0주: 환영(Welcome)
W0.1 강좌 예고(Course Trailer)
W0.2~5 강좌 개요(Course Overview)
W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
(Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)
1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application: Compound interest)
W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application: Terminal Velocity)
W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application: RC Circuit)
W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)
W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)
2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)
W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)
W2.2/11강 중첩의 원리(Principle of Superposition)
W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)
W2.4/보강1 복소수(complex numbers)
W2.5/13강 일원 2차 상미분 방정식
(Homogeneous 2nd-order ODEs with constant coefficients)
W2.6/14강 예제1: 2개의 실근(Case1: Distinct Real Roots)
W2.7/15강 예제2A: 켤레 복소수 근 A(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part A))
W2.8/16강 예제2B: 켤레 복소수 근 B(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part B))
W2.9/17강 예제3A: 중근 A(Case 3: Repeated Roots (Part A))
W2.10/18강 예제3B: 중근 B(Case 3: Repeated Roots (Part B))
W2.11 연습문제(Practice quiz: Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.12/19강 이원 2차 상미분 방정식(Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.13/20강 지수함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Exponential func.)
W2.14/21강 삼각함수꼴 이원항(A)(Inhomogeneous term:sine or cosine)
W2.15/22강 삼각함수꼴 이원항(B)(Inhomogeneous term:sine or cosine)/동영상/영문자막
사인과 코사인 함수가 이원항인 2차 상미분 방정식을 푸는 또다른 방법을 소개한다. 앞서 사인고 코사인이 합쳐진 해를 가정하여 특수해를 구했다. 이때 구해야할 상수가 두개였다. 좀더 쉬운 방법으로 오일러 공식을 이용한다. 지수부가 허수인 지수함수는 사인과 코사인의 복소수로 변환된다. 이 공식은 사인과 코사인 함수가 이원항인 2차 상미분 방정식을 푸는데 필요한 사인과 코사인의 합을 가지고 있을 뿐만 아니라 미분해도 원형을 유지하는, 미적분 방정식을 푸는데 아주 유리한 지수함수다.
다음과 같은 미분 방정식의 해를 구해보자.
오른편에 사인함수가 있다. 오일러 등가공식을 활용하여 미분변수 x 를 복소수로 나타내면,
예제의 미분 방정식을 복소수 미분방정식으로 표현하면 다음과 같다. 단, x는 복소수 z의 허수부라는 점을 기억해두자.
이제 미분해서 다루기 용이한 지수함수로 특수해를 가설하여 풀어보자.
미분 방정식은 다음과 같이 1개의 미지수를 갖는다.
다만 미지수가 복소수다. 분모에 허수를 두는 것은 좋지 않다. 당장 실수부와 호수부를 분리해 낼 수도 없다. 따라서 분모에 켤레 복소수를 곱하여 유리화 하자.
원 미분 방정식의 특수해 x는 복소수 해의 허수부였다.
오일러 (등가)공식을 이용한 풀이는 단지 대수적 기교가 필요하지만 쉽다(구해야할 미지수가 줄었다!).
[연습]----------------------------------------------------------------------
댓글 없음:
댓글 쓰기