아무나 하는 수학, 과학 & 라디오: W4.3 라플라스 전개(Laplace Expansion)

[커세라] 이과생을 위한 행렬 대수

1주: 행렬(Matrics)
W1.1 첫째주 강의 안내(Intro to Week One)
W1.5 연습문제:행렬의 정의(Practice Quiz:Definition of Matrices)
W1.9 연습문제:전치행렬과 역행렬(Practice Quiz:Transpose and Inverse Matrix)
W1.13 연습문제:직교행렬(Practice Quiz: Orthogonal Matrix)
W1.14 첫째주 평가문제(Week One Quiz)

2주: 선형 방정식 시스템(Systems of Linear Equations)
W2.1 둘째 주 강의안내(Intro. to Week Two)
W2.3 기약행사다리꼴(RREF: Reduced Row Echelon Form)
W2.5 연습문제:가우스 소거법(Practice Quiz:Gaussian Elimination)
W2.9 연습문제:LU 분해(Practice Quiz: LU Decomposition)
W2.10 둘째주 평가문제(Week Two Quiz)

3주: 벡터 공간(Vector Space)
W3.1 셋째주 강의안내(Intro. to Week Three)
W3.5 연습문제:벡터공간(Practice Quiz:Vector Space Definition)
W3.8 연습문제:그람-슈미트 알고리즘(Practice Quiz:Gram-Schmidt Process)
W3.13 연습문제:기초 하위 공간들(Practice Quiz:Fundamental Subspace)
W3.17 연습문제:정사영(Practice Quiz: Orthogonal Projection)
W3.18 셋째주 평가문제(Week Three Quiz)

4주: 고유치와 고유 벡터(Eigenvalues and Eigenvectors)
W4.1 넷째주 강의 안내(Introduction to Week Four)
W4.2 2대2, 3대3 행렬식(Two-by-two and Three-by-three determinants)

W4.3 라플라스 전개(Laplace Expansion)/동영상/영문자막

앞서 간단한 2대2와 3대3의 정방행렬식을 구하는 요령을 살펴봤다. 이를 좀더 일반화 하여 N 대 N 크기의 행렬식을 구하는 방법으로 라플라스 전개(Laplace Expansion)에 대해 알아보자.

먼저 3x3 행렬의 행렬식을 구하는 식을 되짚어보자. 3개의 2x2 행렬식으로 나눈 합과 같음을 알 수 있다. 한 행을 선택하여 그에 속한 열을 제외한 나머지 행렬 요소로 만든 작은 행렬식에 계수를 곱한다. 이렇게 만들어진 작은 행렬식을 모두 더하면 원 행렬식과 같다. 단, 작은 행렬식의 부호가 번갈아 순환된다는 점에 유의한다.

작은 행렬식으로 나누고 더하는 과정을 가장 간단한 2x2 행렬식이 될 때까지 반복하므로서 N x N 행렬의 행렬식을 구한다. 작은 행렬식을 만들기 위한 행 과 렬을 선택 할 때 0이 많이 포함 될 수록 계산이 단순하다는 점을 고려하도록 하자. 렬(column)의 요소가 모두 0 인 행렬식은 0이다. 행의 요소는 작은 행렬식의 계수가 되므로 0이 아닌 경우만 남는다. 따라서 0이 아닌 행(row)을 계수로 한 작은 행렬식만 남는다.

예를 들어보자.

2열에 0이 아닌 요소를 오직 한개 가지고 있다. 3번째 행을 기준 삼아 작은 행렬식으로 전개한 경우는 다음과 같다. 열이 모두 0으로 전개된 작은 행렬식은 0이다.