2018년 12월 16일 일요일

W4.11 행렬 대각화(Matrix Diagonalization)

[커세라] 이과생을 위한 행렬 대수

1주: 행렬(Matrics)
    W1.1 첫째주 강의 안내(Intro to Week One)
    W1.5 연습문제:행렬의 정의(Practice Quiz:Definition of Matrices)
    W1.9 연습문제:전치행렬과 역행렬(Practice Quiz:Transpose and Inverse Matrix)
    W1.13 연습문제:직교행렬(Practice Quiz: Orthogonal Matrix)
    W1.14 첫째주 평가문제(Week One Quiz)

2주: 선형 방정식 시스템(Systems of Linear Equations)
    W2.1 둘째 주 강의안내(Intro. to Week Two)
    W2.3 기약행사다리꼴(RREF: Reduced Row Echelon Form)
    W2.5 연습문제:가우스 소거법(Practice Quiz:Gaussian Elimination)
    W2.9 연습문제:LU 분해(Practice Quiz: LU Decomposition)
    W2.10 둘째주 평가문제(Week Two Quiz)

3주: 벡터 공간(Vector Space)
    W3.1 셋째주 강의안내(Intro. to Week Three)
    W3.5 연습문제:벡터공간(Practice Quiz:Vector Space Definition)
    W3.8 연습문제:그람-슈미트 알고리즘(Practice Quiz:Gram-Schmidt Process)
    W3.13 연습문제:기초 하위 공간들(Practice Quiz:Fundamental Subspace)
    W3.17 연습문제:정사영(Practice Quiz: Orthogonal Projection)
    W3.18 셋째주 평가문제(Week Three Quiz)

4주: 고유치와 고유 벡터(Eigenvalues and Eigenvectors)
    W4.1 넷째주 강의 안내(Introduction to Week Four)
    W4.2 2대2, 3대3 행렬식(Two-by-two and Three-by-three determinants)
    W4.3 라플라스 전개(Laplace Expansion)
    W4.4 라이프니쯔 공식(Leibniz Formula)
    W4.5 행렬식의 속성(Properties of Determinants)
    W4.6 연습문제:행렬식(Practice Quiz:Determinants)
    W4.7 고유치 문제(Eigenvalue Problem)
    W4.8 고유치 및 고유 벡터 구하기 1(Finding Eigenvalues and Eigenvectors 1)
    W4.9 고유치 및 고유 벡터 구하기 2(Finding Eigenvalues and Eigenvectors 2)
    W4.10 연습문제:고유치 문제(Practice Quiz:Eigenvalue Problem)

W4.11 행렬 대각화(Matrix Diagonalization)/동영상/영문자막



어떤 n대n 행렬 A가 선형 독립(linear independent)인 n 개의 고유 벡터(eigenvector)를 가진다면 대각행렬(diagonal matrix)로 변환하기 위한 행렬 곱셈이 아주 수월해진다. 대칭행렬(symmetric matrix)이 바로 그런 경우다.

대각행렬로 만들려는 이유는 다루기(계산하기) 쉽기 때문이다. 다수의 방정식으로 구성된 시스템(연립방정식)을 풀어야 할 때, 방정식들을 분리해내면 각 방정식을 따로 독립시켜놓으면 당연히 풀기 수월 하다. 따라서 대각화(diagonalization)은 행렬 대수에서 아주 중요한 주제다.

먼저 간단한 2대2 행렬의 대각화 과정을 살펴보자. 행렬 A는 고유값 문제를 풀어 두개의 고유값을 가지며, 그 고유값으로부터 각각 두개의 고유 벡터를 얻었다. 이 고유 벡터는 선형 독립이다.




행렬 A와 두 고유벡터를 열로 삼은 행렬의 곱은 다시 고유벡터 행렬 S와 고유값을 대각 원소로 하는 우하향 대각 행렬의 곱이 됨을 알 수 있다.



이 관계식을 n대n 행렬로 일반화 하면 다음과 같다. S는 A의 각기 다른 고유벡터를 열로 삼은 행렬이며, 대문자 람다는 고유값을 원소로 하는 대각행렬이다.



S는 역행렬을 가지므로 다음과 같은 관계식이 성립한다.



연습1: 서로다른 고유치에서 얻은 고유 벡터는 선형 독립임을 보여라.


연습2: n대n 행렬의 열(column)들이 선형독립인 벡터라면 이 행렬은 역행렬을 가짐을 증명하라. (서로다른 고유치로부터 얻은 고유 벡터로 열을 구성한 행렬은 역행렬을 갖는다)




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