0주: 환영(Welcome)
W0.1 강좌 예고(Course Trailer)
W0.2~5 강좌 개요(Course Overview)
W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
(Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)
1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application: Compound interest)
W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application: Terminal Velocity)
W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application: RC Circuit)
W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)
W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)
2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)
W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)
W2.2/11강 중첩의 원리(Principle of Superposition)
W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)
W2.4/보강1 복소수(complex numbers)/동영상/영문자막
2차 상미분 방정식을 다룰려면 복소수에 대한 이해가 필요하다.
우리는 실세계에 살고 있지만 가상의 세계를 하나 더 두면 문제 풀이가 쉬워질 수도 있다. 공학자들은 가상세계를 뚫고 실생활에 쓸모있는 물건을 설계해 낸다.
- 허수(imaginary numbers): 제곱이 음수가 되는 수. 기호 i (또는 j)로 표기
i = √(-1)
i^2 = -1
(-i)^2 = -1
- 복소수(complex numbers): 실수 더하기 i의 실수배 허수. 기호 z로 표기
z = x + iy 단, x 와 y는 실수(real number)
- 켤레 복소수(complex conjugate): 복소수의 허수부가 음수인 짝. 기호는 z_bar 로 표기
z_bar = x - iy
- 복소수에서 실수부를 취하는 함수,
Re{z} = (z+z_bar)/2 = x
- 허수부만 취하는 함수,
Im{z} = (z-z_bar)/2i = y
z1 = a + bi
z2 = c + di
a,b,c,d: real number,
i: unit imaginary
z1 * z2 = (a*c - b*d) + (cb+ad)i
- 켤레 복소수의 곱셈은 실수
z * z_bar = x^2 + y^2
- 허수의 거듭제곱(주의)
i^2 = -1
i^3 = -i
i^4 = +1
두 복소수 z와 w, 그리고 그 켤레짝 z_bar와 w_bar에 대하여,
z/w = z*w_bar/w*w_bar
- 복소수의 등가연산(==)은 두 실수에 대한 등가조건을 만족해야 함
if (z==w)
then
Re{z} = Re{w}
Im{w} = Im{w}
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- 복소수 지수함수: 미분 방정식의 풀이에서 가장 중요한 함수
exp(iθ)
- 테일러 급수(Taylor series):
exp(iθ) = 1 + (iθ) + (iθ)^2/2! + (iθ)^3/3! + (iθ)^4/4! + .....
= (1 - θ^2/2! + θ^4/4! - ......) + i(θ - θ^3/3! + θ^5/5! + ......)
= cos(θ) + i*sin(θ)
exp(iθ) = cos(θ) + i*sin(θ)
ln(cos(θ) + i*sin(θ)) = iθ
ln(cos(θ) + i*sin(θ)) = iθ
- 오일러 항등식(Euler identity):[공학도라면 티셔츠에 새겨놓아도 좋다]
exp(iπ) + 1 = 0
proof) exp(iπ) = cos(π) + isin(π) = -1
- 기하해석: 복소수의 실수부와 허수부가 직교관계에 있다고 하면,
Re{z} ⊥ Im{z}
z = x + i*y
극좌표(r, θ) vs 직교 좌표(x,y)의 관계
x = r*cos(θ)
y = r*sin(θ)
z = r(cos(θ) + i*sin(θ))
= r*exp(iθ)
------------------------------------------------------------
Don't be afraid of complex numbers. It's very useful.
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