아무나 하는 수학, 과학 & 라디오: W2.8 선형 연립방정식 풀이(Solving LUx=b)

[커세라] 이과생을 위한 행렬 대수

1주: 행렬(Matrics)
W1.1 첫째주 강의 안내(Intro to Week One)
W1.5 연습문제:행렬의 정의(Practice Quiz:Definition of Matrices)
W1.9 연습문제:전치행렬과 역행렬(Practice Quiz:Transpose and Inverse Matrix)
W1.13 연습문제:직교행렬(Practice Quiz: Orthogonal Matrix)
W1.14 1주 평가문제(Week One Quiz)

2주: 선형 방정식 시스템(Systems of Linear Equations)
W2.1 둘째 주 강의안내(Intro. to Week Two)
W2.2 가우스 소거법(Gaussian elimination)
W2.3 기약행사다리꼴(RREF: Reduced Row Echelon Form)
W2.4 역행렬 구하기(Computing Inverses)
W2.5 연습문제:가우스 소거법(Practice Quiz:Gaussian Elimination)
W2.6 Elementary Matrices
W2.7 LU 분해(LU Decomposition)

W2.8 선형 연립방정식 풀이(Solving LUx=b)

- 누군가 '수학은 언어'라는 표현을 쓴다. '언어'란 목표를 표현하기 위한 것이라고 하자. 기쁨, 슬픔 등 감정을 기록하거나 의지를 주장하기 위해 '언어'로 기록한다. 수학이 '언어'라면, 그 언어를 사용해 만든 문장 '수식'은 목표가 있어야 할 것이다.

- '수학'이 워낙 외계어에 속하는 지라 이를 해석하는 능력이 필요하다. '수학'은 문법이 간단하고 단어도 몇개 되지 않아 다행이다. 그럴수록 추상성이 높으니 문제지만.

- 가우스 소거법(Gaussian Elimination)은 n개의 미지수에 대한 n개의 선형 방정식의 해를 구하는 쉬운 방법이다. 즉, 여러개의 선형 방정식으로 기술된 수학 문장을 해석하는 요령이다.

- 다음과 같은 3개의 수학문장(방정식)이 주어졌다. 이 방정식을 만족하는 미지수 3개의 값을 구하는 것이 목표다.

복잡한 문장을 해석 하기 위해서 작은 어구 단위로 나눠볼 일이다. 미지수 x1, x2, x3를 대명사, 3, 2, 6, -7 따위의 숫자를 고유명사라고 하자. 곱셈과 등호따위의 연산기호를 동사에 비유해보자. 위의 문장을 가지고 과연 대명사가 구체적으로 무엇을 지칭하는지 알고싶다.

복잡한 문장해석의 시작은 복합된 구와 절은 나눠놓고 중복된 구부터 쳐내는 일이다. 물론 나누고 쳐낼 때도 문법 규칙이 있기 마련이다. 수학에도 규칙이 있다. 방정식의 좌우변에 상수를 곱해도 관계는 변함 없다. 한 시스템 내의 방정식 끼리 더하거나 뺄 수 있다.

위의 방정식을 보아하니 1번과 3번식을 더하면 일단 x1은 쳐낼 수 있겠다. 이렇게 문장은 보는 눈썰미를 수학적 감각이라 해두자. 무엇이 됐든 능력치를 높이는 길은 연습 뿐이다.

이렇게 얻은 방정식에서 x2와 x3 둘중 하나를 쳐내보자. 또다른 x2와 x3의 방정식이 필요하다. 1번식에 2를 곱해서 2번식에 더하면,

세개의 미지수를 가진 방정식 세개에서 두개의 미지수를 가진 방정식 두개를 가지게 되었다. 말하자면 세개의 문장에서 두개의 문장으로 단순화 시킨 셈이다. 이제 한개의 미지수를 가진 방정식을 구해보자.

드디어 한번의 곱하기(동사)로 이뤄진 아주 단순한 문장이 되었다. 한개의 답을 찾은 셈이다.

이제 x2를 구해보자. 4번이든 5번이든 어디에 x3을 대입해도 된다.

끝으로 x1을 구해보자. 앞서구한 x3와 x2를 1,2,3번 어느 식에 대입해도 좋다.

- 위의 예는 수학문장이 겨우 3개였다. 게다가 문장사이의 연관성이 눈에 확 들어오는 까닭에 해석하기가 아주 쉬웠다. 만일 문장이 아주 많고 문장사이의 연관성이 금방 눈에 띄지 않다면 풀이의 과정은 험난해질 것이다.

- 쉬운 해석 방법으로 고안된 것이 가우스 소거법(Gaussian Elimination)이다. 천재 수학자 가우스가 고안해낸 방법이다. 방정식을 행렬이라고 하는 아주 새로운 문법도구로 표기해 놓기로 한다.

소위 augmented matrix 라는 표기법이다. 언뜻 보기에도 방정식의 계수와 상수들을 모아 놓았다. 한 행(row)이 방정식에 대응된다. 열(column)은 방정식의 미지수 x1, x2, x3에 해당한다. 이렇게 표기한 이유는 행에 포함된 열을 하나씩 지워 나가면서 한개만 남겨 두는 것이다. 결국 남은 열이 풀이가 된다.

행렬의 좌측 하단부에 0을 만드는 방법이 바로 가우스 소거법이다. 기본 원리는 연립방정식 풀이와 같다. 다 같은 수학이니까. 행 전체에 상수를 곱할 수 있고 다른 행과 더할 수 있다. 이렇게 허용된 규칙을 동원하여 좌측 하단 삼각형에 0을 만들어보자.

1행1열을 기준(pivot)으로 2행과 3행의 1열을 모두 0으로 만들자. 1행을 2배하여 2행에 더하여 그 결과를 2행에 남겨두자. 이어서 3행의 1열을 0으로 만들기로 한다. 1행과 3행을 더하면 된다.

이번에는 2행의 2열을 피벗 삼아서 3행의 2열을 0으로 만들자. 2행에 -1을 곱하여 3행에 더하면 된다. 원하는 대로 모양이 되었다. 그다음 부터는 순차적으로 대입하여 나머지 미지수의 값을 구한다.

- 함수(function)와 방정식(equation)은 모두 수학의 문법으로 표현된 문장이다. 사전에 따르면 함수는 '대응관계', 방정식은 '미지수에 특정한 값을 주었을 때만 성립하는 등식'이라고 설명한다. 함수는 어떤 입력을 넣어주면 그에 대응하는 값을 얻는 것이 목적이다.

이에 비해 방정식은 드러난 값을 가지고 원인을 찾는 것이 목표다. 함수는 계산만 잘하면 되지만 방정식은 상당한 추리를 요한다.

여러개의 수식으로 표현된 '시스템'을 관찰 하여 값을 얻었다. 이 방정식을 만족하는 미지값을 구하는 쉬운 방법이 가우스 소거법이다. 만일 지속적으로 이 '시스템'을 관찰하여 다수의 관찰 값을 얻었다고 하자. 그때마다 매번 가우스 소거법을 수행할 수도 있겠지만 좀더 범용으로 쓸 수 있는 방법이 LU 분해를 이용한 선형 연립방정식의 풀이다.