0주: 환영(Welcome)
W0.1 강좌 예고(Course Trailer)
W0.2~5 강좌 개요(Course Overview)
W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
(Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)
1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application: Compound interest)
W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application: Terminal Velocity)
W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application: RC Circuit)
W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)
W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)
2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)
W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)
W2.2/11강 중첩의 원리(Principle of Superposition)
W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)
W2.4/보강1 복소수(complex numbers)
W2.5/13강 일원 2차 상미분 방정식
(Homogeneous 2nd-order ODEs with constant coefficients)
W2.6/14강 예제1: 2개의 실근(Case1: Distinct Real Roots)
W2.7/15강 예제2A: 켤레 복소수 근 A(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part A))
W2.8/16강 예제2B: 켤레 복소수 근 B(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part B))
W2.9/17강 예제3A: 중근 A(Case 3: Repeated Roots (Part A))
W2.10/18강 예제3B: 중근 B(Case 3: Repeated Roots (Part B))
W2.11 연습문제(Practice quiz: Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.12/19강 이원 2차 상미분 방정식(Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.13/20강 지수함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Exponential func.)
W2.14/21강 삼각함수꼴 이원항(A)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part A)
W2.15/22강 삼각함수꼴 이원항(B)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part B)
W2.16/23강 다항함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Polynomials)
W2.17/24강 공진현상(Resonance) /동영상/영문자막
물체(물리적 구조체)는 고유의 진동수를 가지고 있다. 예를 들어 와인 유리잔을 튕겨주면 아름다운 소리가 울리는데 바로 그 물체의 고유 진동수 ω_0 다. 물체는 저마다 고유 진동수를 가지고 있다. 어떤 물체가 어떤 고유 진동수를 가졌는지 알아보기 위해 한번 튕겨 주는데 이를 임펄스(impulse)라고 한다.
공진(resonance)은 물체의 고유 진동수와 외부에서 가한 진동수 ω가 같았을 때 일어나는 현상이다.
유리잔의 진동모형을 수학적으로 기술하는 방법은 물리 시간에 배우도록 하자. 공진을 다루기 위해 미분 방정식으로 기술한 진동모형은 다음과 같다. 왼편은 물체의 고유진동(natural frequency, ω_0)이며 오른편은 외부의 강제진동(forcing frequency, ω)을 기술하였다.
이원항이 cos(t)인 2차 미분 방정식이다. 먼저 일원 2차 미분 방정식의 해(homogeneous solution)를 구하자.
다음은 특정해(particular solution)을 구한다. 원 방정식의 왼편에 1차 미분항을 포함하고 있지 않다는 점에 주목하자. 가설해를 세울 때 1차 미분은 고려할 필요가 없다.
이제 일원해와 특정해를 모두 선형조합하여 일반해를 구하자.
초기초건으로 아직 확정하지 않은 c_1과 c_2를 구한다. 아무 일도 일어나지 않은 초기 조건으로,
따라서,
마침내,
미분 방정식의 해는 구했지만 그 의미를 이해 해보자. 강제진동의 주파수 ω가 ω_0에 근접할 때 공진현상이 일어난다.
시간이 지날 수록 물체가 가진 고유진동의 진폭이 (외부에서 고유진동과 같은 주파수로 강제진동이 제공되는 한, ω=ω_0) 계속 증가한다.
[연습]-----------------------------------------------------------------
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