아무나 하는 수학, 과학 & 라디오: W4.2 2대2, 3대3 행렬식(Two-by-two and Three-by-three determinants)

[커세라] 이과생을 위한 행렬 대수

1주: 행렬(Matrics)
W1.1 첫째주 강의 안내(Intro to Week One)
W1.5 연습문제:행렬의 정의(Practice Quiz:Definition of Matrices)
W1.9 연습문제:전치행렬과 역행렬(Practice Quiz:Transpose and Inverse Matrix)
W1.13 연습문제:직교행렬(Practice Quiz: Orthogonal Matrix)
W1.14 첫째주 평가문제(Week One Quiz)

2주: 선형 방정식 시스템(Systems of Linear Equations)
W2.1 둘째 주 강의안내(Intro. to Week Two)
W2.3 기약행사다리꼴(RREF: Reduced Row Echelon Form)
W2.5 연습문제:가우스 소거법(Practice Quiz:Gaussian Elimination)
W2.9 연습문제:LU 분해(Practice Quiz: LU Decomposition)
W2.10 둘째주 평가문제(Week Two Quiz)

3주: 벡터 공간(Vector Space)
W3.1 셋째주 강의안내(Intro. to Week Three)
W3.5 연습문제:벡터공간(Practice Quiz:Vector Space Definition)
W3.8 연습문제:그람-슈미트 알고리즘(Practice Quiz:Gram-Schmidt Process)
W3.13 연습문제:기초 하위 공간들(Practice Quiz:Fundamental Subspace)
W3.17 연습문제:정사영(Practice Quiz: Orthogonal Projection)
W3.18 셋째주 평가문제(Week Three Quiz)

4주: 고유치와 고유 벡터(Eigenvalues and Eigenvectors)
W4.1 넷째주 강의 안내(Introduction to Week Four)

W4.2 2대2, 3대3 행렬식(Two-by-two and Three-by-three determinants)/동영상/영문자막

'Determinant'를 우리말로 '행렬식'이라고 했다. 소위 '식'이라 하면 적어도 한개 이상의 변수가 포함된 곱의 항들이 덧셈으로 결합되어 특정 값을 갖도록 정의된 '수학식'을 떠올린다. 그런데 커다란 괄호에 상하 좌우로 변수와 상수를 배열해 놓은 행렬표기에서 '식'을 나타냈었다면 무슨 의미인가.

행렬은 단지 숫자와 변수의 배열 이상의 의미를 갖는다. 사전에 정의된 의미를 가져오면,

행렬식(行列式, 영어: determinant)은 정사각행렬에 수를 대응시키는 함수의 하나이다. 대략, 정사각 행렬이 나타내는 선형 변환이 부피를 확대시키는 정도를 나타낸다.

'행렬식'은 행렬로부터 다항식을 끌어 낼 수 있으며 상수 행렬이 가져야 할 값이다. 상하좌우 배열로 표시 되었지만 정의에 따라 일종의 다항식 혹은 값의 또다른 표현 법이다. 그럼 왜 행렬이라는 이상한 표기법이 필요 했을까? 그 답은 늘 그렇듯 '문제의 기술과 그 풀이가 용이하기' 때문이다. 행렬을 알지 못하면 오히려 이 무슨 엉뚱한가 싶지만 수월하다니 그렇다고 치자. 문제라면 '수월한' 표기 이면에 더 많은 '의미'를 담고 있다는 점 일 것이다. '수학'은 늘 그랬듯이 고도의 추상성을 가진 언어다.

앞서 강의에서 봤지만 선형 시스템(연립 방정식)을 행렬로 표기하면 풀이가 수월하다. 그외에도 여러 쓰임새가 있다. 그런데 행렬은 쓰임새(대수식에 활용)가 있으려면 되려면 역행렬이 존재 해야 한다. 곱셈의 역원(inversion)이 있어야 등호로 결합된 '식'을 풀기 위해 이항이 가능할 것이 아닌가. 곱셈의 역원은 그 값의 나누기로 간단하다. 하지만 행렬의 경우 역행렬이 존재하지 않을 수도 있다. 역행렬(inversion matrix)이 존재하려면 바로 '행렬식'이 0이 아니어야 한다. 따라서 '행렬식'은 아주 중요한 의미를 갖는다. 행렬 이라는 수학적 언어가 아무말 대잔치에서 의미를 가진 문장이 될 최소 조건인 셈이다.

'행렬식'을 가지려면 반드시 정방 행렬(square matrix)이어야 한다. 그리고 2대2 혹은 3대3 정도의 정방 행렬은 행렬식의 계산은 어렵지 않다. 그 이상을 넘어가면 계산하기 어렵다. 똑똑한 사람들은 이런 난감함을 그냥 놔둘리 없다. 앞으로 규모가 큰 행렬의 행렬식 계산법을 배워보기로 한다.

연습1: