2018년 12월 1일 토요일

W3.12 행 공간, 좌측 영 공간 그리고 랭크(Row Space, Left Null Space and Rank)

[커세라] 이과생을 위한 행렬 대수

1주: 행렬(Matrics)
    W1.1 첫째주 강의 안내(Intro to Week One)
    W1.5 연습문제:행렬의 정의(Practice Quiz:Definition of Matrices)
    W1.9 연습문제:전치행렬과 역행렬(Practice Quiz:Transpose and Inverse Matrix)
    W1.13 연습문제:직교행렬(Practice Quiz: Orthogonal Matrix)
    W1.14 첫째주 평가문제(Week One Quiz)

2주: 선형 방정식 시스템(Systems of Linear Equations)
    W2.1 둘째 주 강의안내(Intro. to Week Two)
    W2.3 기약행사다리꼴(RREF: Reduced Row Echelon Form)
    W2.5 연습문제:가우스 소거법(Practice Quiz:Gaussian Elimination)
    W2.9 연습문제:LU 분해(Practice Quiz: LU Decomposition)
    W2.10 둘째주 평가문제(Week Two Quiz)

3주: 벡터 공간(Vector Space)/이 강의를 수강하는 이유
    W3.1 셋째주 강의안내(Intro. to Week Three)
    W3.2 벡터 공간(Vector Spaces)
    W3.3 선형독립(Linear Independence)
    W3.4 선형생성, 기저 그리고 차원(Span, Basis and Dimension)
    W3.5 연습문제:벡터공간(Practice Quiz:Vector Space Definition)
    W3.6 그람-슈미트 알고리즘(Gram-Schmidt Process)
    W3.7 그람-슈미트 알고리즘 예제(Gram-Schmidt Process Example)
    W3.8 연습문제:그람-슈미트 알고리즘(Practice Quiz:Gram-Schmidt Process)
    W3.9 영 공간(Null Space)
    W3.10 영 공간 활용(Application of the null space)
    W3.11 열 공간(Column Space)

W3.12 행 공간, 좌측 영 공간 그리고 랭크(Row Space, Left Null Space and Rank)/동영상/영문자막


[0:09] 기초 하위공간의 논의를 마무리 짖도록 한다. 앞서 다뤘던 하위 벡터 공간에 대해 살펴보고 추가하여 두가지 벡터 공간을 더 살펴보기로 한다.

행렬 A는 m 행(row) n 열(column)을 갖는다.


이 행렬은 다음과 같은 하위공간(Subspace)을 가진다.


(a) 영 공간(Null Space)는 행렬 A 곱하기 벡터 x 가 0이 되는 벡터 x 의 집합이다.
(b) 열 공간(Column Space)는 행렬의 열을 선형 생성하는 벡터 공간이다.
(c) 행 공간(Row Space)는 행렬 A의 전치행렬(transpose A)의 영 공간이다.
(d) 좌측 영 공간(Left Null space)는  행렬 A의 전치행렬(transpose A)의 열 공간이다.

하위공간(Subspace)사이의 관계




직교관계(Orthogonal Relation)
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영 공간(null space)의 벡터와 행렬 A의 행을 내적(inner product)하면 0이 된다. 즉, 행렬의 행(row)과 영 공간(벡터 집합)의 열(column) 벡터는 직교(orthogonal)라는 뜻이다.

열 공간(column space)은 행렬 A의 전치 행렬의 기저 벡터의 집합이다. 즉 열 공간의 벡터는 행렬 A의 행(row)중 하나다.


따라서 행렬 A에 대한 영 공간, Null(A)과 행 공간, Row(A)는 서로 직교 관계(Orthogonal)에 있다.


아울러 좌측 영 공간(left null space)과 열 공간(column space)도 직교 관계에 있다.

차원(Dimension)
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앞서 행렬의 차원(dimension)에 대한 강의가 있었다. 차원은 행렬에서 선형 독립 열(Linearly independent column)의 갯수다. 행렬을 RREF의 꼴로 변환 후 피벗 열과 비 피벗열의 갯수로 차원을 알 수 있다.



영 공간의 차원, Dim(Null(A)) 과 행 공간의 차원, Dim(Row(A)) 을 더하면 행렬의 열 갯수 n 와 같다. 그리고 행렬의 열공간 차원, Dim(Col(A)) 과 행공간 차원, Dim(Row(A)) 이 같을 때 이 차원의 갯수를 랭크(Rank)라 한다. 랭크는 행 공간의 차원이 열 공간의 차원과 같다는 뜻이다. 이는 매우 흥미로운 결과인데 행공간은 n 개의 원소로 구성된 벡터들의 공간이며 열 공간은 m 개의 원소로 구성된 벡터들의 공간이기 때문이다. 두 하위 공간의 벡터 공간이 다름에도 그 둘의 차원이 같다는 뜻이기 때문이다. 이 랭크의 정의는 행렬(선형대수)과 관련된 계산에서 매우 다양하게 활용된다.



랭크는 행렬에서 선형 독립인 열의 갯수를 의미하기도 한다. 동시에 선형 독립인 행의 갯수이기도 하다. 행 공간(row space)의 차원과 열 공간(column space)의 차원이 같다는 사실은 아주 중요하다. 랭크는 행렬이 가진 선형 독립 열(기저)의 갯수이며 선형 독립 행의 숫자와도 같다.

랭크(행렬계수)에 관한 몇가지 성질을 살펴보자. 정방행렬(square matrix; n x n)이 아닌 경우 랭크는

    Rank(A) ≤ min(m,n)

정방행렬(n x n)의 경우는 랭크가 n이라면 역행렬을 가질 수 있는 상태(invertible)가 된다. 이 경우를 full-rank 라고 한다.

연습: 다음 행렬에 대하여 열 공간 및 행공간, 영 공간, 좌 영공간을 구하라.
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영 공간(null space)이 행 공간(row space)과 서로 직교 관계에 있는지 살펴보고 아울러 좌 영 공간(left null space)과 열 공간(column space)이 직교 관계에 있음을 보여라. 행렬 A의 랭크를 구하라. 이 행렬은 전 랭크인가?

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