W3.11 열 공간(Column Space)

[커세라] 이과생을 위한 행렬 대수

1주: 행렬(Matrics)
    W1.1 첫째주 강의 안내(Intro to Week One)
    W1.5 연습문제:행렬의 정의(Practice Quiz:Definition of Matrices)
    W1.9 연습문제:전치행렬과 역행렬(Practice Quiz:Transpose and Inverse Matrix)
    W1.13 연습문제:직교행렬(Practice Quiz: Orthogonal Matrix)
    W1.14 첫째주 평가문제(Week One Quiz)

2주: 선형 방정식 시스템(Systems of Linear Equations)
    W2.1 둘째 주 강의안내(Intro. to Week Two)
    W2.3 기약행사다리꼴(RREF: Reduced Row Echelon Form)
    W2.5 연습문제:가우스 소거법(Practice Quiz:Gaussian Elimination)
    W2.9 연습문제:LU 분해(Practice Quiz: LU Decomposition)
    W2.10 둘째주 평가문제(Week Two Quiz)

3주: 벡터 공간(Vector Space)/이 강의를 수강하는 이유
    W3.1 셋째주 강의안내(Intro. to Week Three)
    W3.2 벡터 공간(Vector Spaces)
    W3.3 선형독립(Linear Independence)
    W3.4 선형생성, 기저 그리고 차원(Span, Basis and Dimension)
    W3.5 연습문제:벡터공간(Practice Quiz:Vector Space Definition)
    W3.6 그람-슈미트 알고리즘(Gram-Schmidt Process)
    W3.7 그람-슈미트 알고리즘 예제(Gram-Schmidt Process Example)
    W3.8 연습문제:그람-슈미트 알고리즘(Practice Quiz:Gram-Schmidt Process)
    W3.9 영 공간(Null Space)
    W3.10 영 공간 활용(Application of the null space)

W3.11 열 공간(Column Space)/동영상/영문자막



[0:08] 행렬의 기초 벡터공간(Fundamental vector space)에 대해 공부하는중이다. 이미 영 공간(Null Space)에 대해 알아봤다.

'영 공간(Null Space)'은 '행렬 A 곱하기 벡터 x 가 0'이 되는 모든 열 벡터(column vector) x 의 집합이다


[0:40] 열 공간(Column Space)는 행렬의 열에서 선형 조합으로 생성된(linearly spanned) 벡터 공간이다. 열 공간이 왜 중요할까?




간단한 2 x 2 행렬에 임의의 벡터 x 를 곱한 예를 들어보자. 행렬과 벡터의 곱은 다시 두개의 항으로 나눌 수 있다. 각 항은 행렬의 열 벡터와의 곱이된다.



[2:00] 따라서 행렬과 벡터의 곱은 행렬의 열에 대한 선형 조합과 같다. 우변은 행렬의 열 공간에 포함된다. 따라서, 만일 Ax=b 라고 놓은 방정식이 해를 갖는다면 b 는 행렬 A의 열 공간에 포함되어야 한다. 당연히 Ax 도 행렬의 A의 열 공간에 포함되어야 한다. 열 공간이 중요한 이유가 바로 이점이다.

* Ax=b 가 해를 갖는다면, b와 Ax는 행렬 A를 구성하는 열로 만든 공간의 선형 확장에 포함되어야 한다.



[2:36] 이제 우리가 구해야 할 것은 행렬의 열공간을 만들기 위한 기저(basis)다. 행렬 A에서 선형독립인 열 공간을 이제 Col(A)라고 표시 하기로 한다(일반적으로 기저와 같다). 행렬 A의 열공간에 대한 기저를 구하고 그 차원을 구하는 것이 목표다.



아마도 행렬의 모든 열들이 선형독립은 아닐 것이다. 기저를 구하기 위해 선형독립으로 만듦으로써 작은 규모의 열로 재구성 되고 그로부터 차원(Dimension)을 얻는다.

[3:27] 행렬의 기저를 구하는 과정을 가장 쉽게 이해하는 방법은 역시 예제를 풀어보는 것이다. 칠판에 3행 5열의 행렬 A가 있다. 행에 비해 열의 갯수가 더 많다(Underdetermined system). 이 행렬의 열들은 기저 벡터에서 선형 되었을 것이며 선형종속임이 분명하다. 이제 행렬 A의 기저를 구해보자. 그 과정은 먼저 rref(A)를 구한다. 피벗 열의 갯수가 두개 나왔다. 이는 3행 5열 행렬은 바로 이 기저의 선형 조합 생성에 의해 만들어 진다.



[7:35] 일반적으로 행렬에 대한 RREF를 구해보면 피벗 열과 기저 열이 일치하며, 피벗 열의 갯수가 차원의 수가 된다. 위의 예에서 행렬 A의 차원은 2다.

연습: 다음과 같은 행렬에서 열 공간의 기저와 차원을 구하라.
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