W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)

[커세라] 이과생을 위한 미분 방정식(Differential Equations for Engineers)

0주: 환영(Welcome)
    W0.1 강좌 예고(Course Trailer)
    W0.2~5 강좌 개요(Course Overview)
    W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
                     (Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)

1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
    W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
    W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
    W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
    W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
    W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
    W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
    W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
    W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application: Compound interest)
    W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application: Terminal Velocity)
    W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application: RC Circuit)
    W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)
    W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)

2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)

W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법
        (Euler method for higher-order odes)/동영상/영문자막



미분방정식을 수식으로 풀기(analytical solution)는 아주 까다롭고 불가능할 때가 더 많다. 컴퓨터의 시대이니 만큼 수치해석으로 푸는 방법을 소개한다. 앞서 1차 미분 방정식에 적용 했던 오일러 방법(Euler method)을 일반화 하여 고차 미분 방정식의 풀이에 적용해 보자.

미분의 표시로 변수위에 점을 찍는 방식은 그 변수를 시간으로 미분 했다는 의미다. 이는 미적분을 발명한 뉴턴에 의해 고안되었다. x의 2차 미분은 독립변수 t와 종속변수 x, 역시 종속변수 x의 일차 미분인 x_dot의 함수다.


f_2dot = f(t, x, x_dot)

변수 x의 시간 t에대한 2차 미분 함수를 수치해석(numerical method)으로 푸는 방법을 알아보자. 아이디어는 간단하다. 예를 들어 2차 미분 함수를 두개의 1차 미분 함수로 취급하여 각각 일차 미분 방정식으로 풀자. 일차 미분식 x_dot을 새로운 변수 u라고 놓으면 2차 미분식은 u의 일차 미분식으로 표현 할 수 있다.


x_2dot = f(t, x, x_dot)
x_dot = u
u_dot = f(t, x, u)

뉴턴의 방식에 따르면 x를 위치(거리), u 를 속도가 된다. 이렇게 치환하면 x_2dot 은 u_dot 과 같다. 미분 방정식을 풀려면 초기조건이 필요하다. 두 일차 미분 방정식의 초기 조건은 다음과 같다.


x(t_0) = x_0
u(t_0) = u_0

뉴턴 식으로 치면 초기 위치 x_0, 초기 속도 u_0 인 셈이다. 이 두 u 와 x 에 대한 일차 미분 방정식을 각각(동시에) 오일러 방법으로 풀자.

The idea is that we need to solve both x and u simultaneously using the Euler method for the first order equation. [x 와 u를 독립적으로 취급하므로 동시에(simultaneously) 풀 수 있다]

두 미분방정식의 수치방법 풀이는 두개의 그래프를 각각 그려보면 쉽게 이해할 수 있다.

(1) t와 x의 관계 그래프로 1차미분 x_dot는 x(t)의 접선 기울기, x_dot(t)=u(t)
(2) t와 u의 관계 그래프로 1차미분 u_dot는 u(t)의 접선 기울기

초기 조건으로 t_0 = 0 일때 각각 초기 값을 x_0, u_0로 놓자.

(1) u_0 (x_dot(0)와 같다)는 t=0에서 x(t)의 접선 기울기 

(2) f(0, x_0, u_0)는 t=0 에서 u(t)의 접선 기울기



미분 방정식의 해(solution)은 미분되기 전의 원식을 구하는 것이다. 현상을 기술 할 때 미분형(시간 변화율)이 용이하다. 실제로 측정의 기록은 시간상 변화율이다. 그로부터 찾아낸 원식이 미분 방정식의 해다. 대수적 해(analytic solution)을 구할 수 있으면 좋겠으나 어렵다. 변화율은 원식의 접선 기울기(tangential slope)이르모 이를 이용하여 원식의 모습을 계산해 낸다.



So we see using Euler method we can solve any general second order differential equation, as a system of two first order equations. And you can generalize this to third order equations, or fourth order equations. Or say, if you're doing the problem of planetary motions, you may have three second order equations, and you can write that as six first order equations. And to integrate that, you would do all six simultaneously.

[연습1]------------------------------------



[연습2]------------------------------------