1주: 행렬(Matrics)
W1.1 첫째주 강의 안내(Intro to Week One)
W1.5 연습문제:행렬의 정의(Practice Quiz:Definition of Matrices)
W1.9 연습문제:전치행렬과 역행렬(Practice Quiz:Transpose and Inverse Matrix)
W1.13 연습문제:직교행렬(Practice Quiz: Orthogonal Matrix)
W1.14 첫째주 평가문제(Week One Quiz)
2주: 선형 방정식 시스템(Systems of Linear Equations)
W2.1 둘째 주 강의안내(Intro. to Week Two)
W2.3 기약행사다리꼴(RREF: Reduced Row Echelon Form)
W2.5 연습문제:가우스 소거법(Practice Quiz:Gaussian Elimination)
W2.9 연습문제:LU 분해(Practice Quiz: LU Decomposition)
W2.10 둘째주 평가문제(Week Two Quiz)
3주: 벡터 공간(Vector Space)
W3.1 셋째주 강의안내(Intro. to Week Three)
W3.5 연습문제:벡터공간(Practice Quiz:Vector Space Definition)
W3.8 연습문제:그람-슈미트 알고리즘(Practice Quiz:Gram-Schmidt Process)
W3.13 연습문제:기초 하위 공간들(Practice Quiz:Fundamental Subspace)
W3.17 연습문제:정사영(Practice Quiz: Orthogonal Projection)
W3.18 셋째주 평가문제(Week Three Quiz)
4주: 고유치와 고유 벡터(Eigenvalues and Eigenvectors)
W4.1 넷째주 강의 안내(Introduction to Week Four)
W4.2 2대2, 3대3 행렬식(Two-by-two and Three-by-three determinants)
W4.3 라플라스 전개(Laplace Expansion)
W4.4 라이프니쯔 공식(Leibniz Formula)
W4.5 행렬식의 속성(Properties of Determinants)
W4.6 연습문제:행렬식(Practice Quiz:Determinants)
W4.7 고유치 문제(Eigenvalue Problem)/동영상/영문자막
고윳값(Eigenvalue)을 사전에서 찾아보면,
'선형 변환이 일어난 후에도 방향이 변하지 않는, 영벡터가 아닌 벡터이다. (중략) 고유 벡터와 고윳값의 개념은 여러 응용수학 분야에서 중요한 위치를 차지하며, 특히 선형대수학, 함수해석학, 그리고 여러가지 비선형 분야에서도 자주 사용된다.'
중요한 개념인 것은 분명하다. 강의를 따라가 보자.
[0:00] '고윳값'은 물리학에서 특히 강체의 회전을 다룰 때 등장했던 것으로 기억한다. 양자역학에서 만개한(아주 널리사용된) 아이겐밸류(eigenvalue)는 원자의 에너지 준위를 설명할 때 사용되었던 것으로 기억한다. 그외 토목, 교량의 진동 같은 여러 공학분야에 널리 활용된다. 어쨌든 '고윳값 문제'란 도데체 뭘까?
[0:54] n 대 n 정방행렬을 A 라고 하자. 여기에 벡터 x를 곱한 결과가 λ(람다) 곱하기 벡터 x가 될 때 풀어야할 문제가 고윳값 문제(eigenvalue problem)다.

벡터 x에 행렬 A를 곱해 (선형)변환을 주어도 벡터 x는 유지하면서 상수 곱으로 남을 때, 스칼라 값 λ 를 구하는 것이 '고윳값 문제(Eigenvalue problem)'다.
위의 방정식을 만족하는 λ 를 찾으려면 먼저 양변의 형식을 맞추도록 하자. 우변에 단위행렬(identity matrix)를 곱해 주어 양변을 (n x n) 행렬 곱하기 (n x 1) 벡터의 꼴로 만들어 준다.

우변을 이항하고 정리하여 다음과 같은 방정식을 얻는다.

이 방정식에서 구하려는 목표는 λ다. 만일 x=0일 경우에 λ와 관계없이 방정식은 성립한다. 이는 목표에서 벗어난 의미없는 해(trivial solution)이다. 따라서 x=0이 아닌 해를 구해야 하므로 (A - λI)의 행렬식이 0이어야 한다. 이는 이 행렬의 역이 존재하지 않다는 뜻이기도 하다.

위는 고윳치 λ을 구하기 위한 방정식으로 '특성 방정식(characteristic equation)'이라고 한다. 이 방정식의 괄호안은 결국 실수 λ가 행렬의 대각 원소에 모두 곱해진 n 대 n 행렬로서 행렬식을 구하면 결국 λ의 n차 방정식이 된다.

이제 λ의 n 차 다항식이 만들어 졌으므로 방정식의 근이 고유치다. 방정식의 근(roots)은 실근(real root) 혹은 허근(imaginary root), 중근(degenerate)이 될 수도 있다.
예를 들어 2x2 행렬에 대한 고유치 문제(eigenvalue problem)를 풀어보자.

먼저 방정식의 양변의 꼴을 맞추기 위해 좌변에 2대2 단위 행렬을 곱해준다.

방저익을 정리하여 x=0은 배제한 해를 얻어야 한다. 이 조건에서 괄호안의 행렬은 역을 갖지 않아야 한다. 따라서 그 행렬식은 0이다.

괄호안의 행렬을 계산하면,

이 행렬의 행렬식(determinant)은,

결국 2대2 행렬 A의 특성 방정식으로 고유치 λ에 관한 2차 다항식을 얻게 된다.

2차 방정식의 근의 공식에 따라,

고유치 λ는 조건에 따라 세가지 경우가 될 수 있다.

이를 일반화 하면 n 대 n 행렬 A는 n 개 이하의 고유치를 가질 수 있으며 실수 혹은 허수가 될 수 있다.
연습: 3대3 행렬에 대한 고유치 λ의 3차 방정식을 구하라.


W4.8 고유치 및 고유 벡터 구하기 1(Finding Eigenvalues and Eigenvectors 1)
W4.9 고유치 및 고유 벡터 구하기 2(Finding Eigenvalues and Eigenvectors 2)
W4.10 연습문제:고유치 문제(Practice Quiz:Eigenvalue Problem)
W4.11 행렬 대각화(Matrix Diagonalization)
W4.12 행렬 대각화 예제(Matrix Diagonalization Example)
W4.13 행렬의 거듭제곱(Power of a Matrix)
W4.14 행렬의 거듭제곱 예제(Power of a Matrix Example)
W4.15 연습문제:행렬 대각화(Practice Quiz: Matrix Diagonalization)
W4.16 넷째주 평가문제(Week Four Quiz)
W5 "이과생을 위한 행렬 대수(Matrix Algebra foe Engineers)" 수료/안녕(Farewell)
W4.9 고유치 및 고유 벡터 구하기 2(Finding Eigenvalues and Eigenvectors 2)
W4.10 연습문제:고유치 문제(Practice Quiz:Eigenvalue Problem)
W4.11 행렬 대각화(Matrix Diagonalization)
W4.12 행렬 대각화 예제(Matrix Diagonalization Example)
W4.13 행렬의 거듭제곱(Power of a Matrix)
W4.14 행렬의 거듭제곱 예제(Power of a Matrix Example)
W4.15 연습문제:행렬 대각화(Practice Quiz: Matrix Diagonalization)
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