0주: 환영(Welcome)
W0.1 강좌 예고(Course Trailer)
W0.2~5 강좌 개요(Course Overview)
W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
(Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)
1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application: Compound interest)
W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application: Terminal Velocity)
W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application: RC Circuit)
W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)
W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)
2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)
W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)
W2.2/11강 중첩의 원리(Principle of Superposition)
W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)
W2.4/보강1 복소수(complex numbers)
W2.5/13강 일원 2차 상미분 방정식(Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.6/14강 예제1: 2개의 실근(Case1: Distinct Real Roots)
W2.7/15강 예제2A: 켤레 복소수 근 A(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part A))
W2.8/16강 예제2B: 켤레 복소수 근 B(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part B))
W2.9/17강 예제3A: 중근 A(Case 3: Repeated Roots (Part A))
W2.10/18강 예제3B: 중근 B(Case 3: Repeated Roots (Part B))
W2.11 연습문제(Practice quiz: Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.12/19강 이원 2차 상미분 방정식(Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.13/20강 지수함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Exponential func.)
W2.14/21강 삼각함수꼴 이원항(A)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part A)
W2.15/22강 삼각함수꼴 이원항(B)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part B)
W2.16/23강 다항함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Polynomials)
W2.17/24강 공진현상(Resonance)
W2.18 연습문제(Practice quiz: Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.19/보강2 차원해석(Dimensional Analysis: Nondimensionalization)
W2.20/25강 응용: RLC회로(Application: RLC Circuit)
W2.21/26강 응용: 스프링에 달린 질량(Application: mass on a spring)
W2.22/27강 응용: 진자운동(Application: Pendulum)
W2.23/28강 응용: 감쇄공진(Application: Damped Resonance)
W2.24 평가문제(Week-2 Graded Quiz)
3주: 라플라스 변환과 급수해(Laplace Transform and Series Solution)
W3.1/29강 라플라스 변환의 정의(Definition of Laplace Transform)
W3.2/30강 상미분 방정식의 라플라스 변환(Laplace transform of a const.coeff.ode)
W3.3/31강 초기값 문제의 해(Solution of an Initial Value Problem)
W3.4 연습문제:라플라스 변환(Practice Quiz: Laplace Transform)
W3.5/32강 단위 계단함수(The heaviside step functions) /동영상/영문자막
라플라스 변환 기법(Laplace transform technique)의 장점은 우변의 이원항(inhomogeneous term)이 불연속 함수일 경우에도 미분방정식을 풀 수 있게 한다는 점이다. 불연속 함수의 예로 계단함수(step function) 혹은 임펄스 함수(impulse function)등이 있으며 모형화에 자주 접하는 함수다.
계산 함수(Heaviside step function)는 그림으로 보면 매우 단순하다. 함수 f(t)가 t=c에서 값이 급격히 변한다. 이때 함수가 두개의 값을 갖지 않도록 정의한다. 이 계단함수는 t의 함수 이지만 c에서 특이점을 갖는다.
계단함수에 대해 (미분 방정식을 풀기위하여) 라플라스 변환하면 다음과 같다. 계단함수의 라플라스 변환의 결과는 (계단의 불연속 흔적이 사라진) 연속함수가 되었다.
계단함수는 함수 f(t)를 t의 축으로 c 만큼 평행 이동 시킬 때 이용된다. 평행이동된 이전 구간(t<c)을 0으로 메꿀때 사용한다.
이원항에 불연속 함수로 묘사되었을 때 계단 함수는 매우 유용하게 사용된다. 앞의 예에서 보듯이 불연속인 계단함수를 라플라스 변환하면 연속함수가된다.
다음과 같은 함수 f(t)는 불연속으로 t=c에서 각각의 함수로 기술되었다.
경계를 두고 두 별개로 기술된 함수가 이원항에 존재할 경우 문제를 풀기 위해 라플라스 변환이 용이하지 않다. 계단함수 u_c(t)를 적용하여 이 함수를 한개의 조각난 연속 함수(piece-wise continuous function)로 기술 할 수 있다.
이 조각난 연속함수는 라플라스 변환이 가능하고 미분 방정식의 풀이도 가능하다.
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