아무나 하는 수학, 과학 & 라디오

2019년 5월 4일 토요일

W4.4/40강 실근 고유치(Distinct real eigenvalue)

[커세라] 이과생을 위한 미분 방정식(Differential Equations for Engineers)

0주: 환영(Welcome)
W0.1 강좌 예고(Course Trailer)
W0.2~5 강좌 개요(Course Overview)
W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
(Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)

1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application: Compound interest)
W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application: Terminal Velocity)
W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application: RC Circuit)
W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)
W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)

2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)
W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)
W2.2/11강 중첩의 원리(Principle of Superposition)
W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)
W2.4/보강1 복소수(complex numbers)
W2.5/13강 일원 2차 상미분 방정식 (Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.6/14강 예제1: 2개의 실근(Case1: Distinct Real Roots)
W2.7/15강 예제2A: 켤레 복소수 근 A(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part A))
W2.8/16강 예제2B: 켤레 복소수 근 B(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part B))
W2.9/17강 예제3A: 중근 A(Case 3: Repeated Roots (Part A))
W2.10/18강 예제3B: 중근 B(Case 3: Repeated Roots (Part B))
W2.11 연습문제(Practice quiz: Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.12/19강 이원 2차 상미분 방정식(Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.13/20강 지수함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Exponential func.)
W2.14/21강 삼각함수꼴 이원항(A)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part A)
W2.15/22강 삼각함수꼴 이원항(B)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part B)
W2.16/23강 다항함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Polynomials)
W2.17/24강 공진현상(Resonance)
W2.18 연습문제(Practice quiz: Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.19/보강2 차원해석(Dimensional Analysis: Nondimensionalization)
W2.20/25강 응용: RLC회로(Application: RLC Circuit)
W2.21/26강 응용: 스프링에 달린 질량(Application: mass on a spring)
W2.22/27강 응용: 진자운동(Application: Pendulum)
W2.23/28강 응용: 감쇄공진(Application: Damped Resonance)
W2.24 평가문제(Week-2 Graded Quiz)

3주: 라플라스 변환과 급수해(Laplace Transform and Series Solution)
W3.1/29강 라플라스 변환의 정의(Definition of Laplace Transform)
W3.2/30강 상미분 방정식의 라플라스 변환(Laplace transform of a const.coeff.ode)
W3.3/31강 초기값 문제의 해(Solution of an Initial Value Problem)
W3.4 연습문제:라플라스 변환(Practice Quiz: Laplace Transform)
W3.5/32강 단위 계단함수(The heaviside step functions)
W3.6/33강 디랙-델타 함수(The Dirac delta function)
W3.7/34강 불연속 함수를 이원항으로 갖는 미분 방정식의 풀이
(solution of a discontinuous inhomogeneous term)
W3.8/35강 임펄스 함수를 이원항으로 갖는 미분 방정식의 풀이
(Solution of an impulsive inhomogeneous term)
W3.9 연습문제:불연속 및 임펄스 이원항
  (Practice Quiz: Discontinuous and Impulse Inhomogeneous Term)
W3.10/36강 급수해법(The Series Solution Method)
W3.11/37강 에어리 방정식의 급수해-A
  (Series solution of the Airy's equation-Part A)
W3.12/38강 에어리 방정식의 급수해-B
  (Series solution of the Airy's equation-Part B)
W3.13 연습문제:급수해(Practice Quiz: Series Solutions)

두실근을 갖는 고유치 문제(eigenvalue problem)를 풀어보자. 다음과 같이 두 일원 1차 미분 방정식으로 기술된 시스템의 일반해(general solution)를 구하라.

행렬로 기술하여 한개의 행렬대수 미분 방정식이 되었다.

가설해를 다음과 같이 두고, 고유벡터 v와 지수부의 고유값 λ를 구해 해를 완성하는 것이 풀이의 목표다.

미분 방정식을 풀면, 행렬 대수식이 된다.

이 행렬 대수 방정식에서 고유 벡터 v가 존재 하려면(영벡터가 아닌) 행렬식(determinant)이 0 이어야 한다. 이를 만족하는 특성 방정식(characteristic equation)은

특성 방정식을 풀어 두개의 고유값(eigenvalue)을 구했다.

각각의 고유값을 가설해에 적용하여 고유 벡터(eigenvector)를 구할 차례다. 먼저,

그리고,

고유치와 고유벡터를 적용하여 두개의 가설해를 구했다. 이를 중첩의 원리를 적용하여 일반 해를 구하자.

또는,

[연습]---------------------------------------------

2019년 5월 3일 금요일

W4.3/39강 선형 일원 1차 미분방정식 시스템(System of Homogeneous Linear 1-st order ODE)

W3.14 평가문제(Week-3 Grade Quiz)

4주: 선형 미분 방정식 시스템(Systems of linear differential equation)
W4.1/보강3 행렬과 행렬식(Matrices and Determinant)
W4.2/보강4 고유치 및 고유값(Eigenvalue and Eigenvectors)

W4.3/39강 선형 일원 1차 미분방정식 시스템
(System of Homogeneous Linear 1-st order ODE) /동영상/영문자막

한개 이상의 방정식으로 기술되었을 때 시스템(system)이라 한다. 복수의 선형 방정식의 해를 구하는 방법은 흔히 연립 방정식의 풀이법 이라고 알려져 있으며 행렬 연산이 진가를 발휘한다(realm of matrix algebra).

다음과 같이 상수 계수를 갖는 선형 일원 1차 미분 방정식(homogeneous linear ODEs with constant coefficients)으로 기술된 시스템이 있다.

시스템을 행렬의 형식으로 기술하면 다음과 같다.

행렬은 시스템을 단일의 방정식으로 시굴 할 수 있게 해준다. 위의 행렬 형식에서 x는 2x1 벡터(vector), A 는 2x2 행렬(matrix)이다.

위의 미분 방정식을 풀어보자. 미분 방정식 풀이의 시작은 가설해(ansatz)의 설정이다. 미분 방정식의 해로서 미분과 적분을 거듭해도 원형의 변화가 없는 지수함수를 가정해 놓으면 풀이과정이 수월하다.

복수의 가설해(2개의 방정식으로 기술된 시스템이므로 2개의 가설해가 나온다)를 구하고 이 해의 선형 결합(각 해에 대한 상수 곱과 중첩)을 통해 일반 해를 구한다. 이는 앞서 배웠던 미분 방정식의 해법과 다르지 않다. 가설해에서 구해야 할 것은 벡터 v와 지수의 λ 다. 벡터 v는 시간 t와 독립으로 고유 벡터(eigenvector)라 한다. 가설해 x(t)를 미분하여 방정식에 대입하면 다음과 같다.

양변의 지수함수는 소거되어(지수함수를 미분 방정식의 해로 가설해 놓은 근본적 이유) 미분 방정식이 고유치 문제(eigenvalue problem)로 단순해진다(까다로운 비적분 대신 대수식 풀이 과정이되었다).

위의 고유치 문제에서 A는 2x2 행렬이다. 이 행렬의 특정 방정식(characteristic equation, 판별식)은 다음과 같다. 이 판별식의 의미는 행렬 A에 대하여 고유치 λ를 가지려면 행렬식(determinant)가 0 이어야 한다.

행렬식을 풀어놓으면 다음과 같이 고유치 λ의 2차 방정식이 된다. 이 2차 방정식의 해(가설해에서 구해야 할 값이 λ와 v 였다)는 세가지 경우가 있다: 실근(distinct real root), 허근(complex-conjugate root), 중근(repeated root). 중근이 나오는 경우는 매우 특수하여 나중에 따로 다루기로 하고 이번 강좌에서는 실근과 허근의 경우만을 다룰 것이다.

[연습]---------------------------------------

2019년 5월 2일 목요일

W4.2/보강4 고유치 및 고유값(Eigenvalue and Eigenvectors)

W4.1/보강3 행렬과 행렬식(Matrices and Determinant)

W3.14 평가문제(Week-3 Grade Quiz)

4주: 선형 미분 방정식 시스템(Systems of linear differential equation)

W4.1/보강3 행렬과 행렬식(Matrices and Determinant) /동영상/영문자막

행렬(Matrices)은 매우 중요한 수학 도구다. 4주차 강좌에서 한개 이상의 작용이 섞여 작용하는 복합적인 계(coupled system)를 기술한 선형 미분 방정식을 다룬다. 그 해를 구하는 수학도구로 '행렬 대수'를 사용할 것이다. '행렬 대수(Matrix Algebra)'를 다룬 강좌를 마련해 두었으니 참조하기로 하자.

[연계강좌] '이과생을 위한 행렬 대수' (4주)

행렬연산을 미분 방정식의 풀이에 활용하기 전에 먼저 행렬의 연산 특성을 알아보자.

1. 행렬의 연산

1-1. 행렬의 덧셈

1-2. 행렬의 상수곱

1-3. 행렬의 곱셈(주의! 교환법칙은성립않됨)

2. 선형 연립방정식의 풀이
2-1. 행렬 연산으로 기술

2-2. 항등원(Identity)

2-3. 행렬식(Determinant)

2019년 5월 1일 수요일

4주: 선형 미분 방정식 시스템(Systems of linear differential equation)

W3.14 평가문제(Week-3 Grade Quiz)

4주: 선형 미분 방정식 시스템(Systems of linear differential equation)/동영상/영문자막

In this module, we'll learn how to solve coupled systems of linear differential equations.

These systems can be written as matrix equations, and are solved using eigenvalues and eigenvectors.

I'll then discuss the problem of normal modes, where coupled oscillators all vibrate at the same frequency.

We'll then solve the diffusion equation or partial differential equation.

To do this, we'll need to learn the basics of Fourier series. Please join me in this module of differential equations for engineers.