이번 강의는 평면공간(Flat Space)에서의 공변 미분(Covariant Derivative)이다. 사실 앞선 강의에서 여러번 등장한 벡터(장)의 기저축 변수 편미분에 관한 것으로 그 의미를 되짚어보고 정의를 내려보고자 한다.
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[이번 강의는 새로운 내용 배운다기 보다 앞으로 혼란을 피하기 위해 편미분의 의미를 확실히 해두기 위한 목적이다. 복습이라고 생각해도 좋다. 그리고 크리스토펠 기호를 다시 살펴본다.]
기저벡터를 기저축으로 편미분 -> 다시 기저벡터의 선형합
- 변화하는 기저벡터를 기저축으로 편미분
-> 편미분 했어도 여전히 벡터
-> 기존의 벡터 평면에 구속됨
-> 기저벡터와 성분 곱의 선형 합
-> 기저벡터의 변환 규칙을 세움
-> 새로 세운 변환 규칙에서 기저벡터의 '성분'
-> 크리스토펠 기호
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벡터장(Vector field)를 다룸에 있어서....
스칼라장을 벡터화 하는 기법으로 기저축 변수로 편미분을 실시한다[그래디언트를 취함]. 이때 위치 벡터의 기저축 변수로 편미분 하면 기저벡터의 의미를 갖는다. 벡터장에서 이 기저벡터의 성분 또한 연속적으로 변화하므로 미분가능하다.
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'공변 미분'의 한 줄 정의:
'벡터 장' 또는 '텐서 장'의 변화율의 해석은 기저벡터의 변화도 함께 고려되어야 한다. 이미 앞선 강의에서 곡면을 다룰때 기저벡터가 위치에 따라 가변하는 것으로 취급했다는 점을 기억하자. 그리고 물리량(길이)를 측량 할 때 눈금[=측량텐서]을 가변시키지 않았던가!
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새삼스럽게 다시 거론하는 이유는 이에 대한 정의가 자료.문헌마다 조금씩 다르게 사용되어 이 강좌에서 더 진행하기 전에 정의를 내려 놓으려 한다. [벡터장과 텐서가 그만큼 매우 추상적인 개념을 담고 있기다는 반증이기도 하다.]
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'공변 미분'의 정의는 다양한 수준에서 그 의미를 갖는데 이번 강의는 평면에서 의미를 설명하겠다. 사실 이전 강의에서 곡면 공간에서 다뤘었다. ['공변 미분'은 좌표계 사이의 변환에 적용되는 도구다. 난해한 물리현상을 해석하기 수월한 좌표계로 변환 시킨다. 기저축으로 나누고 선형 조합을 포함한다.]
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'공변 미분'이 무엇인지 본격적으로 시작하기 전에 좌표계 변환에 대하여 복습해보자.
평면위의 위치벡터 R을 표현해 보자. 직교좌표(Cartesian Coordinate)를 쓸 것인가 아니면 극좌표(Polar Coordinate)를 쓸 것인가 정하고[좌표축 변수 설정] 기저벡터를 정의하게 된다. 기저벡터는 위치벡터 R을 이들 기저축 변수로 편미분 하여 구할 수 있다는 것도 배웠다. 어떤 좌표계를 쓰던 벡터는 불변(vector invariant)하다. 따라서 동일한 위치 벡터를 표현하는 좌표계는 서로 '등가(equivalent)' 이어야 한다. 서로 등가를 성립하게 해주는 변환 규칙이 마련되어야 한다.
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좌표계의 기저축 변수명을 x 와 y 대신 c에 위첨자를, r 과 θ 대신 p에 윗첨자를 붙이는 식으로 표현하기로 하자.
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이를테면,
[1] 평면 위에서 움직이는 벡터 R 을 변화인자(시간) λ에 대한 변화율을 구하기. 다변수 연쇄법칙을 적용하여 평면의 기저축에 대한 변화율로 각각 분리하여 구할 수 있다. [R(λ) ⟶ (u(λ),v(λ)) ⟶ R(u,v)]
[2] 기저축 변수는 위에서 언급한 색인 표시법으로 바꾸면 기저축에 대한 시간 미분 및 위치벡터의 기저축 편미분 곱의 선형조합 합(summation of linear combination)으로 표현 할 수 있다.
[3] 색인을 도입한 이유중 일반화에 의한 단순 표기법이다. 우변 내에 닫혀 있는 색인의 총합을 생략한 아인슈타인 표기법(Einstein Summation Notation)이다. 물론 추상성은 한층 높아졌다.
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이제 '공변미분'에 대해 알아보기로 하자.
직교좌표계(Cartesian Coordinate)에서 벡터 v를 표현해 보자. 어느 위치에 있든 한번 설정된 기저벡터는 변함없다.
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벡터 v 는 기저벡터와 기저축 성분 곱의 선형합으로 표현된다[기초적인 벡터 합의 원리다]. 기저축 변수를 색인화 하여 아인슈타인 표기법으로 표현 할 수 있다.
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기저벡터는 위치벡터 R에 기저축 변수 y의 편미분이다. 물론, 이 경우에도 아인슈타인 표기법을 적용 하여 나타낼 수 있다.
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예를 들어,
[1] 다음과 같이 각 기저축 성분이 상수로 주어 진 벡터 v 가 있다고 하자.
[2] 이 벡터가 평면 위에 무수히 존재하면 벡터장이 된다. 직교좌표로 표현되었으므로 동일한 크기와 방향을 한 벡터들이다.
[3] 직교 좌표계의 기저벡터는 고정되었고 각 지저축의 성분들도 상수 이므로 기저축에대한 변화율은 모두 0이다.
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직교좌표계에서 벡터장의 편미분이 0 이라는 사실을 굳이 증명한다면 다음과 같다. 벡터 v 를 기저축 변수 x 로 편미분하여 변화율을 보자.
[1] 벡터장 이므로 성분과 기저벡터 모두 변수로 보고 편미분 연산자를 적용한다.
[2] 성분변수와 기저벡터변수의 곱에 미분 연산자를 적용하므로 다변수 미분의 곱의 법칙이 적용 되어야 한다.
[3] 예제의 벡터 v 는 성분이 상수, 직교좌표계의 기저벡터도 고정이므로
편미분의 결과는 0 이다.
[4] 다른 기저축 변수 y 에 대한 변화율을 보기위해 편미분한 결과는 0이다.
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이번에는 극 좌표계(Polar Coordinate)로 표현된 벡터 v에 대하여 각 기저축에 대한 변화율을 살펴보자. 직교좌표계와는 다르게 위치에 따라 기저벡터가 변한다[방향뿐만 아니라 길이도 변한다]. r 축의 기저벡터는 반지름이 증가하는 방향을 취하며 원점에서 거리와 관계없이 길이는 같다. 하지만 각도축의 경우 원점에서 거리에 비례하여 기저벡터의 길이가 늘어난다. 각도가 변하지 않아도 원점에서 거리에 비례하여 원호의 길이도 증가하는 이치와 같다.
[각도축 기저벡터는 각도가 변화하는 방향의 접선벡터로 정의 한다. 반지름 증가방향 벡터와 각도증가 접선벡터는 직교한다.]
각도축의 기저벡터 길이가 원점에서 거리에 비례하는 성질을 보정하기 위해 1/r 을 곱하여 정규화(Normalize)하는 것이 보통이나 이 강좌에서는 기저벡터 변화율의 설명을 위해 비정규화(un-normalized)한 기저벡터를 사용한다.
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극좌표계에서도 벡터 v 는 기저벡터에 그 성분을 곱한 선형합으로 표현된다. 아울러 기저축 변수를 색인화 하여 아인슈타인 표기법으로 표현 할 수 있다.
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극좌표계의 벡터 v 와 벡터장의 예를 들어보자. 다음과 같이 r 기저축과 θ 기저축의 성분이 각각 2 과 1 로 상수다. 겉으로 보기에 성분이 상수 이므로 균일한 벡터장의 모습을 예상 할 수 있지만 실제로 그렇지 않다.
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이 벡터를 2차원 평면 위에 무수히 분포시켜 벡터장을 형성시켜보면 위치에 따라 벡터의 크기와 방향이 변화하는 모습을 보인다. 성분이 상수로 주어 졌더라도 극좌표의 기저축 특성상 기저벡터가 위치에 따라 변화하기 때문이다.
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벡터 v를 극좌표계 기저축 변수 θ로 미분 해보자[미분은 특성을 해석하는 유용한 도구다]. 기저벡터가 위치에 따라 변하므로 미분은 0이 아니다. 따라서 좌표계의 특성에 따라 성분의 변화(change of components) 뿐만 아니라 기저벡터의 변화(changes of basis)를 모두 고려해야 한다. 마찬가지로 벡터 v를 다른 극좌표 기저변수 r로 미분하면 아래와 같다. [직교 좌표에서는 벡터의 편미분이 0 이었다.]
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특이함을 보여준 네가지 요소인 기저벡터 미분에 대해 살펴보자. 2차원을 다루고 있으므로 기저벡터와 기저축 변수의 미분조합은 다음과 같이 4종류다. 이 네가지 미분을 구해보자.
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극좌표계의 기저벡터 특성을 알아보기 위해 다루기 수월한 직교 좌표계로 확장하면 다음과 같다. 직교좌표계의 기저벡터에 곱해질 변환용 성분으로 네가지 미분을 구하는 문제가 생긴다.
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이 성분 미분은 [벡터장에 분포하고 있는] 위치벡터 R을 기저축 변수로 편미분하여 얻는다는 사실을 이미 알고 있고 다변수 미분 연쇄법칙을 기억할 것이다.
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위치벡터에 대해 좌표계 사이의 등가 변환 규칙을 이미 알고 있다. 따라서 이 변환식을 활용하여 미분된 변환성분을 구하여 기저벡터 변환식에 적용하면 다음과 같다.
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직교좌표계로 표현된 극좌표계의 기저벡터 미분을 구해보자.
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이로써 직각좌표계 기저벡터로 확장된 4 가지 극좌표 기저벡터의 미분을 구했다.
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이번에는 직각좌표계의 기저벡터를 극좌표계의 기저벡터 확장식으로 구해보자.
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마침내,
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극좌표계의 기저벡터 변화율을 모두 구했다.
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극좌표계의 기저벡터 변화율(기저벡터에 대한 기저축 변수의 미분)이 어떤 의미인지 그림으로 알아보자.
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[1] 원점에서 위치벡터까지의 거리 r의 변화에 대해 r축 기저벡터의 변화는 없다. 즉 반지름 방향으로 어느 위치에서든 r축 기저벡터는 동일 하다.
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[2] 원점에서 거리가 증가할 수록 각도축 기저벡터의 길이는 증가 한다. 하지만 증가비율은 점점 작아진다. 증가비가 감소하는 비율은 1/r 이다.
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[3] 각도의 증가에 따라 변화하는 반지름축 기저벡터의 증가비율은
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[4]
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이제 이 강의의 본론인 벡터장의 미분으로 돌아가 보자.
극좌표계로 표현한 벡터가 있다. 이 벡터를 평면에 무수히 분포시켜 벡터장을 구성 하였다. 이 벡터의 기저성분이 상수로 주어 졌지만 위치에 따라 분포하는 벡터의 크기와 방향이 달랐다. [직교좌표계로 표현된 벡터로 분포된 벡터장의 경우 성분이 상수였다면 위치에 상관 없이 균일하다.]
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벡터를 기저축 변수로 미분 하여 그 원인을 추적해보자.
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기저축 변수의 미분이 0이 아니라는 뜻은 비록 성분이 상주로 주어진 벡터의 분포라도 벡터장이 상수 분포가 아닐 수 있다. 따라서 성분 뿐만 아니라 기저벡터 역시 가변 할 수 있다는 점을 고려해야 한다.
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벡터(장)을 선택한 좌표계의 기저축 변수로 미분 할 때 성분 뿐만 아니라 기저벡터 역시 미분 적용해야 한다.
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그리고,
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끝으로 한가지 더,
기저벡터의 기저축 변수 미분은 크리스토펠 기호의 선형합 확장식으로 표현된다.
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아인슈타인 표기법 규칙에 따라, k 색인과 총합 기호를 도입하고 독립항의 j색인을 k로 취하면,
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직교 좌표계의 경우 기저벡터는 고정되었으므로 미분은 0이다. 따라서 평면에서 직교좌표계의 크리스토펠 기호 값은 0이다.
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하지만 극좌표라면, 기저벡터 미분중 0인 것과 0이 아닌 것도 존재한다.
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평면에서 극좌표계 벡터장, 기저벡터의 미분은 모두 0이 아니다.
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요약: 즉 성분뿐만 아니라 기저벡터의 변화도 분석되어야 한다. 움직임이 미심쩍거나 난해하다면 판(측정도구)을 바꿔보자. [측정도구=크리스토펠 기호]
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[이전] 16. 평면과 구면의 측지선 구하기 예제(Geodesic Examples on Plane and Sphere)
[다음] 17.5 Covariant Derivative (Component Definition) - Optional
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강의목차:
Tensor Calculus by eigenchris @ Youtube
0. 소개(Introduction)
1. 다변수 미적분 요약(Multi-variable Calculus Review)
2. 직각좌표계와 극좌표계 그리고 기저벡터(Cartesian & Polar Coordinates, and Basis Vectors)
3. 자코비언(The Jacobian)
4. 미분하면 벡터된다(Derivatives are Vectors)
5. Derivative Transformation Rules (Contravariance)
5.1 Derivative Operators are Vectors Discussion
6. 차분형은 여벡터(Differential Forms are Covectors)
7. 여벡터 장 성분(Covector Field Components)
8. 8. 여벡터장 변환규칙(공변)(Covector Field Transformation Rules (Covariance))
9. 차분형(여벡터장) 적분[경로적분](Integration with Differential Forms)
10. 차분형 적분[경로적분] 예제(Integration with Differential Forms Examples)
11. 측량텐서와 원호길이(평면)(The Metric Tensor and Arc Lengths (flat space))
12. 곡면에서 원호길이 측량(The Metric Tensor in Curved Spaces for Measuring Arc Length)
13. 그래디언트(∇) 와 미분연산자(d) (Gradient vs 'd' operator)
14. 벡터장 추가설명 및 예제(Gradient explanation & examples)
15. 측지선과 크리스토펠 기호(Geodesics and Christoffel Symbols (extrinsic geometry))
16. 평면과 구면의 측지선 구하기 예제(Geodesic Examples on Plane and Sphere)
17. 공변 미분(평면)(The Covariant Derivative (flat space))
17.5 Covariant Derivative (Component Definition) - Optional
18. Covariant Derivative (extrinsic) and Parallel Transport
19. Covariant Derivative (Intrinsic) and Geodesics
20. The Abstract Covariant Derivative (Levi-Civita Connection)
21. Lie Bracket, Flow, Torsion Tensor
22. Riemann Curvature Tensor Geometric Meaning (Holonomy & Geodesic Deviation)
23. Riemann Curvature Tensor Components and Symmetries
24. Ricci Tensor Geometric Meaning (Sectional Curvature)
25. Geometric Meaning Ricci Tensor/Scalar (Volume Form)
26. Ricci Tensor/Scalar Properties
