W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)

[커세라] 이과생을 위한 미분 방정식(Differential Equations for Engineers)

0주: 환영(Welcome)
    W0.1 강좌 예고(Course Trailer)
    W0.2~5 강좌 개요(Course Overview)
    W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
                     (Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)

1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
    W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
    W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
    W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
    W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
    W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
    W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
    W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
    W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application: Compound interest)
    W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application: Terminal Velocity)
    W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application: RC Circuit)
    W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)
    W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)

2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)
    W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)
    W2.2/11강 중첩의 원리(Principle of Superposition)

W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)/동영상/영문자막



2차 선형 미분방정식의 해를 구하기에 유용한 두가지 요령을 소개한다. 앞서 배웠던 중첩의 원리(principle of superposition)와 이번에 배울 론스키 행렬식(Wronskian determinant)이다.

다음과 같은 2차 미분 방정식에 대하여,



두개의 해를 각각 X_1(t) 와 X_2(t)라고 하자. 중첩의 원리(principle of superposition)에 따라 다음과 같은 일반해(general solution)를 갖는다.



이 일반해는 다음과 같은 초기조건(initial conditions)을 만족하는 해를 선형 조합(각 해에 상수를 곱하고 더하여)하여 얻어진 것이다.



그렇다면 이 일반해 역시 초기조건(t_0일때 가져야 할 값은 x_0 와 u_0)을 만족해야 한다.



두개의 방정식으로 구성된 연립방정식에 대하여 상수 c_1과 c_2의 행렬을 구성 할 수 있다. 이 연립방정식(the system)이 해를 가지려면 그 행렬식(determinant)은 반드시 0이 아니어야 한다. 이 행렬식을 론스키 행렬식(the Wronskian)이라 한다.

We write down the system of two linear equations for C1 and C2. That leads us to a unique solution when this determinant is not equal to 0. The determinant is what's called the Wronskian.



Then I showed you two examples where these functions are sines and cosines, and showed you that the Wronskian in this example is not 0, provided this omega is also not 0.



이제까지 배운 두개의 이론(중첩의 원리와 론스키 행렬식) 미분 방정식을 푸는데 어떻게 이용되는지 배울 차례다.

[연습]----------------------------------------------------------------