2018년 12월 16일 일요일

W4.9 고유치 및 고유 벡터 구하기 2(Finding Eigenvalues and Eigenvectors 2)

[커세라] 이과생을 위한 행렬 대수

1주: 행렬(Matrics)
    W1.1 첫째주 강의 안내(Intro to Week One)
    W1.5 연습문제:행렬의 정의(Practice Quiz:Definition of Matrices)
    W1.9 연습문제:전치행렬과 역행렬(Practice Quiz:Transpose and Inverse Matrix)
    W1.13 연습문제:직교행렬(Practice Quiz: Orthogonal Matrix)
    W1.14 첫째주 평가문제(Week One Quiz)

2주: 선형 방정식 시스템(Systems of Linear Equations)
    W2.1 둘째 주 강의안내(Intro. to Week Two)
    W2.3 기약행사다리꼴(RREF: Reduced Row Echelon Form)
    W2.5 연습문제:가우스 소거법(Practice Quiz:Gaussian Elimination)
    W2.9 연습문제:LU 분해(Practice Quiz: LU Decomposition)
    W2.10 둘째주 평가문제(Week Two Quiz)

3주: 벡터 공간(Vector Space)
    W3.1 셋째주 강의안내(Intro. to Week Three)
    W3.5 연습문제:벡터공간(Practice Quiz:Vector Space Definition)
    W3.8 연습문제:그람-슈미트 알고리즘(Practice Quiz:Gram-Schmidt Process)
    W3.13 연습문제:기초 하위 공간들(Practice Quiz:Fundamental Subspace)
    W3.17 연습문제:정사영(Practice Quiz: Orthogonal Projection)
    W3.18 셋째주 평가문제(Week Three Quiz)

4주: 고유치와 고유 벡터(Eigenvalues and Eigenvectors)
    W4.1 넷째주 강의 안내(Introduction to Week Four)
    W4.2 2대2, 3대3 행렬식(Two-by-two and Three-by-three determinants)
    W4.3 라플라스 전개(Laplace Expansion)
    W4.4 라이프니쯔 공식(Leibniz Formula)
    W4.5 행렬식의 속성(Properties of Determinants)
    W4.6 연습문제:행렬식(Practice Quiz:Determinants)
    W4.7 고유치 문제(Eigenvalue Problem)
    W4.8 고유치 및 고유 벡터 구하기 1(Finding Eigenvalues and Eigenvectors 1)

W4.9 고유치 및 고유 벡터 구하기 2(Finding Eigenvalues and Eigenvectors 2)/동영상/영문자막



[0:00]
지난편에서 대칭 행렬(symmetric matrix)은 실 고유치(real eigenvalue)와 선형독립(linear independent) 고유 벡터(eigenvector)를 갖는다는 사실을 배웠다.이는  대칭행렬의 장점이라고 하겠다.

이번에는 다소 까다로운 경우로 m 대 n  행렬이 자신이 가진 차원(dimension)보다 작은 고유 벡터를 갖는 경우를 다룬다. 따라서 이 행렬은 선형독립 고유벡터 갯수가 m 보다 작다.

뿐만 아니라 비대칭 행렬(asymmetric vector)이 허수의 고유치(complex eigenvalue)를 갖는 경우도 보도록 한다.

[0:55]
실 고유치와 선형독립 고유벡터를 갖는 대칭행렬은 사실 매우 중요한 역활을 하는데 강좌의 후반에 다시 소개할 것이다.

이제 특이한 행렬의 살펴보기로 하자. 첫번째 행렬의 예는 간단한 2대2 행렬이다.




고유값과 고유 벡터를 구했다. 특이한 점은 고유 벡터가 특정 되지 못한다. 고유벡터의 두번째 원소(x2)는 0 이지만 첫번째 원소(x1)는 어떤 값에 대해서도 고유값 문제 방정식은 성립하기 때문이다. 정규화 값인 1로 잡고 고유 벡터를 구하도록 하자.

[4:02]
이번에는 좀더 다른 경우를 보도록 한다.



위에서 예로든 행렬은 C의 전치행렬이 C에 음을 곱한 행렬과 같다. 이 행렬을 반대칭행렬(skew symmetric matrix)이라고 한다.  이 행렬은 실수 고유치를 갖지 못한다. 허수 고유치(complex eigenvalue)는 미분 방정식에서 진동(oscillations)의 문제를 다룰 때 매우 유용하게 쓰인다. 나중에 고급 과정을 배울 때 살펴보기로 하고 여기서는 실수 고유치에 관해서만 다룬다.

연습: 다음과 같은 행렬의 고유치를 구하시오.




댓글 2개: