0주: 환영(Welcome)
W0.1 강좌 예고(Course Trailer)
W0.2~5 강좌 개요(Course Overview)
W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
(Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)
1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application: Compound interest)
W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application: Terminal Velocity)
W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application: RC Circuit)
W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)
W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)
2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)
W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)
W2.2/11강 중첩의 원리(Principle of Superposition)
W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)
W2.4/보강1 복소수(complex numbers)
W2.5/13강 일원 2차 상미분 방정식(Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.6/14강 예제1: 2개의 실근(Case1: Distinct Real Roots)
W2.7/15강 예제2A: 켤레 복소수 근 A(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part A))
W2.8/16강 예제2B: 켤레 복소수 근 B(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part B))
W2.9/17강 예제3A: 중근 A(Case 3: Repeated Roots (Part A))
W2.10/18강 예제3B: 중근 B(Case 3: Repeated Roots (Part B))
W2.11 연습문제(Practice quiz: Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.12/19강 이원 2차 상미분 방정식(Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.13/20강 지수함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Exponential func.)
W2.14/21강 삼각함수꼴 이원항(A)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part A)
W2.15/22강 삼각함수꼴 이원항(B)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part B)
W2.16/23강 다항함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Polynomials)
W2.17/24강 공진현상(Resonance)
W2.18 연습문제(Practice quiz: Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.19/보강2 차원해석(Dimensional Analysis: Nondimensionalization)
W2.20/25강 응용: RLC회로(Application: RLC Circuit)
W2.21/26강 응용: 스프링에 달린 질량(Application: mass on a spring)
W2.22/27강 응용: 진자운동(Application: Pendulum)
W2.23/28강 응용: 감쇄공진(Application: Damped Resonance)
W2.24 평가문제(Week-2 Graded Quiz)
3주: 라플라스 변환과 급수해(Laplace Transform and Series Solution)
W3.1/29강 라플라스 변환의 정의(Definition of Laplace Transform)/동영상/영문자막
1차 2차 상미분 방정식의 해를 구하는 방법에 대해 배웠다. 미분 방정식을 푸는 방법으로 몇가지 기본 유형에 대해 가설해법(ansatz)을 사용 하였다. 오늘날 전자계산기의 덕분에 수치해석적 방법으로 해를 구하는 방법(Numerical method)이 널리 알려져 있지만 사실 미분 방정식을 손으로 해를 구하기(analytic solution)는 매우 어렵다. 굳이 어려운 정도를 말하자면 불가능하다. 따라서 문제를 단순화하고 가설을 세우며 풀기 쉽게 변환하는 기법이 동원된다. 3주차에 배울 미분 방정식 풀이는 적분(미분방정식의 풀이)하기 쉽게 변환하는 방법중 하나다.
이런류의 변환은 아주 많은데 그중 라플라스 변환(Laplace Transform) 기법을 배운다. '변환'과 그 변환을 발명한 사람의 이름이 주는 중압감에서 벗어나자. 풀어야 할 방정식을 적분을 하기 쉬운 형대로 바꿔 놓은 것이다. 다행이 이 변환은 선형적(linear)을 가지고 있으며 가역적(invertable)이다.
라플라스 변환은 t의 함수 f(t)와 지수함수 exp(-st)를 곱하여 0에서 ∞ 로 t에 대해 적분하면 s의 함수 F(s)를 얻는다. 이렇게 지수함수를 매개로한 적분에 의한 변환은,
선형성이 있으며,
가역적이다.
미분 방정식을 풀기위해 라플라스 변환을 응용하는 것이므로 증명은 따로하지 않겠다. 그리고 이 변환 자체로도 매우 어려운 과제여서 일일이 풀기 어려우므로 여러유형의 함수에 대한 라플라스 변환은 표를 참조하자.
그중 간단한 예는,
라플라스 변환의 활용: 미분 방정식을 직접 풀수(direct solution)도 있으나 매우 어렵다. 문제의 미분 방정식을 라플라스 변환하여 적분하기 수월한 형태로 바꿔(대수 방정식, algebraic equation) 해를 구한 후 그 해에 대해 라플라스 역변환하여 원 미분 방정식을 구한다. 물론 라플라스 역변환은 쉽지 않다.
[연습]--------------------------------------------------------------------------
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