1주: 행렬(Matrics)
W1.1 첫째주 강의 안내(Intro to Week One)
W1.5 연습문제:행렬의 정의(Practice Quiz:Definition of Matrices)
W1.9 연습문제:전치행렬과 역행렬(Practice Quiz:Transpose and Inverse Matrix)
W1.13 연습문제:직교행렬(Practice Quiz: Orthogonal Matrix)
W1.14 첫째주 평가문제(Week One Quiz)
2주: 선형 방정식 시스템(Systems of Linear Equations)
W2.1 둘째 주 강의안내(Intro. to Week Two)
W2.3 기약행사다리꼴(RREF: Reduced Row Echelon Form)
W2.5 연습문제:가우스 소거법(Practice Quiz:Gaussian Elimination)
W2.9 연습문제:LU 분해(Practice Quiz: LU Decomposition)
W2.10 둘째주 평가문제(Week Two Quiz)
3주: 벡터 공간(Vector Space)/이 강의를 수강하는 이유
W3.1 셋째주 강의안내(Intro. to Week Three)
W3.2 벡터 공간(Vector Spaces)
W3.3 선형독립(Linear Independence)/동영상/영문자막
- '수학' 이라는 언어는 '수식'으로 문장을 꾸미면 좋으련만 이렇게 구문정의(Formal definition)를 내려 놓으니 더 어렵다. 특히 논리, 확률의 문제에 이르면 언어학인지 수학인지 헛갈린다.
- '선형독립'은 '일차독립' 으로 불리기도 한다. 위키사전을 인용하면,
"선형대수학에서, '선형독립'(linear independence) 또는 '일차독립'은 남은 벡터들의 선형결합인 벡터가 존재하지 않는다는, 벡터 집합에 대한 성질이다. 선형독립이 아닌, 즉 남은 벡터의 선형결합인 벡터가 있는 벡터 집합을 '선형종속'(linear dependence) 또는 '일차종속'이라고 한다."
어째 알듯 말듯 하다. '수학'을 언어라고 보는데도 틀린말은 아닌가보다.
- '일차'라고 하면 '실수 곱하기 변수' 그리고/혹은 그 사이의 '더하기' 아닌가. 차수는 변수의 거듭 제곱이므로 '일차'라 하면 변수의 거듭제곱이 한번 뿐이다. 방정식으로 따지면 직선(선형)의 방정식이 될 터이고 굳이 수식으로 쓰면,
y = a*x + b (이때 x 는 변수, a와 b는 실수)
- 이번에는 '독립(independence)'의 의미는 무엇인가? 위의 강의 화면을 보자. 영어로 써있다. 우리말로 그 의미를 새겨보기로 한다.
벡터의 종류가 유한한 집합(set) x가 있다.
이 집합을 변수로 삼아 선형 방정식('변수 곱하기 실수'의 더하기로 구성된)을 만들어 보자.
이 방정식을 만족하는 경우(해, solution)가 오직 다음의 경우밖에 없다면,
변수 x(벡터의 집합)는 '선형 독립'이라고 한다. 집합 x의 원소들로 선형 조합으로 만들어진 식을 만들었을 때 그 계산의 결과가 다시 집합 x의 원소중 하나일 때 '종속(dependence)', 집합 x 이외의 값이 나왔을 때 '독립(independence)'라고 한다(변수의 집합 x에 정의된 원소 이외의 값이 나오는 경우 집합 x에 종속되지 않으므로 '독립').
- 여전히 아리송 하다. 예를 들어보자.
다음과 같은 벡터의 집합(set of vector)이 있다.
이 집합의 원소는 각각 다음과 같다.
이 집합 x를 가지고 선형 방정식을 만들어보자.
이 방정식의 해는 다수 존재 할 수 있다. 그중 하나는,
위의 선형 방정식이 성립하는 a, b, c의 값을 찾는 것은 중요치 않다. 여러가지 해가 있을 수 있는데 그중 하나일 뿐이다. 주목할 것은 집합 x가 '선형 독립'인가 아닌가 이다. 선형 독립이려면 해가 오직 a=b=c=0일때 뿐이어야 하는데,
따라서 이 벡터 집합 x 는 '선형 독립이지 않다(Linear dependent, 선형종속). 계산을 해보자.
벡터 집합 x의 원소들로 '선형결합'을 했더니 다시 집합 x 의 원소가 나왔다. 따라서 집합 x는 '선형 독립'이 아니다.
그럼 선형 독립이려면 어떻해야 하는지 보자. 집합 x의 원소를 다음과 같다고 해보자.
선형 방정식,
에서,
이므로 이를 만족하는 a, b, c 는,
이럴 경우 집합 x는 '선형 독립(Linear Independent)'이라고 한다. 집합 x의 원소들을 가지고 선형 결합으로 만든 벡터가 남은 벡터들에 존재하지 않는다
연습: 다음중 선형독립인 집합은?
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[HINT] One of these vectors as a linear combination of the other two vectors?
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