측정되는 물리량이다. 포텐셜 에너지, PE(potential energy)는 발현되기 위해 유보중인 에너지다.] 운동을 기술한 라그랑지 방정식은 다음과 같이 정의 된다.

라그랑지 방정식 중요하게 봐야 할 것은 일반화된 좌표 q_j와 일반화 힘 Q_j 다. 색인 j는 독립된 좌표계를 의미한다. 운동의 자유도(degree of freedom; dof)를 따져 좌표계를 설정한다. 예를 들어 3개의 자유도를 갖는 시스템은 3개의 라그랑지 방정식으로 기술된다.

[직교 좌표계를 설정하고 운동 벡터를 좌표계의 성분으로 분리해내는 것과 사뭇 다르다. 라그랑지 역학에서는 미리 정해 놓은 좌표계가 없다. 운동의 자유도에 따라 방정식을 세운다. 일테면 좌표체계를 운동을 해석하는 틀(frame)이라 한다면, 라그랑지 역학은 운동을 보는 관점을 바꾼다고 하겠다. 벡터 해석에서 다수의 에너지(스칼라) 방정식으로 해석한다.]

[03:30] 라그랑지언을 라그랑지 방정식에  대입해보면 다음과 같다.

[04:40] [질량체의 가속운동을 다루는] 역학계(mechanical system)에서 포텐셜 에너지는 시간의 함수도 아니고 속도의 함수도 아니다. 따라서 위의 식에서 두번째 항은 0이다. 자기장에서 운동하는 전자는 전자기 복사(electromagnetic radiation)를 일으킨다. 이 경우 전자의 포텐셜 에너지는 역학계와는 달리 속도의 함수다. [전기역학, electrodynamics은 맥스웰 방정식으로 기술된다.]

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[05:37] 라그랑지 방정식에서 남은 항들을 각각 표시해보자. 좌변에 3개의 항이 남는다. 우변에 일반화 힘이 있다. 각각 항을 (1), (2), (3), (4)로 표기하자. 분석 대상이 되는 역학계의 자유도 수에 따라 j개의 라그랑지 방정식이 세워질 것이다.

일반화 좌표계와 힘에 대해 짚고 가자.

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[06:50] 일반화 좌표계(generalized coordinates): q_j로 표기됨. 좌표계의 축이 j개다.

1) 편의상 직교하는 세축 x,y,z 로 표현했던 데카르트 좌표계(cartesian)도 일반화 좌표계의 하나다. (Not necessarily catresian)
2) 등속으로 이동하는 좌표계들 사이의 등가성을 보장하는 관성 좌표계(inertial)일 필요도 없다. (Not even inertial)

[라그랑지 역학이 역학을 다루는 다른 시각이라는 점을 상기하자. 그렇다고 이 좌표계가 '제멋대로'가 되면 않되므로 조건이 있다.]

3) 이 좌표계의 좌표축들은 서로 독립(independent)이어야 하고, 완전(complete)해야 한다. (Must be independent and complete)
4) 이 좌표계(system)는 입자 구속조건이 홀로노믹(holnomic)계 이어야 한다. (System must be holonomic) [라그랑지 역학, 헤밀토니언 역학의 필요중분 조건이다.]

독립, 완전 그리고 홀로노믹에 대하여 하나씩 짚어보자.

[이 강의의 멋진점 중 하나가 이렇게 추상적 용어가 나오면 예를 들어가며 설명해준다. 정말 마음에 쏙 드는 교수법이 아닐 수 없다! 만들어 내진 못할 망정 자신이 쓰는 용어를 알고 사는 삶이 주체적이라고 할 것이다.]

독립성(independent)과 완전성(complete):

1) 독립성(independent): 좌표계 내의 한 축을 제외한 모든 축을 고정 시켜도 연속된 운동범위를 가질 때 그 축은 좌표계 에서 독립적이다.

Independent: When you fix all but one coordinate, still have a continuous range of movement in the free coordinate,

2) 완전성(complete): 어떤 경우에도 시스템에 포함된 모든 객체는 구분된 좌표로 표현될 수 있어야 한다.

Complete: Capable of locating all parts at all times,

[11:10] 이중 진자(double pendulum)를 기술하는데 몇종류의 좌표계가 있을까? 2개의 좌표계를 고려해보자.

먼저 (x,y) 축을 가진 직교 좌표계. 질량이 m_1, m_2인 두 추의 좌표를 각각 (x_1, y_1), (x_2, y_2)으로 나타냈다.[좌표계 (x,y)는 완전성은 만족한다.] 만일 x축을 고정한다면 나머지 y축 위치도 따라서 고정되어 시스템의 자유도는 사라진다. [운동이 사라진 계는 분석하고 말고 할 껀덕지가 없다.] 따라서 x와 y는 서로 독립적이지 않다.

이번에는 극좌표계다. 진자 추와 피벗 점 사이의 길이는 고정되어 있다. 따라서 두 진자추가 수직선과 이루는 각도 φ_1과 φ_2로 좌표계를 구성하여 이중 진자의 운동을 기술할 수 있다. [좌표계 (φ_1, φ_2)는 완전성을 만족한다.] 추1의 각도 φ_1를 고정시켜도 나머지 φ_2로 시스템의 운동은 살아 있다.  φ_2를 고정시켜도  φ_1의 운동은 보장된다. 따라서 이중 진자 시스템을 기술하는 좌표계의 두 축 φ_1 과 φ_2는 서로 독립적이다.

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[15:35] 홀로노믹 계(Holonomic System): 자유도(degree of freedom)의 개수가 운동을 기술하는데 필요한 좌표의 수와 같은 계

Holonomic: when number of DoF is equal to number of coordinates needed to describe motion

[2개의 축, φ_1 과 φ_2을 가진 좌표계로 기술된 이중 진자의 운동은 2개의 운동자유도를 가져 홀로노믹계의 조건을 만족한다.]

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[20:30] 라그랑지언으로 운동을 다루는 체계적인 방법(Systemic Approach adopting Lagrange equation).

위의 라그랑지방정식을 좌변과 우변으로 나누어 살펴보자.

좌변(LHS)은 T(Kinetic Energy)와 V(Potential Energy)의 미분항으로 구성되어 있다. 우변(RHS)은 시스템에 가해진 비보존힘(Non-conservative forces)에 총합이다.

[좌변은 에너지를 미분한 힘의 차원을 갖는다. 따라서 우변도 비보존 힘으로 양변의 물리량 차원이 일치한다.]

[좌변(LHS) 세우는 절차]
1. 자유도(DoF)를 찾아 일반화 좌표축 q_i 을 정한다.
2. 일반화 좌표계가 완전성, 독립성 그리고 홀로노믹계 조건이 성립하는지 확인한다.
3. T 와 V 를 구하여 라그랑지언 L을 완성한다
4. 라그랑지 방정식의 좌변항 (1), (2), (3) 을 계산한다. [라그랑지언 L의 시간-속도 미분 및 거리 미분]

외부에서 가해진 비보존 힘이 없다면 라그랑지 방정식의 좌변 미분항의 총합은 0이다.

[우변(RHS) 구하기]
1. 각 일반화 좌표축 q_j에 대하여 가해지는 힘 Q_j 를 찾는다.
2. 일반화 힘 Q_j 에 좌표축으로 미세 이동거리 δq_j를 곱한 비보존 일(Non-Conservative Work)를 계산한다.

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[25:40] 라그랑지 방정식 세우기 예제 1: 완충장치(dashpot system)

질량 m인 추가 스프링 k와 완충기 b와 함께 메달려 있다. 물체 m은 중력이 작용하여 스프링에 메달려 진동한다. 이 때 완충기는 비보존 힘으로 작용한다.

움직임은 수직방향이라고 제한하자. 좌표축은 x 한개만 정의한다. 자유도와 좌표축의 개수가모두 1개다. 완전성, 독립성 그리고 홀로노믹계다.

운동 에너지 T와 포텐셜 에너지 V를 구하자. 질량 m인 물체의 운동에너지,  스프링의 장력에서 기인한 에너지와 중력 에너지가 포텐셜 에너지의 총합이다.

위의 운동계에 작용하는 힘을 보존력과 비보존력으로 나누어 보자. 중력 mg 와 스프링 장력 kx는 보존력이다. 보존력의 균형만으로 운동이 일어나지 않는다. 외부에서 힘 F(t)가 가해지고 이에 제동력(damping force) bx는 비 보존력이다. F(t)와 bx_dot가 x축으로 만 작용한다.

라그랑지 방정식을 세우리 위한 네가지 항을 구하면 다음과 같다.

(1) 운동에너지는 속도 x_dot의 함수다. 따라서 속도로 미분하고 다시 시간으로 미분한다.
(2) 운동에너지는 x의 함수가 아니다 따라서 x 로 미분하면 0이다.
(3) 두 포텐셜 에너지는 모두 x의 함수이므로 미분하여 얻는다.
(4) 비보존 외력이 존재한다.

[라그랑지방정식을 세우느라 애는 썼지만 결국 힘을 주어 잡아 당기면 얼마나 늘어나는지 알고 싶었다. 이 (미분)방정식을 풀면 힘을 가했을 때 물체의 위치 x(t)를 구한다. 혹은 제동력 b를 설계할 때 적용될 수 있다.]

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"Newton published the 'Principia' in 1687, in which he laid down his three laws of motion. 101 years later, in 1788, Lagrange developed a way to derive the equations of motion by beginning with work and energy rather than force and momentum."

뉴튼이 1687년 출간한 '프린키피아'를 통해 세가지 운동법칙을 세웠다. 101년 후 라그랑지는 힘과 운동량 대신 일과 에너지를 가지고 운동방정식을 유도하는 역학을 개발했다. -강의자료 pdf, p4-

[운동방정식을 구하는 목적은 운동하는 물체의 위치를 예측 결정하려는 것. 즉, 운동체 위치의 시간함수 구하기]]

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[37:50] 라그랑지 방정식 세우기 예제 2: 실린더형 진자(Rod & sleeve)

2개의 일반화 좌표 x와 θ에 대해여 2개의 독립된 자유도를 갖는 홀로노믹 계다. 따라서 2개의 독립된 라그랑지 방정식으로 시스템을 기술 할 수 있다.

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[라그랑지언]

포텐셜 에너지: 스리브가 x축으로 움직여 스프링을 늘리거나 줄여 스프링이 보유하게 되는 장력 퍼텐셜 V_k 과 스리브의 흔들림에 따른 높이 변화로 생기는 중력 퍼텐셜 V_m2 그리고 흔들리는 막대기의 중력 퍼텐셜 V_m1

운동 에너지: 막대기와 스리브의 회전(rotational) 운동 에너지 그리고 슬리브의 움직임(translation) 운동 에너지

라그랑지 방정식에 적용: 일반화 축이 2개 이므로 라그랑지방정식도 2개 얻는다.

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[x_1 축 라그랑지 방정식]

(1) 먼저 일반화 좌표 x_1 의 라그랑지 방정식을 구해보자.

슬리브의 움직임에 따른 힘의 방정식을 얻었다. 에너지를 라그랑지언은 미분하여 힘의 방정식을 얻는데 결국 라그랑지 방정식은 뉴튼 역학의 힘의 방정식과 동일하다. 라그랑지 방정식은 운동에 대해 관심을 같는 일반화 축에 대해서 기술한다. 공간 벡터 해석에 비해 순수히 스칼라 방정식을 얻게되므로 매우 수월하게 운동을 분석할 수 있다. [일반화 한 좌표축은 서로 독립 이었다.]

(2) 라그랑지 방정식의 두번째 미분항을 구해보자. 슬리브의 이동만 움직이는 것이 아니다. 슬리브의 회전 운동도 있다. 각가속도에 의한 힘의 성분도 라그랑지 방정식을 세우면서 자연스럽게(저절로?) 나왔다. 짜잔! (강의중 교수님께서 감탄사를 연발하심) [이래서 라그랑지 방정식이다!]

(3) 이어서 포텐셜 에너지를 변위 x로 미분하여 스프링 장력과 중력 성분을 구한다.

라그랑지 방정식의 좌변을 모두 구했다.

(4) 일반화 힘, Q_x: F(t), 시스템이 진동 하도록 외부에서 주기적으로 가해진 힘(Oscillatory force, external force to make it vibrate.)이다. 수평으로 흔들어 주던 힘의 x_1 방향 성분만을 취하여 우변에 놓자. [일반화 좌표축에 해당하는 힘]

최종적인 x축 운동 방정식은 다음과 같다.

라그랑지 방정식은 뉴튼 방정식과 같다. 첫번째항은 슬리브의 x_1 방향 힘, 두번째항은 슬리브의 원심력, 세 번째항은 스프링의 인장력 네번째 항은 슬리브의 중력이다. 우변은 슬리브에 운동을 일으키도록 외부에서 가해진 힘이다. [x_1 방향은 슬리브 m_2 만 운동한다.]

끝으로 위의 운동방정식이 운동을 일으킬 외부의 힘이 없이 정지한 경우 정적 조건은 다음과 같다. 라그랑지 방정식이 적절하게 구해졌음을 알 수 있다.[the equation makes sense!]

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[θ 축 라그랑지 방정식]

라그랑지 방정식의 좌변항으 간단하 미분으로 쉽게 구할수있다. 운동축 x_1과 θ 는 모두 시간(time)의 함수다. 우변의 일반화 힘에 대해 유의 하자. 라그랑지언은 에너지(energy)와 일(work)의 관계식이다. 일반화 축을 차원이 없는 각도 θ로 잡았더라도 물리량의 차원(dimension)은 정확해야 한다. 일의 차원은 힘 곱하기 거리다. 각도 변화(δθ)에 대응하는 이동거리(δr)는 호도법(radian)의 정의를 따른다.

최종적으로 얻은 θ 축 라그랑지 방정식은 다음과 같다. 좌변 첫째 항은 스윙(swing) 운동에서 기인한 토크(torque), 두번째 항은 막대의 스윙 운동이 회전반경을 가로지르는 슬리브 m_2 의 직선운동에 전향력(코리올리 효과, Coriolis force)이 작용하고 있음을 보여준다. 나머지 항은 중력의 접선성분이다. 

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[처음][이전][다음]

[MIT/OCW] 공업역학(Engineering Dynamics)

[MIT/OCW] Engineering Dynamics [link][[Resource Index]

J. Vandiver, and David Gossard. 2.003SC Engineering Dynamics. Fall 2011. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. License: Creative Commons BY-NC-SA.

[Syllabus]

Newton's Laws, Vectors, and Reference Frames
Lecture 1: History of Dynamics; Motion in Moving Reference Frames
Lecture 2: Newton's Laws and Describing the Kinematics of Particles
Lecture 3: Motion of Center of Mass; Acceleration in Rotating Ref. Frames
Lecture 4: Movement of a Particle in Circular Motion w/ Polar Coordinates

Angular Momentum and Torque
Lecture 5: Impulse, Torque, and Angular Momentum for a System of Particles
Lecture 6: Torque and the Time Rate of Change of Angular Momentum
Lecture 7: Degrees of Freedom, Free Body Diagrams, and Fictitious Forces
Lecture 8: Fictitious Forces and Rotating Mass

Angular Momentum and Rotating Masses None
Lecture 9: Rotating Imbalance
Lecture 10: Equations of Motion, Torque, Angular Momentum of Rigid Bodies

Angular Momentum and Motion of Rotating Rigid Bodies
Lecture 11: Mass Moment of Inertia of Rigid Bodies
Lecture 12: Problem Solving Methods for Rotating Rigid Bodies

Finding Equations of Motion for Rigid Body Rotation
Lecture 13: Four Classes of Problems With Rotational Motion
Lecture 14: More Complex Rotational Problems and Their Equations of Motion

라그랑지 방정식(Lagrange Equations)
15강: 라그랑지 방정식 기초와 예제(Introduction to Lagrange With Examples)

Lagrange Equations Continued
Lecture 16: Kinematic Approach to Finding Generalized Forces
Lecture 17: Practice Finding EOM Using Lagrange Equations

Quiz Review Lecture & Quiz 2
Lecture 18: Quiz Review From Optional Problem Set 8 None

Mechanical Vibration
Lecture 19: Introduction to Mechanical Vibration
Lecture 20: Linear System Modeling a Single Degree of Freedom Oscillator

Reducing Problem Vibration and Intro to Multi-DOF Vibration
Lecture 21: Vibration Isolation
Lecture 22: Finding Natural Frequencies & Mode Shapes of a 2 DOF System

Vibration of Multi-Degree-of-Freedom Systems
Lecture 23: Vibration by Mode Superposition
Lecture 24: Modal Analysis: Orthogonality, Mass Stiffness, Damping Matrix

Vibration Analysis by Mode Superposition
Lecture 25: Modal Analysis: Response to IC's and to Harmonic Forces
Lecture 26: Response of 2-DOF Systems by the Use of Transfer Functions
Lecture 27: Vibration of Continuous Structures: Strings, Beams, Rods, etc.

[주: 코로나 덕분에 인터넷 동영상 강좌가 아주 풍부해졌다. 아니, 이전부터 좋은 강좌들이 많이 있었지만 평생학습자가 늘어나 재조명 받는 지도 모르겠다. 유튜브를 뒤지다가 우연히 발견한 MIT/OCW의 '공업역학'. 강의를 그대로 녹화해서 보여준다. 담당 교수의 수업 방식이 아주 맘에 든다. 수식에 집착하기 보다 사용된 용어들을 일일이 정의해 주고 있다. 자기가 무슨 말을 하는지 안다는 것은 아주 중요하다고 보는 입장에서 썩 마음에 드는 강좌다. 처음 접한 강좌는 15강 라그랑지 방정식인데 썩 마음에 들어서 나머지도 들어 보기로 했다.

'역학'을 인터넷을 검색해 보거나 교과서를 찾아보면 무슨 설명이 그리 복잡한지 모를 일이다. 글로 써놓려다 보니 만에 하나 책잡힌 구석이 있을까봐 걱정이 되었거나 좋게 말하면 관점이 달라서 일게다. 정작 글쓴이 본인들도 잘 이해를 못하고 옮겨 놓은 것은 아닐지도 모르겠다. 이 블로그의 다른 글들도 매 한가지지만 일단 내 방식대로 이해했다 치고 내 멋대로 정리해 보기로 한다. 만에하나 오류가 있다면 나중에라도 고치면 될일 아닌가.]

[주: 이 블로그 연재글은 위의 강좌를 보고 내멋대로 이해한 내용임. 오류가 있을 것이니 주의할 것. 각종 댓글 환영.]

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[1강/2,3부] 선구적 실험들(Pioneering Experiments)

[1강/2,3부] 선구적 실험들(Pioneering Experiments)

Lecture 1

Part II: Pioneering Experiments [share]

지금은 양자물리 실험이 세계 도처에서 흔하게 행해지지만 백년전에는 매우 귀했다. 양자 현상을 일으키는 실험을 하려면 매우 정교해야 했기 때문이다. [양자 현상이 적용된 생활 도구가 도처에 널렸다.] 심지어 뉴튼 방정식, 뉴튼 중력 그리고 맥스웰 방정식이 완성된 19세기 말에는 과학자들 조차 밝혀내야할 물리법칙이 더이상 없을 줄 알았다. 그 시대 저명한 과학자 앨버트 마이켈슨과 켈빈경의 말을 보면 그 시대 기조를 알만하다.

더이상 중요한 물리법칙이 조만간 없을 거라던 앨버트 마이켈슨은 빛의 속도를 측정한 놀라운 실험으로 1907년 노벨상을 받았는데 자신의 예상을 스스로 뒤집은 셈이다. 빛의 속도는 아인슈타인의 특수 상대론의 기초가 됐다. 켈빈경도 더이상 물리학에서 발견될 것이 없다고 했지만 정밀한 측정이 가능해지기 이전의 얘기다.

실험이 정교해 지자 고전 물리학으로 설명할 수 없는 현상들이 나타났다. 백년전의 이 발견들은 몇해전 CERN에서 신의 입자라던 힉스 입자가 발견되어 표준 모형을 완성할 수 있었던 것에 견줄만 했다. 고전 물리학의 방에 가둘 수 없던 거대 코끼리들을 꼽자면 흑체 복사(Black body Radiation), 원자스펙트럼의 양자화(quantitation of atomic spectrum), 빛의 입자성과 파동성을 보여주는 실험, 벨랩(Bell Lab.)에서 우연히 발견된 전자(electron)가 파동의 가능성을 보여주는 회절(diffraction) 현상 따위를 꼽을 수 있다. [입자를 파동으로 설명하려는 시도가 양자역학으로 이어진다.]

이즈음 관심을 끌었던 두 가지 실험을 소개한다; 전자의 입자성을 보여준 광전효과와 전자의 파동성을 보여줬던 벨 연구소에서 실험중 사고.

1905년 음극선(cathode ray) 발견으로 노벨상을 받은 독일의 물리학자 필립 레너드(Philipp Lenard)는 20세기 초엽에 금속에 자외선을 쪼이면 금속의 전자와 작용한다는데 관심을 가졌다. 이 현상은 1887년 헤르쯔(Hertz)가 발견했던 것이다. 지금은 광전효과(photoelectric effect)라고 하지만 그당시에는 헤르쯔 효과라고 했다. 1902년에 발표한 레너드의 원논문에서 실험장치의 도식을 따오면 다음과 같다.

두 금속판 사이에 (전압을 가해)전위차를 둔 후 양극판에 빛을 쪼이면 (전위차를 넘은) 전자가 (양극판에서) 튀어나와 음극판에 이동하여 회로에 전류가 흐르게 하는 실험이다.

[빛만 가지고 금속 원자핵에 단단히 묶여 있는 전자를 튀어 나오게 할 수 없다. 극판사이에 전압을 가하여 금속 극판 사이에 전류가 흐르기(방전되기) 직전까지(스파크가 튀기전) 전위차를 두면 외부의 작은 에너지 공급(빛을 쪼여주어)에도 전자가 탈출 할 수 있다. 전자 회로에서 이를 바이어스 전압을 건다고 표현한다. 진공관, 트랜지스터의 원리를 설명할 때 빛 대신 외부에서 미량의 전압을 주입한다. 이 때 두 극판에 흐르는 전류량은 외부 전기 에너지에 비례한다. 하지만 빛은 달랐다!]

고전적 시각으로 보면 빛의 세기가 강할 수록 회로에 흐르는 전류의 양도 증가할 것으로 예상했다. 하지만 실험 결과는 달랐다. 특정 파장대의 빛에서 만 반응했고 아무리 강한 빛이라도 그보다 낮은 파장의 빛은 금속 표면에서 전자를 튀어나오게 하지 못했다.

이런 기이한 현상은 아인슈타인의 관심을 끌게 됐다. 우리가 기적의 해(Miracle year)라고 부르는 1905년에 아인슈타인은 기존의 물리학을 완전히 재편할 네편의 논문을 발표하는데 그 중하나가 광전효과에 관한 것이었다. 그는 이 논문에서 빛의 방출과 변환에 관한 견해(heuristic explanation)를 밝혔다.[아인슈타인은 이론 물리학자다. 3년전 레너드의 실험을 자신의 직관으로 설명했다.]

이논문에서 아인슈타인은 레너드의 실험 결과의 의문점을 설명하면서 광자(photon)라는 단어를 도입했다. 논문 일부를 옮겨 보자.

'공간으로 널리 퍼져나가는 빛에너지의 일반적 개념이 레너드의 선구적 실험에서 지적한 대로 광전 현상(photoelectric phenomena)를 설명하려다 보니 난관에 빠졌다.'

'The usual conception that the energy of light is continuously distributed over the space through which it propagates, encounters very serious difficulties when one attempts to explain the photoelectric phenomena as has been pointed out in Herr Lenard's pioneering paper.'

레너드의 실험에서 제기된 의문점을 언급하고 이어 그는 광자의 주개념에 파고든다.

'입사하는 빛이 에너지 덩어리(quanta)로 구성된다는 개념을 전제하고.... 전자는 다음과 같은 방식으로 튀어나올 수 있었다고 볼 수 있다(conceive). 에너지 덩어리가 금속표면을 뚫고 들어가 적어도 빛이 가진 에너지의 일부는 전자의 운동에너지로 전환되었을 것...'

'According to the concept that the incident light consists of energy quanta ....., however one can conceive of the ejection of electrons by light in the following way. Energy quanta penetrate into the surface layer of the body, and their energy's transformed, at least in part into kinetic energy of electrons.'

아인슈타인은 새로운 이론을 제안하지 않고 직관적 견해를 밝히고 있다는데 주목하자.  [에너지를 더 얻은 전자는 금속원자의 속박에서 벗어나 튀어 나왔을 것. 빛이 가진 에너지가 전자라는 입자의 운동에너지에 보태질 수 있다는 개념을 펼침] 무엇보다 핵심은 광자(photon)라는 단어를 사용해 빛이 덩어리진 에너지를 실어나르는 입자라는 것이다. 아인슈타인의 견해를 그림으로 설명하면 이렇다.

- 광자(v)와 전자(e)가 1:1로 반응하고 특정 이상의 에너지를 가진 광자 만이 전자를 튀어나오게 하는 광전효과를 낼 수 있다.

- 튀어나온 전자의 수는 빛의 세기(intensity of light)에 비례하지 않는다. 광전효과를 낼 수 없는 광자(특정 파장보다 긴)는 물체의 표면을 덥힐 뿐이다.

- 광전효과를 설명한 이론을 좀더 살펴보면 광자의 에너지는 빛의 파장 λ (람다)에 비례한다. 이 때 비례상 수는 플랑크 상수 h 다. 주파수 ω는 파장의 역이고 2π 를 곱한 플랑크 상수를 ħ (h-bar)로 놓으면광자의 에너지와 주파수의 관계도 얻을 수 있다.

- 광자가 갖는 에너지의 크기가 주파수에 비례한다는 이론으로 광전효과의 미스테리를 풀수 있었다.

- 아인슈타인은 그의 가장큰 업적인 상대론 보다 광전효과를 설명한 공로로 1921년 노벨상을 받았다. 광전효과는 양자 물리학의 기초가 된 셈이었으나 모순되게도 아인슈타인은 양자역학에 매우 비판적이었다.

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Part III: Pioneering Experiments (cont'd) [share]

광전효과 실험을 통해 빛은 입자의 다발(beam of particles)임이 분명해졌다. 이 실험에서 광자(photon)의 상대역인 전자(electron) 역시 입자 이어야했다. 하지만 20세기초 이론 물리학자 프린스 루이 드 브로이(Prince Luise de Broglie)는 입자의 거대다발(massive particles)이 파동처럼 행동한다는 주장을 했다. 물론 그는 광자도 질량을 가진다는데 약간 동의했다[광자는 정지질량이 0 이지만 광속에서 에너지를 갖는다.]. 어쨌든 드브로이의 가설은 실험 중 사고로 우연하게 사실로 밝혀졌다. 물리학 발전에 '우연(serendipity)'이 끼어드는 일은 종종 있었다.

1925년 4월, 벨 연구소에서 근부하던 클린턴 데이비슨(Clinton Davisson)과 레스터 저머(Lester Germer)는 전자의 확산(scatter) 실험을 하고 있었다. 단순한 이 실험이 역대급 결과를 가져오리라는 생각은 꿈에도 없었다. 그들은 그저 전자를 니켈 건판 위에 흩뿌리려고(scatter) 했을 뿐이었다[전자는 입자다]. 1927년에 발표한 그들의 논문에 나온 실험장치의 도면이다.

하지만 이 도면에서 빠진 것이 있었다. 장치 주변에 수증기(liquid air) 병이 놓여 있었는데 아마도 실험중 니켈에서 방출된 열에 가열되어 폭발했던 것으로 추측된다. 병의 파편이 실험장치의 진공막을 깼고 증기가 진공 체임버(vacuum chamber)속으로 빨려 들어갔다. 습기로 인해 실험 재료인 니켈이 원치 않게 산화되자 데이버슨과 저머는 니켈을 가열하여 산화막을 제거하기로 했다. 가열로 인해 풀림(annealing)된 니켈 편을 가지고 실험을 재개했고 이전과 전혀 다른 전자의 확산 형상을 얻었다. 순전히 우연히 일어난 사고로 부터 얻은 이 확산 형상이 양자역학의 시초가 될 줄은 몰랐다.

[풀림(어닐링, annealing): 금속 재료를 적당한 온도로 가열한 다음 서서히 냉각시켜 상온으로 하는 조작(서냉). 이 조작은 가공 또는 담금질 등에 의해 경화된 재료의 내부 균열을 없애고 결정립(結晶粒)을 미세화시켜 연성(延性)을 높인다.[*]]

이 이상한 현상을 자세히 살펴보니 가열로 인해 풀림처리(재결정화)된 니켈 시편의 내부 구조가 완벽하게 결정화 된 때문 이었다. 전자가 무작위로 흩뿌려지던 모습을 보이는 대신 특정한 모양의 극대 곡선이 나타났다. 전자선(electron beam)이 금속편의 결정 구조에 부디쳐 특정 각도로 회절 되었기 때문이다. 이 각도는 입사한 전자의 에너지에 매우 관련이 있는 것으로 나왔다.

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입사 전자 빔이 니켈 원자에 부딪혀 회절이 일어난다. 이 때 회절 된 전자의 각도는 무작위 방향이 될 것이므로 감지기에는 균일한 분포로 전자들이 감지될 것으로 예상했다.

실험 결과는 특이했다. 니켈 시편 표면에서 특정각도 방향으로 높은 감도를 보였다. 전자들이 이 각도로 몰렸다면 미지의 외력이 있거나 알아서 몰려갔을까? 그럴리가 없다. 더구나 감지된 전자의 감도는 입사범에 비해 매우 어둡다. 전자입자들은 모두 어디 갔을까? 이 특정한 각도는 무엇을 말하는가?

전자가 입자가 아니라 파동처럼 행동 했다고 해보자. 전자의 입사경로에서 니켈의 결정구조의 원자 간격과 파장과 일치한(in-phase) 전자들의 파동이 중첩되어 증폭된다. 이 중첩조건이 맞으려면 특정각도로 회절한 전자들에 한한다. 만일 일치하지 않은 각도(off-Phase)로 회절한 전자들의 파동은 서로 상쇄되어 버린다. 중첩과 상쇄 간섭은 파동으로 설명될 수 있다.

그런데 입사 전자빔의 에너지를 높이면 중첩되는 각도가 달라지는 것이었다. 이는 양자역학에서 파동성 입자의 에너지 E = hf  = hc/λ 에서 파장이 짧기 때문이다.

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[http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/DavGer.html#c1]

[http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/debrog.html#c3]

[데이비슨 거머 실험][데이빗슨 저머 실험][Davisson Germer experiment]

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전자의 입자성과 파동성을 규명해준 두 가지 실험을 소개했다.

질량과 속도로 표현된 입자의 운동은 이미 고전역학으로도 잘 이해 되었다. 이제 파장으로서 역학을 다뤄보자. 다음은 파동방정식이다.

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[1강/1부] 양자역학을 공부하기 전에(Comments on studying Quantum Mechanics)

[1강/1부] 양자역학을 공부하기 전에(Comments on studying Quantum Mechanics)

Part I: Comments on studying Quantum Mechanics [share]

양자역학에 좌절에서 벗어나는데 이 강좌가 조금이나마 도움이 되길 바란다. 양자역학은 원래 이해하기 어렵다. 이 분야의 천제라 하는 리처드 파인먼(Richard Feynman)이 오클랜드 대학교의 강연에서 양자역학은 단번에 이해할 수 있는 대상이 아니라고 역설했다. 양자역학은 대학 3학년 과정에서 배우는데 이를 마친 학생들은 양자역학을 이해했을까? 그 답은 아니오 일 것이다. 학생들이 이해하지 못한 원인으로 가르치는 교수도 이해하고 있지 않았기 때문이라고 한다. 파인먼은 양자역학을 제대로 이해하고 있는 물리학자들을 만나보기 어렵다고 말하려는 것 같다.

...... The students do not understand it either. >> [LAUGH] >> And that's because the professor doesn't understand- >> [LAUGH] >> Which is not a joke. ...... -Richard Feynman, 1979

용기를 주기 위해 이 강좌를 마련했으니 해보지도 않고 포기하지는 말자. 양자역학이 어렵게 느껴지는 이유는 양자현상이 직관적(intuitive)이지 않기 때문일 것이다. 양자역학이 차지하는 영역이 기존의 물리학(classical physics), 상대론(Relativity), 전자기학(Electromagnetism) 등에 비교하여 어느 위치에 있는지 살펴 보면 이해에 도움이 될 것 같아 그림으로 표현해 봤다. 이해를 위한 단편적 그림이니까 심각히 보지는 말자.

- 물리학을 지배하는 세개의 상수(중력상수 G, 빛의 속도 c 그리고 플랑크 상수 ħ)를 세개의 축상에 올려 놓았다. 빨간 점은 지배하는 물리 영역을 상징한다.

- 중력상수 G축의 끝에는 17세기의 뉴튼 역학(Newtonian Gravity)이 지배한다. 빛의 속도나 플랑크 상수에 대한 고려는 전혀 없다.

- 수직 축은 빛의 속도가 고정된 특수 상대론(Special Relativity)의 영역이다. 속도가 고정된 위치(1/c = 1)에서 중력과 연관된 영역에 아인슈타인의 특수상대론(General Relativity)이 있다. [상대론에서 운동속도를 실세상의 속도에 적용하면 고전 물리학으로 근사한다.]

- 수평 축은 플랑크 상수 ħ가 위치하는 양자 역학(Quantum Mechanics)으로 이 강좌에서 다룰 영역이다. 양자 역학에 상대론적 효과를 결합한 영역이 양자전기 동역학(quantum electric dynamics)이라는 양자장 이론(Quantum Field Theory)으로 굉장히 복잡한 탓에 이 강좌에서는 다루지 않는다.

- 세가지 물리상수가 모두 결합된 영역을 모두가 염원하고 수십년간 찾아오는 중이나 아직 없다.

- 양자 물리를 실생활에 적용하기에는 거의 불가능하다. 우리 실생활에서 다루는 길이가 원자의 세계에 비해 너무나 크고 빛의 속도에 비하면 너무나 느리기 때문이다. 고전적인 아날로 그의 세상에 사는 우리로서 직관성이 매우 떨어지는 양자 역학이 어려운 것은 당연하다.

[7:40] 이참에 양자 역학을 배워 보겠다는 의지가 있어서 이 강좌를 수강했다면 그 방법을 알려주겠다.

기존의 수학 형식(Mathematical formalism)으로 이렇게 새로운 양자 물리학을 표현할 수 없다. 그렇다고 전혀 새로운 형식의 수학이 출현한 것은 아니고 기존의 미분방정식(differential equation)에서 발전되었다. 지금와서는 너무 동떨어져서 고전 물리에서는 물론 양자물리 양쪽에서도 접근할 수 없는 지경이 되었다. [사실 수학형식을 빌려왔을 뿐 개념은 완전히 다르다.]

그렇다면 우리가 양자물리에 관심을 두는 이유가 뭔가? 기술이 발달하면서 양자 물리학으로 설명할 수 있는 현상이 우리 주변에 더욱 흔해졌다 [레이져나 LED를 보라!]. 단지 양자역학 뿐만 아니라 오늘날 우리 주변에서 일어나는 현상을 모두 이해하고 있진 않지 않은가? 신기한 것을 목격했을 때 원리가 무엇인지 궁금해 하다가 이내 '문송' 하지 않았던가. 비록 그렇더라도 공포 스럽진 않았다. 양자역학이라고 더 특별히 무서워할 필요 없다. 그냥 조금 더 생소할 뿐이다. 새로운 개념을 이해하는 가장 좋은 방법은 경험(experimental data)을 통해 익숙해지는 것이다. 그리고 나서 수학 형식을 익히고 이해해 보자. 그러다 보면 감이 올 때가 오리라. 이 강의는 수강자의 다양한 수학적 수준을 고려했다. 게중 몇몇은 매우 고등수학을 요구한다. 당장 모두 이해하진 못하더라도 자주 보면서 흥미가 유발 되길 바란다.

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[커세라] 양자 물리학 탐험(Exploring Quantum Physics)

[커세라] 양자 물리학 탐험(Exploring Quantum Mechanics)

Coursera: Exploring Quantum Physics
[https://www.coursera.org/learn/quantum-physics/home/welcome]

Offered By
University of Maryland, College Park

Instructors

Charles W. Clark
Fellow/National Institute of Standards and Technology (NIST)

Dr. Victor Galitski
Professor/Department of Physics & Joint Quantum Institute

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Welcome and Overview [Video]

[2:56] 강의 자료소개

강좌 분량은 8주에 16강으로 구성되었다. 매주 당 두개의 주제를 담고 있다. 각 강의에는 10 - 20분 짜리 동영상 강의 3~5개 정도가 포함되었다. 강의 중간에 돌발 질문이 있는데 수강자가 졸지 않도록 일깨울 목적이고 성적에 포함되지 않는다. 각 주의 강의를 마칠 때마다 숙제가 주어지고 마지막 주에 시험을 보고 최종 성적이 메겨질 것이다. 토론방이 열려 있으니 수강자의 적극참여 바란다.

[4:35] 강의 수준

이강의 의 수준은 학부과정 고급 수준이다. 양자 물리학은 높은 수준의 수학을 요구하는데 수강자의 수준을 고려해 동영상을 제작했다. 별표가 세개(***)짜리는 매우 높은 수준으로 꼭 듣고 이해할 필요 없다(좌절금지). 별 두개(**)짜리는 이 강의에서도 자주 등장할 미분방정식, 델타 함수, 변환 등이 포함된 일반 양자 물리학 수준의 수학의 강의다. 양자 물리학이 무엇인지 알고 싶어 수강한 경우 이 수준도 뒤로 갈수록 어려울 수 있으니 건너 뛰어도 좋다. 별한개(*)짜리 정도는 이해해 보도록 하자. 별이 없는 강의는 수학적 배경 없이 볼 수 있다.

8주 강의로 양자물리를 모두 섭렵할 수는 없다. 4주차 이후 예를 들면 수소 스펙트럼선, 레이져에 응용된 양자광학등 자주 접하는 양자물리학 현상을 다뤄보겠다.

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주] 이전 수강자들의 후기를 보면 수학의 수준이 어렵지만 해볼만 하다는 평이 눈에 뜁니다. 제공된 자료 'Crash Course: Math of Quantum Mechanics'를 보면 복소수, 행렬, 퓨리에 급수를 포함하고 있고 언쯧 보기에 생소한 브라-켓 벡터 연산자들이 나옵니다. 생소하긴 한데 그리 어렵지 않을것 같아 한번 도전해 보기로 합니다.

주] 미분 방정식, 행렬에 대해서는 제프리 챈스노프 교수의 커세라 강좌가 만만할 겁니다. 이 블로그에 학습한 내용이 올려져 있으니 참조해도 좋겠습니다.[이과생을 위한 미분 방정식][이과생을 위한 행렬대수]

주] 한글 동영상 대본(자동번역 된 듯 하지만 이해 하는데 문제 없어 보이는)이 제공되는 강의 입니다. 안그래도 어려운 내용인데 강의하신는 교수님의 말씀이 굉장히 빠른데다 유럽계 영어를 구사해서 화(?)가 날 수도 있으니 자막을 틀어 놓는게 좋을 겁니다.

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Week 1 - Welcome, Lecture 1 and 2 - Conceptual Grounds

 Lecture 1
    Part I: Comments on studying QM
    Part II & III: Pioneering Experiments
  **Part IV: "Deriving" the Schrödinger Eq.
 ***Part V: Spreading of quantum wave packets
 Lecture 2
    Part I: Meaning of the wavefunction
 ***Part II: Continuity Equation
  **Part III: Observables; Operators; Expectation Values
  **Part IV: Time Independent Schrödinger Eq.
  **Part V: Superposition; Dirac Notation; Representations
 Homework

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Week 2 - Lecture 3 and 4 - Path Integral

 Lecture 3

    Part I: Introduction

  **Part II: Propagator

 ***Part III: Derivation (difficult material, optional)

 ***Part IV: Derivation (cont'd) (difficult material, optional)

 Lecture 4

  **Part I: Classical Limit

   *Part II: Quantum corrections to diffusion

  **Part III: Quantum corrections to diffusion; Localization (cont'd)

Homework 2

Homework 2 Bonus Questions (Ungraded)

Week 3 - Lecture 5 and 6 - Quantum Wells to Cooper Pairs

 Lecture  5

   *Part I: Electron in a Box13m

  **Part II: Finite Potential Well19m

  **Part III: Bound state in a 1D shallow potential15m

 ***Part IV: Bound states in a delta potential (any dimension)20m

 Lecture 6

    Part I: The phenomenon of superconductivity15m

   *Part II: Quantum Statistics20m

 ***Part III: Two-particle Schrödinger equation12m

  **Part IV: The Cooper problem19m

 Homework 340m

 Homework 3 Optional: time propagation of a wavepacket1h

 Homework 3 Bonus Questions (Ungraded)30m

Week 4 - Lecture 7 and 8 - Quantum Oscillators

 Lecture 7

   *Part I: Quantizing the classical oscillator13m

  **Part II: Creation/annihilation operators9m

  **Part III: Generating the energy spectrum17m

  **Part IV: Harmonic oscillator wave-functions11m

 Lecture 8

    Part I: Collective modes; Goldstone theorem17m

  **Part II: Classical phonons in an oscillator chain22m

 ***Part III: Quantum oscillator chain16m

 ***Part IV: Deriving phonon spectrum; Bogoliubov transform (difficult material; optional)24m

 Homework 440m

 Homework 4 Bonus Questions (Ungraded)30m

Week 5 - Lecture 9 and 10 - The (Simplest) Atom

 Lecture 9

    Part I: Introduction to optical spectra6m

    Part II: Cracking the hydrogen code 15m

    Part III: Classical hydrogen atom: angular momentum11m

    Part IV: Classical hydrogen atom: Runge-Lenz vector15m

 Lecture 10

    Part I: The Bohr model of the atom7m

    Part II: Applications of the Bohr Model15m

    Part III: Simple constructive techniques9m

    Part IV: Gaussians and the variational theorem11m

 Homework 51h 40m

 Homework 5 Bonus Questions (Ungraded)30m

Week 6 - Lecture 11 and 12 - The Bouncing Ball

 Lecture 11

    Part I: Variational Estimates and Applications14m

    Part II: Hydrogen atom: variational and virial theorems18m

    Part III: Use of Special Functions

Part IV: The Bouncing Ball

 Lecture 12

Part I: Basic Properties of Angular Momentum Operators

Part II: Basic Commutation Relations

Part III: Angular Momentum as an Effective Potential

Part IV: Angular Momentum and Runge-Lenz Vector14m

 Homework 6

 Homework 6 Bonus Questions (Ungraded)30m

Week 7 - Lecture 13 and 14 - Rotation and Spin

 Lecture 13

    Part I: Rotation and Dipole Moments of Molecules

Part II: Atomic and Molecular Polarizabilities: Perturbation Theory

Part III: Atomic and Molecular Polarizabilities: Perturbation Theory (cont'd)

Part IV: Polarizability of the Hydrogen Atom

Part V: The Spectra of Hydrogen Isotopes

 Lecture 14

Part I: Introduction to gauge potentials - magnetic fields

Part II: Impossibility of magnetism in classical mechanics

Part III: The Dirac Equation - Basics

Part IV: The Dirac Equation - Spin

    Part V: Spin and Antimatter in Material Systems

 Homework 72h

 Homework 7 Bonus Questions (Ungraded)30m

Week 8 - Lecture 15 and 16 - Quantum Gas and Time Dependence

 Lecture 15

    Part I: Bose-Einstein condensation in theory10m

    Part II. Bose-Einstein condensation in experiment 18m

    Part III. Degenerate Fermi-Dirac gases12m

    Part IV. Current research in quantum gases 12m

 Lecture 16

   *Part I: Time-dependent Schrödinger Eq.; general remarks23m

  **Part II: Sudden perturbations; quantum quenches20m

 ***Part III: Geometric Berry phase (difficult, advanced material - optional)26m

 Final Exam

WEEK 9 - Bonus Lectures

  **Part I: Zeeman Effect 17m

  **Part II: Stern-Gerlach Experiment 6m

    Part III: Spin Dynamics and LS Coupling 8m

  **Part IV: Spin Exchange and Magnetism 12m

  **Part V: Non-equilibrium Spin Injection 13m

BICEP2 관측과 인플레이션의 중력파(2부)

 BICEP2 관측과 인플레이션의 중력파(2부)

BICEP2 and Gravitational Wave from Inflation (Part2)

[주의] 이래 글은 위의 동영상을 보고 나름대로 요약 및 해석을 덧 붙인 글입니다. 이 블로그에 글을 쓰는 저는 취미 독학자 입니다. 오류가 있을 수 있으니 제시된 링크들을 참조 하십시요. 이 동영상은 2014년에 발표한 BlCEP2의 논문을 기초로 제작된 것입니다. BICEP2의 관측과 그에대한 주장들은 현재까지도 논란 중 입니다.

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[0:00] 전편[1부]에서 BlCEP2 팀이 우주 마이크로파 배경복사에서 B형 편광을 관측한 것 같은데, 이는 우주 초기 대폭발(Big Bang) 직후(10^-32초) 급격한 팽창에 동반된 중력파 때문이라는 주장을 소개했다. 이번 2부에서는 그 주장을 뒷바침하는 자료를 들여다 본다. 이 중력파는 어떻게 만들어졌을까? 먼저 우주초기 상황을 보자.

[0:30] 현재 관측으로 알게된 우주 가속팽창, 우주 마이크로파 배경복사, 거대규모 우주 구조, 빅뱅과 함께 생겨난 원시 원소들로 가득한 우주와 입자 물리학의 실험을 통해 알게된 입자들의 에너지들을 감안하여 빅뱅후 1초 쯤 되었을 때 우주의 모습이 어땠을지 추정할 확실한 증거를 갖게 됐다. 그때의 상태를 조금 추정해 볼수 있다는 뜻이지 많이 안다고 할 수는 없다.

[1:07] 1970년대 말에 과학자들이 위와 같은 우주 진화도를 더 자세히 들여다(혹은 완성해 가던 중) 볼수록 오늘날의 우주를 구성하는 물질의 밀도와 에너지 분포를 감안하면 기하학적으로 평평한 기하학적 구조를 가져야 한다는데 주목했다. 이를 "평탄화 문제(Flatness problem)"라고 한다.

우주 마이크로파 배경복사의 균일함, 즉 우주의 온도의 균일성에 대한 의문이다. 빛보다 빠르게 온도를 주고 받을 수 없는데 우주 어디를 봐도 같은 온도일 수 있을까? 이를 "수평선 문제(Horizon problem)"라고 한다. 

[1:50] 이에 대한 설명으로 우주가 세밀하게 조정된 상태로 (우연히) 시작되었다('미세조정 우주')는 설도 있으나 과학자들은 이에 만족하지 않았다(happen to start in THIS exceedingly finely tuned state). 1980년대 초에 앨런 구스(Alan Guth)가 빅뱅직후 아주 아주 짧은 시간 (10^-32초) 내에 급격히 팽창, 다른 말로 인플레이션(Inflation)을 일으켰다는 가설을 세웠다.

[빅뱅만으로 우주가 팽창했다면 너무 균일해서 지금 같은 우주는 없었을 것이다. 은하, 별, 행성 따위의 천체가 만들어지려면 미세한 밀도 변화가 필요하다. 이를 위해 빅뱅 후 팽창하기전 아주 짧은 시간이 필요하다.]

[2:28] [인플레이션(inflation theory)으로 위의 두가지 문제를 설명]

첫째, 빅뱅이 있던 순간에는 우주가 기하학적으로 평편하지 않았다. 인플레이션으로 인해 공간이 확 펼쳐짐으로써 자동적으로 평탄화 되었다. [solve flatness problem]

둘째, 인플레이션 이전의 한점에 몰려있다가 인플레이션으로 우주 전체에 균일하게 퍼졌다. 이후 우주 전체에 거의 동일한 온도를 가졌다.  [solve horizon problem]

[3:00] 양자요동(quantum fluctuation)으로 팽창한 우주가 완전히 균일해지지 않고 약간의 밀도차를 일으켰다. 그덕에 CMB에 작은 온도차를 남겼고 별, 은하, 은하단, 필라멘트 등 오늘날의 우주 구성물들이 만들어졌다.

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[3:32] 인플레이션으로 현재 우주의 모습에 대한 여러 의문들이 설명된다. 하지만 이론일 뿐이며 증거는 없었다. 대부분 연구가 이 인플레이션 이론을 근거로 이뤄졌다. 인플레이션 이론으로 그럴듯한 모형이 제시 되었지만 실험으로 증명할 수 없었다. 아직 인플레이션 당시의 고에너지에 도달할 입자가속 충돌 장치가 없기 때문이다. [몇 개의 입자를 충돌 시키는 매우 소규모 충돌 실험이다.]

[입자들을 충돌시켜 인플레이션 직전 상태로 뭉쳐놓고 관찰해 보면 될 것이다. 현재 가속 충돌기는 양성자들을 가속시켜 핵을 깨트려 내어 미소 입자들의 정체를 밝히는 수준이다.]

[4:35] 실험이 않되면 관측으로 찾아보자. 예상되는 여러 인플레이션 모형중 하나로는 중력파 요동이다.

During the time of inflation, there would be also quantum fluctuations in the curvature of space-time itself. And these fluctuations would produce strong gravitational waves in the very early universe. And as the universe continued to evolve these gravitational waves would pass through hot dense plasma and still be around when the Cosmic Microwave Background formed. Gravitational wave will imprint specific E & B-mode patterns on the polarization of the CMB.

인플레이션으로 시공간이 급격히 왜곡되면서 함께 양자요동이 있었다. 그리고 이 요동(fluctuation)은 아주 초기 우주에서 매우 강력한 중력파(gravitational waves)를 일으켰을 것이다. 이 중력파가 밀집된 플라즈마를 강타하여 CMB에 흔적을 남겼을 것이다. 그 흔적이 CMB 복사의 E 와 B-모드 편광 무늬다.

[5:14] B-형 편광의 세기는 중력파에  달렸고 중력파의 세기는 인플레이션의 특성을 보여주는 근거가 된다.

The specific strength of these B-mode DEPENDS ON the strength of the gravitational waves that were produced and the strengths of the gravitational waves DEPEND ON what the properties of inflation are.

[5:27] 인플레이션에서 벌어졌음 직한 몇가지 가설(모형)을 세워놓고 오늘날 CMB의 편광관측을 통해 얻어진 자료를 가지고 가설을 하나씩 지워가기로 한다. 어떤종류의 중력파 였을지 알게 될 것이다.

Basic properties of inflation and those make different predictions about WHAT KIND OF GRAVITATIONAL WAVES we would get.

[5:43] 이 중력파의 세기와 특성에 따라 CMB의 B형 편광에 독특한 무늬를 남겼을 것이다. 이 B형 편광의 측정이 BICEP2 관측단의 목표였다. B형 편광이 초기 우주에 있었던 중력파에 관하여 무었을 보여줄 것인지, 인플레이션의 강력한 증거일 뿐만 아니라 초기 우주 모형중 어떤 것이 옳은지 알려줄 것이다.

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[6:13] 인플레이션은 빅뱅 직후, 10^(-30) 초에 일어났다는 점을 기억해 두자. 우주 마이크로파 배경(CMB) 복사의 B 모드 편광 측정은 우주의 최초 모습을 보여줄 것이다.

So, this measurement of the B modes in the CMB really gives us a unique view at the first moment of the universe, because again this inflation period occurred about a 10^(-30) second after the Big Bang.

물리 실험은 신중해야 한다. 우주관측도 물론이다. 장비의 감도와 정밀도는 실험의 신뢰도에 중요한 영향을 준다.

[6:35] 실험과 관측에서 수집한 자료에 오류의 가능성은 항상 있다. 측정 대상의 신호에 잡음이나 왜곡이 끼어들 수 있고 측정 장치의 오류일 수도 있다. CMB의 B형 편광의 관측도 예외는 아니다(+False B-mode signal). 초기 우주에 존재하던 밀도차(온도차)에 의해 발생하는 편광은 E형만 가능하다. 하지만 우주공간을 뚫고 멀리서 전해지는 마이크로파는 중간에 거대 은하단을 통과한다. 이때 중력 렌즈 현상(gravitational lensing)으로 우리에게 전해지는 마이크로파는 E형에서 B형으로 뒤틀려 (나선형으로) 보일 수 있다. 중력 렌즈로 인해 빛의 편광이 E형에서 B형으로 뒤틀리는 현상은 실제로 수년 전부터 관측으로 밝혀졌다. 또다른 오류는 성간 먼지(interstellar dust & gas)에 의한 신호 왜곡[산란으로 인하여]이 일어난다. 그외 망원경 자체의 오류(systematic errors: mis-alignment of antenna array H/W, signal processing S/W)도 고려되어야 한다. [전파 망원경의 하드웨어(배열 안테나의 정렬의 정밀성)는 물론 수집된 전파 신호처리 소프트웨어 오류, 계산 정밀도 포함]

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[7:50] BlCEP2 관측단이 발표한 B형 편광 측정에서 이런 문제들을 어떻게 다뤘는지 살펴보자. 그들은 CMB의 B형 편광 지도를 작성하였고 이 편광이 중력파의 영향이라고 주장했다.

그들이 측정한 B형 편광 측정치와 시뮬레이션으로 구한 편광지도(B from lensed-Lambda[Λ]CDM+noise)와 비교하였다. 비교 대상이 된 시뮬레이션은 두 가지 조건이 주어졌다: 중력파의 영향을 받지 않은 경우와 중력렌즈의 영향을 받은 경우다.

The BICEP2 compared their measured B-modes to a simulated map of what you would expect to see if there were no gravitational waves at all and all of the B-modes came from gravitational lensing.

B형 편광의 강도[B형 편광이 나선형으로 휜 정도를 수치화]를 비교해 보니, 실 관측치에 비해 두가지 시뮬레이션으로 얻은 편광의 정도는 현저히 작았다.

And you can see that the strengths of these B-modes are all significantly smaller than the strengths of the B-modes that they actually saw.

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아울러 성간 먼지와 가스에 의해 편광이 왜곡되었을 것을 감안한 다수의 분석모형과도 비교하였다. 이 역시 실측정치에 비해 매우 작았다.

They also considered different models of how interstellar dust and gas may have distorted these B-modes each of these lines represents a different model for the dust but their analysis suggests that these effects would significantly less than the strengths of the B-mode signals that they have detected.

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BlCEP2 관측단은 천구의 여러 각도(angular scale)로 B형 편광 강도의 평균치를 살펴봤다.

They also look at the average B-mode strengths over various angular scales on the sky.

[8:55] In this figure the multi-pole number corresponds to the angular size of the B-mode across the sky. Higher values for the multi-pole moment correspond to smaller regions of the sky. And vertical axis correspond to the strengths of the B-modes on each angular scale.

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[9:14] 도표에서 점선은 인플레이션 만으로 얻어질 수 있는 B형 편광을 나타낸다(Inflation B-Mode). 실선은 은하단 같은 거대 질량이 있던 공간을 통과하면서 중력렌즈 현상으로 휜 가짜 B형 편광이다(Fake B-Mode). 윗쪽의 선은 이들 둘을 합한 값이다.

The dashed line on the bottom corresponds to the B-modes that you would get only from inflation, the solid line corresponds to the B-modes, the fake B-modes that you would get from gravitational lensing of from foreground objects and the top line corresponds to the sum of those two.

[9:33] 위의 도표를 보면 BICEP2의 관측치는 좁은 멀티폴, 넓은 영역에서 인플레이션에 의한 편광 예상치와 잘 일치하는 것을 볼 수 있다. 높은 멀티 폴(multipole), 그러니까 좁은 각도(small angular scale) 영역에서는 중력렌즈 효과가 지배적인데 관측치는 거기까지 측정되지 않았고 중간 영역의 오차도 크다.[BlCEP2의 측정이 좁은 각도 영역에서도 잘 맞았더라면 측정의 실뢰도를 가질 수 있었을 것이다. 더 정밀한 관측장비가 필요해 보인다. BICEP2가 512개의 센서(bolometer)를 가진데 비해 BICEP3는 2560 개의 센서를 장착하게 된다.[BICEP][BICEP2 Visuals][Bolometer]]

도표에 나타낸 r 값은 B형 편광의 세기[나선형으로 기울임의 정도]를 기반으로 중력파의 세기를 나타낸다고 볼 수 있다. 관측자료를 근거로 [통계]분석하여 r 값이 0.2 내외로 나왔다. 이 값은 중력파 영향이 없을 때를 r=0 으로 잡은 것에서 확실히 의미있는 수치다. [2014년 BICEP2에서 발표한 이 수치에 논란이 있었다. 2016년 우주 먼지에 의한 왜곡에서도 비슷한 수치가 나온다는 점이 밝혀졌다. 이는 BICEP2 도 인정했다. BICEP and Keck Array]

This r value that is posted here corresponds to the strength of gravitational waves produced during inflation and based on the strength of the B-modes that were measured. It seems like the most likely value for our based on this data and this analysis is about 0.2. It could be a little bit more, it could be a little bit less, but it seems extremely unlikely that r equals 0 or there were no gravitational waves present in this signal.

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r 은 초기 우주 양자 요동(primordial fluctuation)의 정도를 나타내는 수치다. BICEP2의 분석은 r 값을 높게 잡고 그들의 측정과 비교한 것으로 보인다. [주의: 확실치 않음]

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[10:24] 이 관측이 시사하는 점을 살펴보자.

무엇보다 먼저 빅뱅 직후 우주 초기에 실제로 인플레이션이 있었다는 확실한 증거를 찾았다. 인플레이션 이론은 과학이론의 바람직한 전철을 따랐다. 어떤 이론이 제시 되고 그 증거가 발견될 거라는 예측에 과학자들이 그 신호를 탐구하여 찾아냈다.[일반상대론이 제시 되었고 일식관측으로 중력장 방정식은 증명되었다.]

BICEP2에서 관측한 r=0.2라는 측정치는 대부분 물리학자들이 예상한 것보다 상당히큰 값이다. 이를 기반으로 이론 과학자들은 인플레이션 모델을 수정하고 여러 모형 중 어떤 것이 이런 측정치에 일치하는지 골라낼 것이다. 그리하여 살아남을 모형으로 가설들을을 좁혀간다.

[11:17] B형 편광의 강도로 보아 인플레이션을 일으킨 에너지의 규모(energy scale)를 예상케 한다. 현존하는 가장 큰 입자가속기 보다 수조(trillion)배를 넘는다[전체 우주규모의 에너지가 아니라 입자 당 작용하는 에너지를 말한다.] 

어마어마한 에너지 규모를 물리학으로 살펴 보기는 어렵더라도 빅뱅이 일어났던 직후 초기 우주를 이해하는데 도움은 되겠다.[빅뱅과 인플레이션과 오늘의 우주 모습을 연관 지어 생각하는 것이 (어쩌면 황당한)참신한 아이디어가 아니라 근거 있는 사실이다.]

[11:48] 두말할 것도 없이 새로운 관측과 연구가 이어져 초기우주의 중력파와 인플레이션의 증거가 모아져 우주에 대한 우리의 이해가 높아질 것이다.

BICEP2의 관측으로 중력파 천문학(gravitational wave astronomy)이라는 새로운 학문 분야가 탄생하리라 기대한다.[이 동영상은 2014년에 작성됐다. 2016년 중력파 관측기 LIGO는 블랙홀의 충돌(merge)을 성공적으로 관측했다. 중력파 천문학과 다중신호 천문학 시대의 시작]

Thanks to the dedicated efforts of the BICEP2 team we have opened up new way of studying the universe around us. As always it will be exciting to find out what we learned.

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주] BICEP2의 2014년 발표는 큰 반향이 있었으나 오류가 상당히 포함 되었다는 의견이 지배적입니다. BlCEP의 망원경을 고안했던 브라이언 키팅은 이 당시 논란을 책으로 냈습니다.

Losing the Nobel Prize: A Story of Cosmology, Ambition, and the Perils of Science's Highest Honor by Brian Keating, 2018

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[1부] 

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[참고]

1. The B-Mode Story You Haven’t Heard, NOVA

2. Cosmic Inflation Pt.1, Pt.2, Harvard Astronomy Video

3. Quantum Physics Visualized