2018년 12월 11일 화요일

W4.5 행렬식의 속성(Properties of Determinants)

[커세라] 이과생을 위한 행렬 대수

1주: 행렬(Matrics)
    W1.1 첫째주 강의 안내(Intro to Week One)
    W1.5 연습문제:행렬의 정의(Practice Quiz:Definition of Matrices)
    W1.9 연습문제:전치행렬과 역행렬(Practice Quiz:Transpose and Inverse Matrix)
    W1.13 연습문제:직교행렬(Practice Quiz: Orthogonal Matrix)
    W1.14 첫째주 평가문제(Week One Quiz)

2주: 선형 방정식 시스템(Systems of Linear Equations)
    W2.1 둘째 주 강의안내(Intro. to Week Two)
    W2.3 기약행사다리꼴(RREF: Reduced Row Echelon Form)
    W2.5 연습문제:가우스 소거법(Practice Quiz:Gaussian Elimination)
    W2.9 연습문제:LU 분해(Practice Quiz: LU Decomposition)
    W2.10 둘째주 평가문제(Week Two Quiz)

3주: 벡터 공간(Vector Space)
    W3.1 셋째주 강의안내(Intro. to Week Three)
    W3.5 연습문제:벡터공간(Practice Quiz:Vector Space Definition)
    W3.8 연습문제:그람-슈미트 알고리즘(Practice Quiz:Gram-Schmidt Process)
    W3.13 연습문제:기초 하위 공간들(Practice Quiz:Fundamental Subspace)
    W3.17 연습문제:정사영(Practice Quiz: Orthogonal Projection)
    W3.18 셋째주 평가문제(Week Three Quiz)

4주: 고유치와 고유 벡터(Eigenvalues and Eigenvectors)
    W4.1 넷째주 강의 안내(Introduction to Week Four)
    W4.2 2대2, 3대3 행렬식(Two-by-two and Three-by-three determinants)
    W4.3 라플라스 전개(Laplace Expansion)
    W4.4 라이프니쯔 공식(Leibniz Formula)

W4.5 행렬식의 속성(Properties of Determinants)/동영상/영문자막



먼저 '속성(Properties)'이라고 하는 단어부터 알아보자. 사전에 의하면 '실체에 필연적으로 귀속되는 성질'라고 설명한다. 그렇다면 '행렬식의 속성'은 행렬식의 정의에 필연적으로 귀속된 성질이라고 해야겠다.

'행렬(Matrix)'이라는 대상을 한 실수 값으로 대변하기 위해 '행렬식(Determinant)'으로 정의하였다. 행렬의 역을 구하는 과정에서 '역이 존재할 조건'으로 행렬식이 이용된다는 점을 알게 됐다. 그외 쓰임에 대해서 앞으로 더 알아볼 것이다. 앞선 강의에서 [n x n] 정방행렬(square matrix)의 행렬식을 구하는 방법(Laplace expansion & Leibniz formula)에 대해 알아 봤다. 그 과정에서 행렬식의 속성을 일부 엿볼 수 있었는데 이참에 정리해 보기로 한다.

다음의 속성들은 행렬식을 구하는 다항식을 보면 당연한 것이지만 따로 외워두면 두루 쓸모가 있을 것이다. '속성'이란 원래 그런 것이다.

속성1: 단위 행렬(Identity matrix)의 행렬식은 1이다.



속성2: 행렬에서 행의 순서를 바꾸면 행렬식의 부호가 바뀐다.



속성3: 행렬식은 행 단위의 선형함수다.


그외 알아두면 쓸모있는 속성들,

- 모든 행의 선형 함수다.



- 행이 모두 같은 행렬식은 0이다.
- 행(또는 열) 원소가 모두 0이면 행렬식은 0이다.


- 행렬식이 0인 행렬의 역은 존재하지 않는다



- 대각행렬의 행렬식, 하위 삼각행렬의 행렬식, 상위 삼각행렬의 행렬식은 모두 행렬의 대각 원소들의 곱이다. 이 속성은 가우스 소거법에서 활용되었다.


그외 행렬식 연산 특성들을 보면,

- 두 행렬 곱의 행렬식은 각 행렬의 행렬식과 같다.

하지만 두 행렬 합의 행렬식은 각 행렬식의 합과 같지 않다. 주의하자.


- 역행렬의 행렬식은 행렬식의 역수와 같다.


- 전치행렬의 행렬식은 행렬의 행렬식과 같다.


- 행렬의 한 행에 상수를 곱한 행렬식은 원 행렬의 행렬식에 상수의 곱과 같다.

이는 매우 흥미롭긴 한데 행렬식을 구하는 다항식에 행렬의 모든 원소들이 반드시 한번씩(한번만) 곱해진다는 정의를 감안하면 당연한 결과다.

연습: 가우스 소거법으로 행렬식 구하기



복습: 가우스 소거법은 행렬 A를 상위 삼각 행렬 U와 하위 삼각행렬 L로 분할하는 방법이다.



행렬식의 속성에 의하면 U와 L의 행렬식은 모두 대각원소들 끼리의 곱이다. 그리고 두 행렬 곱의 행렬식은 각각 행렬식의 곱과 같다.



따라서 가우스 소거법으로 L과 U를 구하고 각각의 행렬식을 곱하여 행렬 A의 행렬식을 구한다.



가우스 소거법으로 구한 행렬 A의 행렬식(determinant)이다.



간단한 방법을 두고 이렇게 어렵게 구해본 것은 가우스 소거법 복습도 겸해서 행렬식의 속성을 되집어보기 위한 연습이다. .


    W4.6 연습문제:행렬식(Practice Quiz:Determinants)
    W4.7 고유치 문제(Eigenvalue Problem)
    W4.8 고유치 및 고유 벡터 구하기 1(Finding Eigenvalues and Eigenvectors 1)
    W4.9 고유치 및 고유 벡터 구하기 2(Finding Eigenvalues and Eigenvectors 2)
    W4.10 연습문제:고유치 문제(Practice Quiz:Eigenvalue Problem)
    W4.11 행렬 대각화(Matrix Diagonalization)
    W4.12 행렬 대각화 예제(Matrix Diagonalization Example)
    W4.13 행렬의 거듭제곱(Power of a Matrix)
    W4.14 행렬의 거듭제곱 예제(Power of a Matrix Example)
    W4.15 연습문제:행렬 대각화(Practice Quiz: Matrix Diagonalization)
    W4.16 넷째주 평가문제(Week Four Quiz)

W5 "이과생을 위한 행렬 대수(Matrix Algebra foe Engineers)" 수료/안녕(Farewell)

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