아무나 하는 수학, 과학 & 라디오: W4.4 라이프니쯔 공식(Leibniz Formula)

[커세라] 이과생을 위한 행렬 대수

1주: 행렬(Matrics)
W1.1 첫째주 강의 안내(Intro to Week One)
W1.5 연습문제:행렬의 정의(Practice Quiz:Definition of Matrices)
W1.9 연습문제:전치행렬과 역행렬(Practice Quiz:Transpose and Inverse Matrix)
W1.13 연습문제:직교행렬(Practice Quiz: Orthogonal Matrix)
W1.14 첫째주 평가문제(Week One Quiz)

2주: 선형 방정식 시스템(Systems of Linear Equations)
W2.1 둘째 주 강의안내(Intro. to Week Two)
W2.3 기약행사다리꼴(RREF: Reduced Row Echelon Form)
W2.5 연습문제:가우스 소거법(Practice Quiz:Gaussian Elimination)
W2.9 연습문제:LU 분해(Practice Quiz: LU Decomposition)
W2.10 둘째주 평가문제(Week Two Quiz)

3주: 벡터 공간(Vector Space)
W3.1 셋째주 강의안내(Intro. to Week Three)
W3.5 연습문제:벡터공간(Practice Quiz:Vector Space Definition)
W3.8 연습문제:그람-슈미트 알고리즘(Practice Quiz:Gram-Schmidt Process)
W3.13 연습문제:기초 하위 공간들(Practice Quiz:Fundamental Subspace)
W3.17 연습문제:정사영(Practice Quiz: Orthogonal Projection)
W3.18 셋째주 평가문제(Week Three Quiz)

4주: 고유치와 고유 벡터(Eigenvalues and Eigenvectors)
W4.1 넷째주 강의 안내(Introduction to Week Four)
W4.2 2대2, 3대3 행렬식(Two-by-two and Three-by-three determinants)
W4.3 라플라스 전개(Laplace Expansion)

W4.4 라이프니쯔 공식(Leibniz Formula)/동영상/영문자막

행렬식을 구하는 일반적인 방법으로 라플라스 전개(Laplace Expansion)를 공부했다. n x n 행렬을 (n-1) x (n-1)의 작은 행렬의 합으로 전개하는 방법이었다.

행렬식을 구하는 또다른 방법으로 라이프니쯔 공식을 배워보자. 먼저 3대3 행렬부터 시작해 보자. 행렬식을 구하는 다항식을에 6개의 항을 가지고 있다. 이 다항식을 구상하는 각 항을 잘 살펴보면 행과 열의 위치가 모두 다르다는 점을 발견 할 수 있다. 첫째 항 aei의 경우 a는 1행 1열, e는 2행 2열, i는 3행 3열으로 a, e, i는 모두 행과 열의 위치가 동일 하지 않다. 그외 다른 항에 대해서도 행과 열의 위치가 겹치는 원소의 곱은 없다.

행렬식을 구하는 다항식에서 행과 열의 위치가 겹치지 않는 원소끼리 곱이 되어야 한다는 조건을 만족하는 항의 갯수를 따져보자. 다시 3대3 행렬의 경우다. 정방행렬의 행렬식을 구하는 다항식에서 한 항은 원소 3개의 곱이다. 첫 행의 원소를 포함하는 항의 경우 수는 3가지다. 이어서 곱해질 두번째 행의 원소는 첫째 행에서 선택된 열의 위치와 달라야 하므로 2가지, 끝으로 곱해질 세번째 행에서 선택은 앞서 두 열과 달라야 하므로 한가지 뿐이다.

결국 행렬식을 구하는 다항식의 종류는 곱해질 행과 열의 위치가 중 첩되지 않는 경우의 수와 같다.

일반화 시켜 n대n 정방행렬의 행렬식을 구하는 다항식에서 항의 종류는 n!개다. ('확률과 통계'의 선수과정으로 경우의 수 따지기는 어딜 가도 빠지지 않는다!) 행렬식 다항식에서 항의 종류를 나열 하고 각 항에 부호를 정하는 규칙을 아리프니쯔 공식이라 한다. 각 항에 부호가 정해지는 규칙을 찾아보자.