W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application:RC Circuit)

[커세라] 이과생을 위한 미분 방정식(Differential Equations for Engineers)

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W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application:RC Circuit)/동영상/영문자막



Application for prospective electrical engineers.

Circuit Diagram(회로의 구성):

- DC voltage(직류전원 배터리)
- Resistor & Capacitor(저항과 콘덴서)
- Switch(스위치의 역활),
    > Goes to connect the battery -> Charge up the capacitor
       (직류 배터리와 연결 콘덴서 충전)
    > Cut the battery out of the circuit -> Discharge the capacitor
       (배터리와 연결을 끊고 콘덴서 방전. 저항에서 에너지 소모)

콘덴서(capacitor)가 충전된후 콘덴서에 의해 좌우되는 회로에 흐르는 전류와 전압을 미분 방정식을 세워 풀어보자.

먼저 저항과 콘덴서의 전압특성을 알아보자.
- 저항: 저항 양단의 전압차는 저항에 흐르는 전류의 양 i에 의해 결정되는데 이 전류량은 저항값 R에 의해 제한된다(옴의 법칙).

V_r = i*R

- 콘덴서: 저항 양단의 전압 강하는 콘덴서 양단의 전압 강하와 같다. 콘덴서 양단의 전압은 전하량 q을 컨덴서 용량 C 으로 나눈 값이다(쿨롱의 법칙).

V_c = q/C

전류 i와 전하 q가 관계를 갖고 있다는 것이 분명하다. 전류는 시간에 대한 전하의 미분이다.

i = dq/dt ;컨덴서의 전하량 q의 변화에 주목하자. V_c 의 미분방정식을 유도할 것이다.

저항과 콘덴서의 관계를 세울수 있게되었다. 이로부터 얻어낸 미분식을 커초프 법칙(Kirchhoff's law)에 적용해보자.

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1. 스위치가 직류 배터리에 연결되었을 때(충전하는 동안)의 회로

커초프 법칙에 따라 배터리의 전압 E는 저항 양단의 전압 더하기 콘덴서 양단의 전압과 같다.

E = V_r + V_c

이 회로의 선형 미분 방정식을 유도해보자.

i = dq/dt = d(C*V_c)/dt = C * dV_c/dt

이 전류 i를 저항의 법칙에 대입하면,

V_r = iR = R*C*(dV_c/dt)

커초프 법칙에 대입하여 다음과 같은 선형 미분 방정식을 얻는다. (컨덴서 양단의 전압 V_c의 미분식 이다.)

R*C*(dV_c/dt) + V_c = E

dV_c/dt + V_c/(R*C) = E/(R*C)

이 선형 미분 방정식을 풀자. 스위치를 배터리로 연결하기 전까지 컨덴서 전압은 0볼트 였으므로 초기 조건은 V_c(0) = 0 이다.

V_c(t) = E(1-exp(-t/RC))

이렇게 얻은 RC 회로의 미분 방정식 해를 살펴보자. V_c(t)의 전압변화는,

t⟶0 일때,

exp(-t/RC) ⟶1 이므로 V_c(t)⟶0 다. (초기조건)

t⟶∞ 일때,

exp(-t/RC) ⟶0 이므로 V_c(t)⟶E 다. (만충전으로 컨덴서 양단 전압차 없음. 즉 전류흐름 없음)

t⟶RC 일때,

V_c ⟶ 0.632

(RC 회로의 시정수: 전기 회로에 갑자기 전압을 가했을 경우 전류는 점차 증가하여 마침내 일정한 값에 도달한다. 이 때의 증가의 비율을 나타내는 것으로, 정상값의 63.2％에 달할 때까지의 시간을 초로 표시한다. 전압을 제거했을 때도 이 반대가 성립된다.)

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2. 스위치가 직류 배터리에서 떨어졌을 때(방전하는 동안)의 회로

스위치가 배터리에서 떨어 졌으므로 회로에 공급된 전압 E = 0 다. 따라서 미분 방정식은 다음과 같다.

 dV_c/dt + V_c/RC = 0

초기 조건은 컨덴서가 충전되어 있으므로 V_c(0) = E 다. 미분 방정식을 풀면,

V_c(t) = E*exp(-t/RC)

[연습]------------------------------------------------------