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2018년 11월 10일 토요일

[커세라]이과생을 위한 행렬 대수(Matrix Algebra for Engineers)

[커세라]이과생을 위한 행렬 대수(Matrix Algebra for Engineers)

https://www.coursera.org/learn/matrix-algebra-engineers/home/welcome

고교 수학과정에서 행렬이 빠졌습니다. 이유야 있겠지만 가장 아쉬운 부분이죠. 미적분과 벡터만 가지고는 상대론, 전자기학, 입자물리를 한발짝 더 이해하는데 어려움이 있습니다. 첨자가 들어간 수식을 많이 보게 되는데 전부 행렬과 선형 대수라는 수학 분야를 알아야 이해될 수 있습니다. 그래서 커세라(Coursera)의 강좌를 보면서 행렬에 대해 더듬어 보기로 합니다. 이 과제는 총 4주짜리 강좌 입니다. 홍콩 대학교의 제프 챈스노프 교수님이 진행 합니다.

행렬(Matrics)은 모든 이과생들이 갖춰야 할 필수 항목입니다. 행렬은 대학 2학년 과정에서 선형 대수(Linear Algebra)와 함께 배우는데 이 강좌는 행렬에 집중 합니다. 보통 선수과목으로 미적분을 지정합니다. 하지만 미적분과 미분 방정식이 직접 적용되지는 않습니다. 다만 미적분의 선수과정(pre-Calculus)이 필요하죠. 즉, 각종 초월 함수들, 일테면 지수 및 로그 함수, 삼각함수를 알고 시작 해야 합니다.

이 강좌에서 요구하는 기초사항을 스스로 시험해 보고 싶다면 아래 문제들을 풀어 보세요.
https://www.coursera.org/learn/matrix-algebra-engineers/quiz/DjhX2/diagnostic-quiz

이 강좌의 교재는 아래의 링크에서 다운 받으세요.

http://www.math.ust.hk/~machas/matrix-algebra-for-engineers.pdf

[진도표]

1주: 행렬(Matrics)
W1.0 환영(Welcome)
W1.1 첫째주 강의 안내(Intro to Week One)
W1.2 행렬의 정의(Matrix Definitions)
W1.3 행렬의 덧셈과 곱셈(Addition and Multiplication of Matrices)
W1.4 특수 행렬(Special Matrix)
W1.5 연습문제:행렬의 정의(Practice Quiz:Definition of Matrices)
W1.6 전치 행렬(Transpose Matrix)
W1.7 행렬의 내적과 외적( Inner and Outer Products)
W1.8 역행렬(Inverse Matrix)
W1.9 연습문제:전치행렬과 역행렬(Practice Quiz:Transpose and Inverse Matrix)
W1.10 직교행렬(Orthogonal Matrix)
W1.11 직교행렬의 예(Orthogonal Matrices Examples)
W1.12 교환 행렬(Permutation Matrix)
W1.13 연습문제: 직교행렬(Practice Quiz: Orthogonal Matrix)
W1.14 첫째주 평가문제(Week One Quiz)

2주: 선형 방정식 시스템(Systems of Linear Equations)
W2.1 둘째 주 강의안내(Intro. to Week Two)
W2.2 가우스 소거법(Gaussian elimination)
W2.3 기약행사다리꼴(RREF: Reduced Row Echelon Form)
W2.4 역행렬 구하기(Computing Inverses)
W2.5 연습문제:가우스 소거법(Practice Quiz:Gaussian Elimination)
W2.6 Elementary Matrices
W2.7 LU 분해(LU Decomposition)
W2.8 선형 연립방정식 풀이(Solving LUx=b)
W2.9 연습문제:LU 분해(Practice Quiz: LU Decomposition)
W2.10 둘째주 평가문제(Week Two Quiz)

3주: 벡터 공간(Vector Space)
W3.1 셋째주 강의안내(Intro. to Week Three)
W3.2 벡터 공간(Vector Spaces)
W3.3 선형독립(Linear Independence)
W3.4 선형생성, 기저 그리고 차원(Span, Basis and Dimension)
W3.5 연습문제:벡터공간(Practice Quiz:Vector Space Definition)
W3.6 그람-슈미트 알고리즘(Gram-Schmidt Process)
W3.7 그람-슈미트 알고리즘 예제(Gram-Schmidt Process Example)
W3.8 연습문제:그람-슈미트 알고리즘(Practice Quiz:Gram-Schmidt Process)
W3.9 영 공간(Null Space)
W3.10 영 공간 활용(Application of the null space)
W3.11 열 공간(Column Space)
W3.12 행 공간, 좌측 영 공간 그리고 랭크(Row Space, Left Null Space and Rank)
W3.13 연습문제:기초 하위 공간들(Practice Quiz:Fundamental Subspace)
W3.14 정사영(Orthogonal Projection)
W3.15 최소 자승 문제(Least-Squares Problem)
W3.16 최소-자승 문제 풀이(Solution of the Least-Squares Problem)
W3.17 연습문제:정사영(Practice Quiz: Orthogonal Projection)
W3.18 셋째주 평가문제(Week Three Quiz)

4주: 고유치와 고유 벡터(Eigenvalues and Eigenvectors)
W4.1 넷째주 강의 안내(Introduction to Week Four)
W4.2 2대2, 3대3 행렬식(Two-by-two and Three-by-three determinants)
W4.3 라플라스 전개(Laplace Expansion)
W4.4 라이프니쯔 공식(Leibniz Formula)
W4.5 행렬식의 속성(Properties of Determinants)
W4.6 연습문제:행렬식(Practice Quiz:Determinants)
W4.7 고유치 문제(Eigenvalue Problem)
W4.8 고유치 및 고유 벡터 구하기 1(Finding Eigenvalues and Eigenvectors 1)
W4.9 고유치 및 고유 벡터 구하기 2(Finding Eigenvalues and Eigenvectors 2)
W4.10 연습문제:고유치 문제(Practice Quiz:Eigenvalue Problem)
W4.11 행렬 대각화(Matrix Diagonalization)
W4.12 행렬 대각화 예제(Matrix Diagonalization Example)
W4.13 행렬의 거듭제곱(Power of a Matrix)
W4.14 행렬의 거듭제곱 예제(Power of a Matrix Example)
W4.15 연습문제:행렬 대각화(Practice Quiz: Matrix Diagonalization)
W4.16 넷째주 평가문제(Week Four Quiz)

W5 "이과생을 위한 행렬 대수(Matrix Algebra foe Engineers)" 수료/안녕(Farewell)

2018년 11월 6일 화요일

V3.8 로렌스 크라우스와 인터뷰(Lawrence Krauss) #3

V3.7 로렌스 크라우스와 인터뷰(Lawrence Krauss) #2

V3.6 로렌스 크라우스와 인터뷰(Lawrence Krauss) #1

[에드엑스 강좌] ANUx -ASTRO4x Cosmology (우주론)

제1부. (요약)공간과 시간(Space and Time)
제2부. (요약)우리 우주의 역학과 기하학(Geometry and Dynamics of our universe)
제3부. 인플레이션(Inflation)
V3.1 세가지 수수께끼(Three Mystery)
V3.2 단순성 과 대칭성(Simplicity and Symmetry)
V3.3 인플레이션(Inflation)
V3.4 수수께끼의 답 찾기(Solving the Mysteries)
V3.5 인플레이션의 끝(End of Inflation)
V3.5b 연대기(Timescales)

V3.6 로렌스 크라우스와 인터뷰(Lawrence Krauss) #1/동영상/영문자막

[요약]

인플레이션 이론은 얼마나 신뢰할 만 할까? 우주배경 초단파 복사를 통해 관측 할 수 있는 우주의 요동은 단열적이며 가우시안을 따를 것으로 예상한다, 하지만 인플레이션 이론은 많은 독립 변수를 가지고 있있기 때문에 다른 형태를 갖는 요동이 있을 수도기 때문에 현재 관측되는 우주배경 볼사의 주름이 꼭 인플레이션의 증거라고 말하기는 곤란하다. 좀더 확실히 하려면 인플레이션이 초단파 배경에 편광(polarization)을 남겼을 것이라는 점이다. 2014년에 BICEP2 실험을 통해 이런 편광을 관측했다고 주장하였다. 아쉽게도 그때 관측된 편광은 우리 은하내의 먼지 입자에 의한 전면 복사(foreground radiation)를 오인한 것으로 보인다.

게이지 장(gauge field)과 자발적 대칭 깨짐(spontaneous symmetry breaking)의 기초이론은 애초에 입자 물리학에서 잉태 되었고 전자기력과 약한 핵력의 통합을 아주 잘 설명 한다. 약력은 W와 Z 보존(boson)이 가진 힘으로 많은 연구가 이뤄졌다. 이 이론은 최근에 발견된 힉스 보존을 예측하였다. (이 이론에서) 인플레이션을 일으킬 것으로 예측한 에너지는 관측치와 잘 합치한다.

다른 한 편 힉스 장(Higgs field)은 의외로 에너지를 가지지 않는 것으로 보이며 그로 인해 지수적 팽창을 이끌지 못했을 것이다. 전기약력(the electroweak force, 애초에 전자기력과 약력은 통합되어 있었다.)의 분리가 워낙 급격히 이뤄 졌기 때문에 인플레이션 같은 급격한 팽창에 기여할 수 없었다. (말하자면 우주가 가진공에 묶여 있을 새가 없었다.)

[참고]
1. 게이지 장(gauge field)
2. Gauge Theory
3. Geometry of Gauge Field: 보는 것 믿는 것이라고 하지만 볼 수 없는 것 보자고 한다.
4. Electroweak Symmetry

만일 자연의 (네가지) 힘들이 현재처럼 분리된 모습이라고 인정 하려면 그 힘들이 통합된 상태에서 (이론을) 변경하지 않는 한 에너지를 갖지 않는다. 이 변경(초대칭, super symmetry)은 현재 강입자 충돌기(Large Hardron Collider)에서 실험중인 예측이다. 아직까지 이에대한 증거가 나오진 않았다. 그리고 사실 대부분(전부는 아니지만) 가능성들이 제거 되었다. LHC가 가동을 재개하면 거대 대칭의 징조를 찾는데 실패 한다면 이 이론은 위기에 처할 것이다.

[참고]
* 초대칭[1],[2] (Super-Symmetry)

또다른 문제는 인플레이션이 일어났던 정확한 기간을 알아내려면 멕시코 모자의 모양을 세밀하게 조정할 수 있어야 한다. 이를 위한 적절한 이론적 근거는 없으므로 자료를 끼워 맞춰야 할 것이다.

[참조]
* 빅뱅 우주론에서 가설, 보완 가설(인플레이션)
* 플랑크 시간: 플랑크 단위의 일종. 빛이 플랑크 길이를 이동하는 데 걸리는 시간으로 물리적으로 의미가 있는 최소 시간을 뜻한다. 빅뱅 후 물리 법칙이 성립하는 최초의 시간이기도 한다. 중력은 우주의 나이가 플랑크 시간을 넘길 때 생긴 것으로 여겨진다.

[인터뷰]

이 인터뷰 동영상은 '인플레이션의 강력한 증거로 여겨지는 우주 초단파 배경(복사)의 편광의 특정한 방향으로 편광됨을 관측 했다고 주장하는 BICEP2의 관측'에 관해 로런스씨와의 대화를 담고 있다.

In this video, Lawrence refers to the BICEP2 claim to have detected a particular pattern in the polarisation of the microwave background that would be strong evidence for inflation.

After we filmed this clip (late 2014), the BICEP2 result was called into question. It is clear that the polarization signal was detected, but this could be caused either by inflation in the early universe, or by dust in our own galaxy. The BICEP2 team initially believed that their signal was much too strong to be explained by dust. However, they only had data at one frequency, which made it impossible for them to disentangle the effects of dust and inflation.

The European Space Agency's Planck spacecraft was less sensitive than BICEP2 on these small scales, but obtained data at many different wavelengths and hence can distinguish between dust and inflation effects. And the Planck scientists announced that the dust signal in the region observed by BICEP2 was much stronger than thought, and could explain the whole detection.

The two teams then carried out a joint analysis of both sets of data, and in February 2015 released their conclusions:

ESA Press Release

Preprint of joint paper

They found that the signal found by BICEP2 is real, but could be produced by dust. So the claim that the proof for inflation had been found has been withdrawn.

This does not rule out the presence of gravity waves caused by inflation - it just places an upper limit on how strong they can be. Future observations, combining the high signal-to-noise ratio of the BICEP2 results with multi-frequency data should greatly improve on the sensitivity of current observations, and may yet provide evidence for inflation.

[LQ3.6]------------------------------------------------------
Which of the following is the most robust prediction of the inflation theory?

a) A particular spectrum of primordial fluctuations
b) The Higgs Boson
c] Particular curved polarization patterns in the microwave background
d) A neutrino background

Explanation

The polarization pattern is the most robust prediction. The fluctuation spectrum is also predicted but you can get different predictions for this depending on the details of your inflation model.

* 'Direct evidence of big bang inflation', Sky & Telescope, Mar., 2014
https://www.skyandtelescope.com/astronomy-news/direct-evidence-of-big-bang-inflation/

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V3.5b 연대기(Timescales)

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