1주: 물질과 힘 그리고 측정(Matter and forces, measuring and counting)
W1.0 환영(Welcome)
W1.1 물질(Matter)
W1.2 힘(Forces)
W1.2a 자연단위(Natural units)
W1.2b 특수 상대론과 4-벡터(Special relativity and four-vector)/동영상/영문자막/슬라이드
특수 상대론과 4-벡터를 배웠지만 기억이 가물한 사람들을 위해 만든 동영상. 특수 상대론과 4-벡터는 미시 입자의 세계를 이해하는 아주 중요한 도구다.
고 에너지(high energy)를 가짐으로 인해 빛의 속도로 움직이는 입자의 세계에서 일어나는 현상을 기술하기 위해 상대론적 접근 방법이 필요하다.
- 특수 상대론(special relativity)은 실험(경험)을 통해 얻은 다음과 같은 빛의 속도에 대한 발견을 기초로 한다.
> 빛의 속도 c는 모든 관성 좌표계(inertial frame)에서 동일하다. 이는 갈릴레이(Galilean) 식의 속도 가감이 유효하지 않다는 뜻이다.
> 어떤 기준 좌표계에서도 빛의 속도보다 빠르게 움직일 수 없다.
- 운동은 4차원 벡터 공간(four-vector space)으로 기술된다. 이 사차원 공간을 시공간(space-time)이라고 부른다. 직각 좌표계(Cartesian coordinates)로 표현한 (ct, x)를 간략한 표현을 위해 x^μ로 표기 하는데 이를 4-벡터라 한다(그리스어를 윗 첨자 혹은 아랫 첨자로 사용한 표현은 시공간에서 한 점 벡터의 표기법이다. 그저 편의를 위한 표기법일 뿐이다.).
- The metric of space-time is defined by the speed of light c, an invariant constant in
every inertial frame.
시공간(space-time)의 측량(metric)은 빛의 속도 c를 기준으로 하며 어떤 관성 좌표계(inertial frame)에서도 변함이 없다. (등속운동을 하는 한 서로 다른 속도로 움직이는 좌표계에서도 빛의 속도는 같다.)
* 좌표계의 기준이 되는 각 축은 서로 직교하며 차원이 같아야 한다. 공간을 나타내는 차원은 거리다. 이 공간(space) 좌표계에 시간(time)을 추가하여 시공간(space-time)을 정의 하려 한다. 물리적으로 시간과 거리는 같은 차원이 아니다. 따라서 빛의 속도 c에 시간을 곱하여 거리의 차원으로 만들었다. 빛의 속도는 고정된 값(상수)으로 이미 자연단위(natural unit)계에서 c=1로 취급하기로 했었다. 이렇게 시간과 공간을 결합한 시공간을 정의함으로써 시간과 공간이 뒤섞여 취급할 수 있게 되었다.
- Suppose that a light ray connects two events (ct1,x1) and (ct2,x2).
빛이 두 사건(event)에 비춰졌다고 하자. ('변화의 감지'를 '사건'이라고 하자. 일테면 등속운동하는 물체를 두번 시간을 두고 감지 했다. 감지하려면 당연히 빛이 비춰 져야 한다.)
- The distance between these two points in space is always proportional to the propagation time (t1 – t2) of the light.
이 두 '사건'이 일어난 지점 사이의 거리(물체가 움직인거리)는 빛이 전파된 시간차에 비례할 것이다.
- Since the proportionality constant, the speed of light, is the same in every inertial frame, it follows that the norm s of a four-vector is also constant.
비례상수가 빛의 속도로서 모든 관성 좌표계에서 동일 하므로 어떤 관성 좌표계에서 보든 4-벡터의 정규값(norm) s는 변함이 없다(invariant).
- Lorentz transformations describe the rotations and translations of space-time which are compatible with these principles.
* 모든 관성 좌표계에서 빛의 속도가 동일할 때 발생하는 모순:
두 관측자가 광원까지 거리를 측정한다. 한 관측자는 서서, 한 관측자는 v의 속도로 이동중이다. 처음 t1=t'1일때 두 관측자가 측정한 광원까지의 거리는 s1=s'1로 같다.
시간이 흘러 t2에서 서있던 관측자가 측정한 광원까지의 거리는 여전히 s1=s2이다. 등속운동하는 관측자가 측정한 광원까지 거리는 s'2 = s'1+(v*(t'2-t'1))이다. 즉, s'1≠s'2이며 당연히 s2≠s'2. 이는 t2 에서 빛이 이동한 거리가 다르다. 그렇다면 광원에서 이동하는 관측자까지 도달하는 빛의 속도가 c+v로 빨라 지거나 t2<t'2로 이동하는 관측자의 시간단위가 길어져야 한다. 빛의 속도는 항상 변함이 없어야 하므로 시간이 느려질 수 밖에 없다. 이런 모순은 로런츠 변환로 해결된다.
[참고]
1. 로런츠 변환,
"...전자기학(빛=전자기파)과 고전역학 간의 모순을 해결해 낸 특수상대성이론의 기본을 이루는 변환식이다. 예를 들어, 이 변환식을 사용해서 기준 관성계에 일정한 속도로 운동하는 다른 관성계에서 관찰한 입자의 궤적이 어떻게 되는지를 계산할 수 있다. 로런츠 변환은 고전 역학의 갈릴레이 변환을 대체하는 식이다. 이 변환식은 진공에서의 빛의 속도 c를 계수로 포함한다. c를 무한대로 두면 식은 갈릴레이 변환과 동일하게 된다."
2. Lorentz transformation, https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation
로런츠 변환(Lorentz transformation)의 예를 들어 보기로 한다.
Let us specify Lorentz transformations by a simple example:
- Let (ct,x) and (ct’,x’) be two reference frames, the first one at rest in the laboratory, the second one moving relative to the first one at constant velocity v in the direction of the x axis, which is parallel in the two frames.
두개의 기준 좌표계(reference frame) (ct,x) 와 (ct’,x’)가 있다. 한 좌표계는 실험실에 고정되어 있고 다른 좌표계는 다른 좌표계에 대해 등속 v로 운동 한다. 시공간 좌표계에서 공간은 한개 축 x만 고려 하기로 한다. 두 좌표계는 x축으로 평행하다.
- Which are the coordinates of one point (ct’,x’) in the moving frame expressed in the coordinates of the laboratory frame?
고정된 좌표계의 한 점을 움직이는 좌표계 (ct’,x’)에서는 어떻게 나타낼 수 있을까?
The answer is given by the Lorentz transformation, which relates t’ and x’ to t and x by the relative velocity β=v/c and the relativistic factor γ.
로런츠 변환 공식은 움직이는 좌표계의 t'과 x'를 상대속도 β=v/c 와 상대론 인자 γ 만큼의 차이를 두고 고정 좌표계 t와 x에 대응시킨다.
- The transformation corresponds to a rotation in space-time which leaves the norm of four-vectors like x^μ invariant.
이 변환은 시공간에서 x^μ invariant가 유지되는한 회전 변환에 대해서도 동일 하게 적용된다.
- 속도가 광속에 비해 느린 비 상대론 상황에서는 v ≪ c, i.e. β ≪ 1 이므로 상대성 인자 γ ⟶ 1가 되어 로런츠 변환은 결국 갈릴레이 변환과 일치한다. 즉, t=t’ 그리고 x’=x-vt.
[주의] 아래 한글 주석 사항은 완벽하지 않다. 당장 받아들이기 편하도록 단정적으로 첨언한 것이다. 혹시 받아들이기 불편하다면 강의 원문을 보라.
* 추상적인 수리 개념을 수학 기호로 표현하기는 매우 곤란할 때가 있다. 여러 개념을 한데 묶는 방법으로 행렬이 쓰인다. 그 행렬 조차 일일이 나열 하려면 여간 번거롭지 않다 그래서 새로운 표기법이 생겼다. 상대론을 입문서를 처음 접했을 때 봤던 문구 중, "기호에 너무 기죽지 마세요"
* 벡터(vector): n행 1열(혹은 1행 n열) 행렬을 벡터라고 한다. 4-벡터는 n=4인 경우를 말한다. 여러 원소들을 가진 행렬은 다양한 수학적 의미를 담고 있다. 높은 추상성을 갖는 행렬을 일일이 표현하기도 여간 번거롭지 않다. 추상적 의미를 갖는 4-벡터는 한개의 문자와 그리스 윗-아랫 첨자를 부여한 표기법을 사용한다.
- Four-vector notation unites time and space coordinates in a single vector.
4-벡터 표기법은 시간과 공간을 하나의 벡터(1열 짜리 행렬)로 표현하기 위한 방법이다.
- Four-vectors transforming like the four-vector xμ of space-time under Lorentz transformations are called contravariant.
로런츠 변환 하에서 시공간의 4-벡터 x^μ 같은 4-벡터 변환을 반변(contravariant)벡터라 한다.
* 당장 이해하지 못하더라도 벡터를 대표하는 문자에 그리스 윗첨자를 붙여 반변(시간과 공간이 서로 반대 방향으로 변한다는 의미로 contra-variant)의 4-벡터의 표기법이라고 알아두자. 그리스 문자 μ는 벡터의 원소를 개별적으로 지칭하는 것으로 0,1,2,3 중 하나다.
- An important example is the contravariant energy-momentum vector p^μ.
반변 벡터의 중요한 예는 에너지-운동량()벡터 p^μ가 있다.
- The norm of a four-vector is defined via the scalar product between a contravariant four-vector and its covariant form. The two are related by the metric tensor g_μυ as shown.
4-벡터의 놀(norm)은 반변 벡터와 공변 벡터의 스칼라 곱으로 정의 된다. 두 벡터 사의 관계는 측량 텐서에 의해 변환된다.
* 놈(norm): 벡터의 길이(length)라고 해두자. 벡터는 서로 직교관계에 있는 좌표계의 한점이다. 벡터의 길이는 원점에서 가장 가까운 직선 거리다. 길이의 제곱은 피타고라스 정리에 의해 각 원소의 제곱 합으로 계산된다. 참고로 '노름 공간' 또는 norm(mathematics).
* 스칼라 곱(scalar product): 행 벡터와 열 벡터를 곱하면 한개의 특정 값을 갖는다. 이 단일 값을 갖는 개체를 스칼라(scalar)라고 한다. 두개의 벡터에서 숫자 한개가 나오는 곱셈이다.
* 측량 텐서(metric tensor): 측정 눈금(metric)의 역활을 하는 행렬이다. 대개 대각 행렬(diagonal matrix)의 형식을 취한다. 아주 일반적인 측량 텐서로 단위 행렬(identity matrix)이 있다.
- All scalar products between four-vectors are invariant under Lorentz transformation.
4-벡터의 스칼라 곱은 모두 로런츠 변환에서 동등(invariant) 하다.
- More generally, the scalar product is thus defined as the product between a co- and a contra-variant four-vector. When the same Greek index shows up in the two, implicit summation over this index from 0 to 3 is assumed.
좀더 일반적으로 말하자면 스칼라 곱은 공변 과 반변 벡터 사이의 곱으로 정의된다. 동일한 그리스 문자로 첨자를 두군데 붙이는데 0에서 3까지 변하는 첨자에 대한 합의 의미를 갖는다. (행벡터와 열벡터를 곱해 한개의 스칼라를 계산 했다는 표기법이다.)
- The first example repeats the norm (squared) of the space-time four-vector.
첫번째 예는 시공간 4-벡터에서 벡터의 크기를 계산한 경우다. 공변과 반변 벡터의 스칼라 곱을 간단하게 표기하였음을 보여준다.
The second example shows the norm of the energy-momentum four-vector, which is the square of the invariant mass.
두번째 예는 시공간에서 에너지-운동량 벡터의 길이를 계산한다. 불변의 질량 제곱이다.
The third example is the scalar product between the space-time and the energy-momentum four-vector. This product shows up in the wave function of particles.
세번째 예는 시공간 4-벡터와 에너지-운동량 4-벡터의 스칼라곱이다. 이 곱은 입자의 파동함수에 나온다. (에너지-운동량을 갖는 입자가 시공간에서 움직인다.)
- The scalar products between four-vectors are all indeed scalars under Lorentz transformation, invariant when one changes from one inertial frame to another.
로렌츠 변환 하에서 4-벡터 사이의 스칼라 곱은 모두 관성계에 무관한 불변의 스칼라다.
- The notation simplifies tremendously when one adopts the system of natural units, since the ubiquitous speed of light disappears.
불변인 빛의 속도를 일일이 쓰지 않기 위해 '자연 단위'를 적용하여 수식을 단순화 한다.
Two other important examples of four-vectors are:
4-벡터의 중요한 두가지 예를 들어보자.(물리적 의미는 나중에 알아보더라도 4-벡터 표기 법에 익숙해 지도록 하자.)
- The four-vector of the electromagnetic current density j^μ, which has the charge density ρ as the time-like component, and the vector of current density j as the space-like component.
전자기 전류밀도(electromagnetic current density) j^μ를 시간측 성분의 전하밀도 ρ와 공간측으로는 전류밀도 j의 공간 벡터로 구성된 4-벡터로 표현 할 수 있다
- The four-vector of the electromagnetic potential A^μ, which has the electric potential V as the time-like component and the magnetic vector potential A as the space-like component.
시간측 성분으로 전위차 V와 공간측 벡터로 전위차 A 로 구성된 전자기 전위(electromagnetic potential) A^μ를 4-벡터로 표현 할 수 있다.
*** 아래의 예가 왜 이 시점에 등장 하는지 알 수 없음.
[참고]
Available_energy(particle_collision),
https://en.wikipedia.org/wiki/Available_energy_(particle_collision)
[6:08]
As an example, we calculate here the total available energy in the collision of a 200 GeV electron with a proton at rest in the laboratory frame.
200기가 전자볼트(GeV)의 전자(electron)가 실험실 좌표계의 정지상태인 양성자(proton)와 충돌 할 때 나오는 총 가용 에너지(available energy, 충돌로 인하여 새로운 입자가 생겨나기에 필요한 충돌 하는 입자가 가져야할 운동 에너지)를 계산해 보자.
아울러 200 기가 전자볼트의 전자가 역시 200 기가 전자 볼트의 양성자와 충돌하는 경우, 질량의 중심에서 충돌로 계산된 결과와 비교해 본다.
>> As an example we calculate the kinematics of a two body process in the laboratory and the center of mass frame.
두 물체의 운동을 (정지한) 실험실 좌표계와 질량의 중심 좌표계로 각각 계산해보기로 한다.
1. 정지한 실험실 좌표계애서 충돌 에너지
In the laboratory frame a particle of mass m impacts on a particle of mass M at rest. We calculate the total energy-momentum vector in this frame as well as the square of its length, s.
실험실 좌표계에서 질량 m인 입자가 질량 M인 정지해 있는 입자에 충격을 가했다. 이때 총 에너지-운동량 벡터를 실험실 좌표계에서 벡터의 길이의 제곱으로서 계산 한다.
When one neglects all masses in the system one obtains that the maximum invariant mass which can be produced is equal to square root of 2EM.
이 시스템에서 한 쪽이 모든 질량을 잃을 때 다른 한쪽은 2EM의 제곱근에 해당하는 최대 불변질량을 얻는다. 이 충돌로 생성될 수 있는 최대 불변 질량이다.
In our numerical example this corresponds to 14GeV.
값을 구해보면 약 14기가 전자 볼트(GeV)가 나온다.
2. 두 입자의 질량 중심 좌표계에서 충돌 에너지
In the center of mass frame on the contrary the two particles impact on each other with equal and opposite momenta.
이번에는 두 입자의 질량 중심에 좌표를 설정한다, 두 입자가 양은 동일하지만 정반대 방향에서 충돌한다.
The same calculation leads us to an invariant mass which can be produced, which is two times the energy of either particle or 200 GeV in our example.
동일한 계산법으로 계산을 해보면 생성된 불변질량은 각 입자가 가진 에너지의 두배인 200 기가 전자볼트가 된다.
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