아무나 하는 수학, 과학 & 라디오: 3월 2019

2019년 3월 31일 일요일

W2.2/11강 중첩의 원리(Principle of Superposition)

[커세라] 이과생을 위한 미분 방정식(Differential Equations for Engineers)

0주: 환영(Welcome)
W0.1 강좌 예고(Course Trailer)
W0.2~5 강좌 개요(Course Overview)
W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
(Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)

1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application: Compound interest)
W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application: Terminal Velocity)
W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application: RC Circuit)
W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)
W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)

2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)
W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)

W2.2/11강 중첩의 원리(Principle of Superposition)/동영상/영문자막

이번과 다음의 강의는 2차 선형 미분 방정식의 해를 구하기 위한 접근 방법(idea)을 소개한다.

첫번째 아이디어는 중첩의 원리(Principle of superposition)다. 2차 미분방정식이 2개의 해를 갖다고 하자. 이 두 해에 대해 각각 상수를 곱한 후 더하면(두 해의 중첩) 일반해(general solution)가 된다.

We have our second-order differential equation. It's linear in x, and it's homogeneous, meaning that the right-hand side is zero.

If you can find two solutions to this equation,

Then, you can form a general solution of this equation by multiplying each of these solutions by a constant and adding them.

This linear superposition of solutions is also a solution to the original differential equation, and this is the very simple proof of that.

I'll show you how to use this when we solve homogeneous linear differential equations, we'll need one more theoretical idea.

다음편 강의에서 두번째 아이디어(Wronskian)를 마져 공부하고 2차 선형 미분 방정식의 해를 구하기 위해 중첩의 원리가 어떻게 활용되는지 보자.

[연습]------------------------------------------------------------

W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)

[커세라] 이과생을 위한 미분 방정식(Differential Equations for Engineers)

0주: 환영(Welcome)
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W0.2~5 강좌 개요(Course Overview)
W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
(Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)

1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
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W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)

2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)

W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법
(Euler method for higher-order odes)/동영상/영문자막

미분방정식을 수식으로 풀기(analytical solution)는 아주 까다롭고 불가능할 때가 더 많다. 컴퓨터의 시대이니 만큼 수치해석으로 푸는 방법을 소개한다. 앞서 1차 미분 방정식에 적용 했던 오일러 방법(Euler method)을 일반화 하여 고차 미분 방정식의 풀이에 적용해 보자.

미분의 표시로 변수위에 점을 찍는 방식은 그 변수를 시간으로 미분 했다는 의미다. 이는 미적분을 발명한 뉴턴에 의해 고안되었다. x의 2차 미분은 독립변수 t와 종속변수 x, 역시 종속변수 x의 일차 미분인 x_dot의 함수다.

f_2dot = f(t, x, x_dot)

변수 x의 시간 t에대한 2차 미분 함수를 수치해석(numerical method)으로 푸는 방법을 알아보자. 아이디어는 간단하다. 예를 들어 2차 미분 함수를 두개의 1차 미분 함수로 취급하여 각각 일차 미분 방정식으로 풀자. 일차 미분식 x_dot을 새로운 변수 u라고 놓으면 2차 미분식은 u의 일차 미분식으로 표현 할 수 있다.

x_2dot = f(t, x, x_dot)
x_dot = u
u_dot = f(t, x, u)

뉴턴의 방식에 따르면 x를 위치(거리), u 를 속도가 된다. 이렇게 치환하면 x_2dot 은 u_dot 과 같다. 미분 방정식을 풀려면 초기조건이 필요하다. 두 일차 미분 방정식의 초기 조건은 다음과 같다.

x(t_0) = x_0
u(t_0) = u_0

뉴턴 식으로 치면 초기 위치 x_0, 초기 속도 u_0 인 셈이다. 이 두 u 와 x 에 대한 일차 미분 방정식을 각각(동시에) 오일러 방법으로 풀자.

The idea is that we need to solve both x and u simultaneously using the Euler method for the first order equation. [x 와 u를 독립적으로 취급하므로 동시에(simultaneously) 풀 수 있다]

두 미분방정식의 수치방법 풀이는 두개의 그래프를 각각 그려보면 쉽게 이해할 수 있다.

(1) t와 x의 관계 그래프로 1차미분 x_dot는 x(t)의 접선 기울기, x_dot(t)=u(t)
(2) t와 u의 관계 그래프로 1차미분 u_dot는 u(t)의 접선 기울기

초기 조건으로 t_0 = 0 일때 각각 초기 값을 x_0, u_0로 놓자.

(1) u_0 (x_dot(0)와 같다)는 t=0에서 x(t)의 접선 기울기

(2) f(0, x_0, u_0)는 t=0 에서 u(t)의 접선 기울기

미분 방정식의 해(solution)은 미분되기 전의 원식을 구하는 것이다. 현상을 기술 할 때 미분형(시간 변화율)이 용이하다. 실제로 측정의 기록은 시간상 변화율이다. 그로부터 찾아낸 원식이 미분 방정식의 해다. 대수적 해(analytic solution)을 구할 수 있으면 좋겠으나 어렵다. 변화율은 원식의 접선 기울기(tangential slope)이르모 이를 이용하여 원식의 모습을 계산해 낸다.

So we see using Euler method we can solve any general second order differential equation, as a system of two first order equations. And you can generalize this to third order equations, or fourth order equations. Or say, if you're doing the problem of planetary motions, you may have three second order equations, and you can write that as six first order equations. And to integrate that, you would do all six simultaneously.

[연습1]------------------------------------

[연습2]------------------------------------

2019년 3월 26일 화요일

W2 둘째주 강의개요:2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)

이번주에 2차 미분 방정식을 다뤄본다.

- 일반화된 오일러 방법을 배우게 될텐데 이는 선형 방정식을 푸는 수치해석법의 기본 개념이다.

- 중첩의 원리(The principle of superposition)와 론스키 행렬식(Wronskian)

- 단일 2차 상미분 방정식(Homogeneous second order ODE)을 배울텐데 지수함수 해(exponential solutions)와 삼각함수 해(sine and cosine solutions)를 모두 다룬다.

- 복합 방정식(inhomogeneous equation)과 아주 중요한 공진현상(phenomena of resonance)을 배운다.

- 2차 미분 방정식으로 표현되는 세가지 공학적 모형(engineering models)을 소개한다.
-- RLC electrical circuit(RLC 회로)
-- Oscillating mass on a spring(스프링에 메달린 질량의 진동)
-- Pendulum problem(진자운동)

W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)

W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)

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1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
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W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application: RC Circuit)

W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)

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W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application:RC Circuit)

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1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
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W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application:Compound interest)
W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application:Terminal Velocity)

W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application:RC Circuit)/동영상/영문자막

Application for prospective electrical engineers.

Circuit Diagram(회로의 구성):

- DC voltage(직류전원 배터리)
- Resistor & Capacitor(저항과 콘덴서)
- Switch(스위치의 역활),
> Goes to connect the battery -> Charge up the capacitor
(직류 배터리와 연결 콘덴서 충전)
> Cut the battery out of the circuit -> Discharge the capacitor
(배터리와 연결을 끊고 콘덴서 방전. 저항에서 에너지 소모)

콘덴서(capacitor)가 충전된후 콘덴서에 의해 좌우되는 회로에 흐르는 전류와 전압을 미분 방정식을 세워 풀어보자.

먼저 저항과 콘덴서의 전압특성을 알아보자.
- 저항: 저항 양단의 전압차는 저항에 흐르는 전류의 양 i에 의해 결정되는데 이 전류량은 저항값 R에 의해 제한된다(옴의 법칙).

V_r = i*R

- 콘덴서: 저항 양단의 전압 강하는 콘덴서 양단의 전압 강하와 같다. 콘덴서 양단의 전압은 전하량 q을 컨덴서 용량 C 으로 나눈 값이다(쿨롱의 법칙).

V_c = q/C

전류 i와 전하 q가 관계를 갖고 있다는 것이 분명하다. 전류는 시간에 대한 전하의 미분이다.

i = dq/dt ;컨덴서의 전하량 q의 변화에 주목하자. V_c 의 미분방정식을 유도할 것이다.

저항과 콘덴서의 관계를 세울수 있게되었다. 이로부터 얻어낸 미분식을 커초프 법칙(Kirchhoff's law)에 적용해보자.

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1. 스위치가 직류 배터리에 연결되었을 때(충전하는 동안)의 회로

커초프 법칙에 따라 배터리의 전압 E는 저항 양단의 전압 더하기 콘덴서 양단의 전압과 같다.

E = V_r + V_c

이 회로의 선형 미분 방정식을 유도해보자.

i = dq/dt = d(C*V_c)/dt = C * dV_c/dt

이 전류 i를 저항의 법칙에 대입하면,

V_r = iR = R*C*(dV_c/dt)

커초프 법칙에 대입하여 다음과 같은 선형 미분 방정식을 얻는다. (컨덴서 양단의 전압 V_c의 미분식 이다.)

R*C*(dV_c/dt) + V_c = E

dV_c/dt + V_c/(R*C) = E/(R*C)

이 선형 미분 방정식을 풀자. 스위치를 배터리로 연결하기 전까지 컨덴서 전압은 0볼트 였으므로 초기 조건은 V_c(0) = 0 이다.

V_c(t) = E(1-exp(-t/RC))

이렇게 얻은 RC 회로의 미분 방정식 해를 살펴보자. V_c(t)의 전압변화는,

t⟶0 일때,

exp(-t/RC) ⟶1 이므로 V_c(t)⟶0 다. (초기조건)

t⟶∞ 일때,

exp(-t/RC) ⟶0 이므로 V_c(t)⟶E 다. (만충전으로 컨덴서 양단 전압차 없음. 즉 전류흐름 없음)

t⟶RC 일때,

V_c ⟶ 0.632

(RC 회로의 시정수: 전기 회로에 갑자기 전압을 가했을 경우 전류는 점차 증가하여 마침내 일정한 값에 도달한다. 이 때의 증가의 비율을 나타내는 것으로, 정상값의 63.2％에 달할 때까지의 시간을 초로 표시한다. 전압을 제거했을 때도 이 반대가 성립된다.)

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2. 스위치가 직류 배터리에서 떨어졌을 때(방전하는 동안)의 회로

스위치가 배터리에서 떨어 졌으므로 회로에 공급된 전압 E = 0 다. 따라서 미분 방정식은 다음과 같다.

dV_c/dt + V_c/RC = 0

초기 조건은 컨덴서가 충전되어 있으므로 V_c(0) = E 다. 미분 방정식을 풀면,

V_c(t) = E*exp(-t/RC)

[연습]------------------------------------------------------

2019년 3월 25일 월요일

W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application:Terminal Velocity)

[커세라] 이과생을 위한 미분 방정식(Differential Equations for Engineers)

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W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
(Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)

1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
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W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application:Terminal Velocity)/동영상/영문자막

뉴턴의 운동 법칙을 따르는 물체의 운동을 미분 방정식으로 풀어보자. 중력이 작용하는 공간에서 아무런 영향을 받지 않고 떨어지는 자유낙하(Free-Fall)에 비해 스카이 다이버의 낙하에 바람의 영향은 무시할 수 없다.

힘을 다룰 때 작용하는 방향을 따지는 일은 매우 중요하다. 좌표체계를 세우고 그 방향을 정한다. 중력의 영향을 받는 공간의 낙하는 수직 방향의 좌표축 만을 고려하기로 하자. 높이 방향과 떨어지는 방향은 서로 반대다.

중력 가속도(등가속도 로써 상수 g⋍9.8 m/sec^2)를 받으며 떨어지는 물체에 바람의 영향을 고려하자. 떨어지는 물체가 받는 힘은 다음과 같다.

F = -mg - kV

자유 낙하는 등가속 운동이지만 바람의 저항으로 인해 이 운동은 등가속 운동이 아니다. 뉴튼의 법칙에 따라 가속 운동하는 물체가 받는 힘은 질량 곱하기 가속도다.

F= ma = m(dV/dt)

위의 두 힘은 낙하하는 물체에 작용하는 힘 이므로 갖게 놓아 속도에 관한 선형 1차 미분방정식을 마련하였다.

dV/dt + (k/m)*V = -g

이 미분 방정식을 풀어 등가속도 낙하운동을 하는 물체에 대하여 시간상 속도의 변화 V(t)를 구할 수 있다.

V(t) = (-mg/k)*(1-exp(-kt/m))

낙하는 물체의 가속 운동은 아주 특이점이 있는데 바람의 저항으로 인해 언잰가는 가속이 없는 시점이 올수 있다. 이를 평형 상태(Equilibrium)이라 한다.

dV/dt = 0

미분 방정식은,

(k/m)*V = -g

이때의 속도를 V_∞ 라 하자.

V_∞ = -mg/k

그나저나 속도가 음수? 속도와 가속도는 벡터로써 x 축과 반대 방향이라는 의미다.

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W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application:Compound interest)

미분 방정식의 풀이는 자연과학에서 뿐만아니라 우리 삶 구석구석 어디 에서나 마주치는 문제(궁금증)의 답을 찾는데 도움을 준다. 선형 일차 미분 방적식이 예금 계산(Compound interest)에 사용된 예를 보자. 풀이는 수학자나 컴퓨터 CAS(Computer Algebra System)에 맞긴다 해도 문제를 기술할 수 있어야 한다. 그리고 그 풀이를 해석하는 능력이 더욱 의미있는 일이다.

- 문제의 인지 후 목표설정(호기심과 관련 배경지식)
- 수학 방정식으로 기술(수학적 통찰)
- 풀이(도움을 받자. 아인슈타인 같은 천재도 그랬다는데...)
- 해석(전문성 및 또다른 의문)

시간이 흐른 후 예금액을 계산해 보고자 하는 것이 목표다. 예금액은 시간의 함수다.

S(t+Δt) = S(t) + (r*Δt)*S(t) + k*Δt

예금 총액에 영향을 줄 수 있는 요인은 S(t), 현재 예금액; r, 금리; k, 향후 입금액 그리고 예치기간 Δt 다. 총액을 예치 기간의 함수로 보고 이를 미분 형으로 바꿔 미분 방정식을 세워보자. 그리고 현재 예치금을 초기 조건으로 한다.

dS/dt = r*S(t) + k, S(0)=S_0

결국 선형 미분 방정식을 얻었다. 1차 선형 미분 방정식의 풀이는 이미 알고 있다. 그런데 예금 총액에 영향을 미치는 요소가 예치기간 뿐일까? 은행은 손해보지 않기 위해 금리를 바꾼다. 만일 금리가 0이라고 한다면 미분 방정식으로 푼 총액의 계산이 쉽지 않다. 금리 r➝0 이 됨에따라 극한이 부정형이 되어 버린다. 도함수를 활용하여 부정형의 극한을 구하는 기법은 로피탈의 정리(l'Hospital's rule)로 잘 알려져 있다.

만일 금리가 0 이 되면 미래 찾게될 금액은 현재 예치금 S_0 에 매년 입금액 k에 기간 t의 곱한 값을 합한 것이다.

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2019년 3월 24일 일요일

W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)

W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)

표준 선형 일차 미분방정식을 풀어보자. 앞서 유도한 풀이 공식을 이용 하였다.

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[연습]

2019년 3월 21일 목요일

W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)

Meaning "Linear" in the y-variable.

- We have (dy/dx) is now multiplied anywhere, but its not multiplied by y.
- We have a 'y' multiplied by any function of x.
- Then we have just a function of x on the right-hand side.

The standard form of linear first-order ODE.

May NOT be separable.

If you pull the (p(x)y) term on the right-hand side, you may not be able to factor out the y and separate it.

Some first-order linear ODEs are separable but the general one is not. Luckily, there's analytical method to solve all linear first-order ODEs.

"The idea" is multiply it by something that's called an integrating factor.

Multiply by integrating factor μ(x), function of x, to both sides of 'Standard-form' by μ(x), we can find solution of standard ODE by direct integration.