2018년 12월 3일 월요일

W3.14 정사영(Orthogonal Projection)

[커세라] 이과생을 위한 행렬 대수

1주: 행렬(Matrics)
    W1.1 첫째주 강의 안내(Intro to Week One)
    W1.5 연습문제:행렬의 정의(Practice Quiz:Definition of Matrices)
    W1.9 연습문제:전치행렬과 역행렬(Practice Quiz:Transpose and Inverse Matrix)
    W1.13 연습문제:직교행렬(Practice Quiz: Orthogonal Matrix)
    W1.14 첫째주 평가문제(Week One Quiz)

2주: 선형 방정식 시스템(Systems of Linear Equations)
    W2.1 둘째 주 강의안내(Intro. to Week Two)
    W2.3 기약행사다리꼴(RREF: Reduced Row Echelon Form)
    W2.5 연습문제:가우스 소거법(Practice Quiz:Gaussian Elimination)
    W2.9 연습문제:LU 분해(Practice Quiz: LU Decomposition)
    W2.10 둘째주 평가문제(Week Two Quiz)

3주: 벡터 공간(Vector Space)/이 강의를 수강하는 이유
    W3.1 셋째주 강의안내(Intro. to Week Three)
    W3.2 벡터 공간(Vector Spaces)
    W3.3 선형독립(Linear Independence)
    W3.4 선형생성, 기저 그리고 차원(Span, Basis and Dimension)
    W3.5 연습문제:벡터공간(Practice Quiz:Vector Space Definition)
    W3.6 그람-슈미트 알고리즘(Gram-Schmidt Process)
    W3.7 그람-슈미트 알고리즘 예제(Gram-Schmidt Process Example)
    W3.8 연습문제:그람-슈미트 알고리즘(Practice Quiz:Gram-Schmidt Process)
    W3.9 영 공간(Null Space)
    W3.10 영 공간 활용(Application of the null space)
    W3.11 열 공간(Column Space)
    W3.12 행 공간, 좌측 영 공간 그리고 랭크(Row Space, Left Null Space and Rank)
    W3.13 연습문제:기초 하위 공간들(Practice Quiz:Fundamental Subspace)

W3.14 정사영(Orthogonal Projection)/동영상/영문자막

고교 교과서에 직교 투영(Orthogonal Projection)을 정사영으로 쓰고 있다. 사전에서 찾아보자.

정사영(正射影, orthographic projection)은 대상물의 주요 면을 사영하는 면에 평행한 상태로 놓고 사영선은 서로 나란하게, 사영면에 수직으로 닿는다.

기하학으로 보면 임의 벡터 v를 서로 직교하는 단위 벡터로 수직 투영하여 나타내는 방법이다. 관점에 따라 임의 벡터를 직교하는 참조 벡터로 분해 한다고 볼 수 있다.


3개 이상의 직교 공간을 도식화 하기는 곤란 하지만 행렬의 벡터 공간의 표현에서는 임의의 직교 축을 얼마든지 정의 할 수 있다.



이를 좀더 일반화 해보자.



[0:09] 직교 투영(Orthogonal Projection)은 대규모 벡터 공간에 속한 벡터를 하위 기초 벡터 공간(original subspace)으로 투영(projection)하기 위한 방법이다. 먼저 대규모 벡터 공간부터 정의해보자.



- 대문자 V는 n-차원(dimension)의 대규모 벡터 공간이라고 하자.
- 대문자 W는 p-차원을 갖는 벡터 공간으로 대규모 벡터 공간 V의 하위 공간(subspace)이다. 그람-슈미트(Gram-Schmidt) 알고리즘으로 하위 공간 W의 직교 정규(ortho-normal) 기저 벡터(단위 벡터)를 구성 할 수 있다. 차원이 p 이므로 p 개의 기저 벡터가 있다.
- S는 벡터 공간 W의 직교정규 기저(ortho-normal basis) 벡터 공간이다.

대규모 벡터 공간 V 의 임의 벡터를 W 로 직교 정규 투영(orthogonal projection)하면 다음과 같이 표현 할 수 있다.



- 직교 투영은 벡터 v과 투영 공간 W 까지 가장 단거리에 해당된다는 점도 기억해 두자.

연습: 벡터의 직교 투영 구하기
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목표: 벡터 v를 W로 직각 투영 시켜라.


1) 벡터 공간 W의 기저 벡터에 대한 직교 단위 벡터 구하기(그람-슈미트 알고리즘)



2) 임의 벡터 v 를 W 벡터 공간으로 수직 투영,



3) 공간 W에 수직 투영된 벡터 v,





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위의 예제를 굳이 기하학적으로 살펴보면 이렇게 볼 수 있다.



실선으로 표시된 벡터 공간 W는 두 기저 벡터의 선형 조합으로 생성되는 수많은 벡터들의 집합이다. 공간 W로 직교 투영된 임의 벡터 v를 구하기 위해서 먼저 투영면이 될 W를 직교 정규화(ortho-normalize) 해야 한다.

벡터 공간 W에서 기저 벡터를 구하는 과정은 RREF(W). 이미 기저 벡터를 구해놨다. 두개의 기저 벡터가 나온 것을 봐서 W는 2차원 벡터 공간이다. 이 기저 벡터의 관계를 직교화 하고 정형화 하는 과정은 그람-슈미트 과정이다.

임의 벡터 v를 벡터 공간 W에 직교 투영 시키는 방법은 벡터의 전치 행렬과 투영면(공간)의 단위 벡터로 분할한 벡터 합과 같다.

도식적으로 표현하기 위해 점과 선을 사용하였으나 참고일 뿐이다. 개념적으로 이해하도록 하자.

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