1주: 물질과 힘 그리고 측정(Matter and forces, measuring and counting)
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전편에서 물질로 존재(matter constituents)하는 페르미온(Fermions) 입자들(quarks & leptons)을 다뤘다. 이번 편은 힘을 전달(force carrier)하는 보존(Bosons) 입자들(photons, W, Z, gluon, Higgs)을 다룬다.
이번편을 마치면 다음과 같은 내용을 배우게 될 것이다.
- 입자에 작용하는 힘(forces)과 그 근원이 되는 전하(associated forces)
- 힘을 전달하는 입자들(particles transmitting these forces)
- 실 입자와 가상 입자들(real and virtual particles)
다음의 표에서 입자들 사이에 상호 작용을 비교하였다. 입자들 사이의 작용 강도(strength)와 범위(range)가 광범위 함에 주목하라.
- 강력(Strong force)은 쿼크(quark)와 쿼크로 구성된 입자들 사이에 작용하는 힘이다. 힘의 강도는 아주 세지만 작용 범위는 매우 좁다. 이 힘은 글루온(gluon)에 의해 전달된다.
- 전자기력(Electromagnetic force)은 전하를 띄는 모든 입자에 작용한다. 중간정도의 강도를 가지지만 무한대의 범위에서 작용한다. 전자기력은 광자(photon)에 의해 전달 된다.
- 약력(Weak force)는 모든 물질 입자(matter particle)에 작용한다. 힘의 세기는 약하지만 작용 범위는 넓다. 하지만 전자기력의 작용범위에 비할바는 못된다. 이 힘은 W와 Z 보존(boson)에 의해 전달 된다.
- 중력(Gravitational force)은 입자에 작용하는 힘 중 가장 약하다. 모든 입자에 작용하며 작용 범위는 무한대다. 우주의 개체들이 질량을 가지고 있는 까닭에 우주의 진화를 주도하는 힘이지만 원자 이하의 규모(subatomic scale)로 보면 무시할 만 하다(negligible). 입자 수준에서 중력이 어떤 식으로 작용하는지, 심지어 중력이 다른 세가지 힘처럼 양자화 되어있는지도 알지 못한다.
입자들 사이에 작용하는 힘의 강도는 서로 떨어진 거리에 밀접하게 관련된다는 점에 주목하자. 아울러 운동량 전달(momentum transfer)도 거리에 관련된다. 거리와 힘의 작용 관계는 힘의 종류마다 다르므로 각 힘을 다룰 때 설명 하겠다.
- 힘(force)은 스핀이 1인 보존(spin 1 bosons)들 사이의 교환(exchange)을 통해 전달(transmit)된다(관점을 바꿔 표현하면, 힘을 나르는 보존). 전자기 상호작용에 광자(photon)가 간여하며, 약력(weak force)는 W土와 Z 보존, 강력(strong force)는 글루온(gluon)사이의 교환을 통해 전달 된다. 이 보존들을 통털어 게이지 보존(gauge boson)이라 한다.
- 충분한 전하(charge)를 띄고 있는 입자는 보존 같은 입자를 방출하거나 흡수할 수 있다(예를 들어 외부에서 가속기 충돌 같이 힘을 가하면 다른 입자로 붕괴). 광자(photon)를 방출 하기위해 전기전하(electric charge)가 필요하다. '전하(charge)'의 의미가 꼭 '전기전하(electric charge)'에 국한 되는 것은 아니다. W 또는 Z 보존을 방출하기 위한 입자는 반드시 0 이 아닌 약한 하전 스핀(weak isospin)을 가져야 한다. 글루온(gluon)을 방출 하려면 반드시 강력인 컬러 하전(color charge)을 가져야 한다.
* 'Charge' 를 전하(電荷)로 번역되어서 마치 전기(electric)의 의미가 강하다. 입자의 전하는 입자가 보유한 발산되지 않은 힘으로 이해하는 편이 낳겠다. 전하는 電荷(물체가 띠고 있는 정전기의 양) 대신 轉荷(짐을 다른 곳으로 옮김)으로 이해하자.
- 힉스 보존(Higgs boson) 스핀이 0(spin 0) 인 유일한 입자다. 힉스 보존은 입자가 빛의 속도로 움직이게(moving at the speed of light) 해주는 역활을 한다. 이 역활은 힉스 입자 자신을 포함해 모든 입자에게 적용되며, 두가지 예외사항이 있다. 첫째, 광자(photon)은 이름이 의미하듯 그 자체로 빛의 속도로 움직인다. 둘째, 글루온(gluon)이다. 힉스 입자는 글루온이 쿼크 사이에 묶여 안정 상태를 유지시키는 역활을 한다(현실 세계의 물질이 존재케 만드는 역활). 이에 대해서 5장에서 다룰 것이다.
입자들 사이의 전환을 통해 힘이 전달되는 원리는 무엇일까? 이 반응을 이해하려면 고전 역학(classical mechanics)과 양자 물리(quantum physics)에서 설명하는 힘의 작용에 대해 알아볼 필요가 있다.
고전 물리학(classical physics)에서 힘의 작용을 어떻게 설명 할까?
- 입자는 확정된 위치에서 운동량(position and momentum with certainty)을 갖는 점질량(mass point)으로 기술된다.
- 입자의 운동은 공간에서 연속적인 시간의 함수로 기술되는데 이를 궤적(trajectory)이라 한다. 위치와 속도의 초기 조건이 알려졌다면 모든 힘의 벡터 총합이 입자의 운동이 된다.
- 힘의 작용은 연속적이다. 따라서 궤적은 부드러운 곡선이다.
- 입자의 갯수(number of particles)는 보전(conserve)되므로 점질량은 새로 생기거나 없어지지 않는다(고전 물리학의 질량보존) .
- 장(field)과 전위차(potential)는 힘과 에너지를 중심으로 형성되는 것으로 본다. 한 점전하가 가진 전위차(potential)에서 기원한 전기력과 에너지를 고전 물리학으로 기술한 예를 기술하면 다음과 같다.
* potential: 전기에서는 전위차, 운동(중력)은 거리차
고전 물리학에서 비 상대론적 속도(non-relativistic velocity)와 원자보다 훨씬 큰 규모(거리)를 다루는 관점에서 이런 (고전)물리법칙은 잘 맞는다.
고 에너지 아원자 체계(sub-atomic system at high energies)를 다루려면 고전 물리학을 넘어서야 한다.
양자 역학(Quantum mechanics)의 접근은 근본적으로 다르다.
이 진폭의 제곱 ρ = [ψ(t,x)]^2는 시간 t 와 위치 x에서 입자가 발견될 확율 밀도(probability density)다. 이 확률 밀도의 차원은 단위 부피당 확률이다.
- 원자 이하의 규모에서 궤적(trajectory)은 존재하지 않는다. 여러번에 걸친 입자의 위치 측정은 부드러운 곡선이 아니다(위치가 양자화 되어 있다. 불연속이다. 따라서 연속적인 운동경로를 전제로 하는 미적분으로 해석할 수 없다. 양자 역학은 새로운 수학이 필요하다. 미적분도 어려운데 전혀 다른 수학이라니......).
확률 진폭(probability amplitude)과 확률 그자체는 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation)에 따라 초기 상태에서 시작하여 변화한다.
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* 슈뢰딩거 방정식과 양자역학은 아마 물리 덕후들이 내세우는 가장 자랑스러운 항목인가보다. 수많은 자랑과 과시들이 검색된다. 동영상 강좌들을 보면 주변을 너무 도는 통에 지루하기도 하고 때로는 고교 물리2 교육과정에 있지만 고교수학을 넘어선다며 훌떡 넘어간다. 이렇게 훌떡 넘어가니 양자 역학이 어렵다. 슈뢰딩거 방정식의 동영상 자료중에 그나마 만만해 보이는 자료를 찾았다.
인터넷 백과사전(나무위키)에 사전에 슈뢰딩거 방정식 항목을 보니 이런 구절이 보인다.
양자역학에서 슈뢰딩거 방정식은 고전역학에서 뉴턴 방정식 F=ma, 혹은 라그랑주 방정식과 동일한 위상을 지니며, 이들과 마찬가지로 fundamental relation이므로 다른 물리법칙으로부터 '유도'될 수 없다.[2]
'에푸는 엠에이(F=ma)'를 굳이 유도하려 들지 않듯이 그냥 외워도 좋다는 뜻이리라.
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* 섭동이론: 수학과 물리학에서, 섭동 이론(perturbation theory, 攝動理論) 또는 미동 이론(微動理論)은 해석적으로 풀 수 없는 문제의 해를 매우 작다고 여길 수 있는 매개변수들의 테일러 급수로 나타내는 이론이다. 매개변수들이 매우 작으므로, 급수의 유한개의 항을 계산하여 근사적인 해를 얻을 수 있다. 특히 전자계산이 발달한 지금은 두말 할 것 없다.
- The number of particles is conserved, since the probability amplitude follows a continuity equation, as shown at the bottom of the page. This law relates the local probability density ρ to the flux density j. If the probability density diminishes at a certain place, ∂ρ/∂t < 0, there must be divergent flux at the same place, div(j) > 0. The flux j is thus a flux of probability density.
통계 진폭(the probability amplitude)이 연속 방정식을 따르므로 입자수(number of particles)는 항상 보존된다. 이 입자수 보전법칙의 국소 확률 밀도(local probability density) ρ가 플럭스 밀도(flux density) j와 관계가 있다. 만일 확률밀도가 특정 순간(장소) ∂ρ/∂t < 0 에 사라진다면(급격히 변하면), 같은 지점 div(j)>0 에서 플럭스도 급격히 발산(divergent)해야 한다. 플럭스 j는 확률 밀도의 플럭스라는 의미다.
- The validity of quantum mechanics is limited to non-relativistic velocities, since the Schrödinger equation is not covariant, its form depends on the reference frame.
양자역학의 유효성은 슈뢰딩거 방정식이 기준 좌표계(reference frame)에 의존적인 형식을 취하고 있어서 (시공간이) 공변(covariant)하지 않기 때문에 비 상대론적 속도(non-relativistic velocities)에 적용은 제한적이다.
This limitation is overcome by relativistic field theory. We are not going to use it in a formal way in this course, but we need its language, its concepts and its results.
- The evolution of particles is described by a relativistic equation of motion, the Klein-Gordon equation, which is manifestly covariant, because it contains only scalars under Lorentz transformation.
입자의 (붕괴와 생성을 통한 일련의) 진화(evolution)는 클라인-고든 방정식(Klein-Gordon Equation) 같은 상대론적 운동 방정식(relativistic equation of motion)을 통해 기술된다. 로렌츠 변환(Lorentz transformation)하에서 오직 스칼라(scalar)량만을 포함하고 있기 때문에 이 방정식은 (시공간) 공변임이 분명하다.
- The number of particles is no longer conserved, but the electromagnetic current density is. This current is analogous to the probability current, but it is proportional to the charge e of the particle. Its conservation means that it is electric charge which is locally conserved, and not the number of particles.
입자수(number of particle)는 더이상 보존되지 않고 전자기 전류(electromagnetic current) 밀도는 보존된다. 이 전류는 통계 흐름과 유사한 면이 있으나 입자의 전하에 비례한다. 국소적으로 보전되는 전하를 의미하며 입자수에 대한 보존은 아니다.
- This gives the possibility to describe the creation of charged particles in pairs of particle-antiparticle.
이는(입자수 보전이 아닌 전류량 보전) 하전된 입자가 입자-반입자가 짝을 이뤄 생성될 가능성이 있음을 시사한다.
- The potential no longer comes out of nowhere, but it is generated by a second current density j2 according to Maxwell’s laws.
전위차(potential)는 더이상 관측되지 않지만 맥스웰 법칙에 따라 2차 전류밀도에 의해 생성된다.
- The four-potential Aμ is generated by the current density jμ by means of the propagator 1/(q^2) = (Eγ^2 – pγ^2)-1. This quantity describes the probability amplitude for the exchange of a photon with invariant mass q between the two currents.
Those who follow carefully may have noticed at least three unfamiliar notions in the
formulae that come with relativistic field theory:
앞의 내용을 찬찬히 살펴봤다면 상대론적 장이론(relativistic field theory)의 (고전 물리학의 관점에서 보면) 생소한 내용을 적어도 세가지는 발견 했을 것이다.
1. 차원이 일치하지 않는 것 같다.
첫번째 방정식은 에너지, 운동량 그리고 질량이 포함된 방정식인데 차원이 맞지 않는 물리량들끼리 더해지고 있다.
심지어 두번째 방정식은,
The solution to this apparent inconsistency is the use of "natural units".
2. jμ 와 pμ는 어떤 뜻인가?
- This is the notation used for four-vectors, with implicit summation over Greek indices in scalar products.
물리량에 그리스문자를 첨자로 붙인 표기법은 상대론에서 흔히 볼 수 있는 것으로 4-벡터(시공간)상의 스칼라 곱(행 곱하기 열)을 함축적으로 나타낸 것이다.
3. 마지막 방정식을 따르자면 광자도 질량을 가져야 하지 않을까?
- The real photon of course has mass 0, after all it moves at the speed of light.
빛의 속도로 움직이는 광자의 실제 질량은 0이다.
- The solution is the notion of "virtual particles", which is central to the action of forces in a field theory.
장이론에서 힘의 작용에 중심 역활을 하는 '가상입자'를 도입함으로써 방정식을 풀수 있다.
Virtual particles have all the same properties as real ones, except that they can have a different mass, which can even be negative or imaginary.
'가상입자'는 질량(mass)을 음수(negative) 혹은 허수(imaginary)로 두는 것을 빼면 실 입자와 동일한 속성을 갖는다.
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- Mercedes will introduce these three notions one by one in the videos 1.2a, b and c.
- In the next video, we will explain how the probability for a reaction between particless is expressed by what is called the cross section.
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[주의] 위의 내용 중 한글 설명 부분은 정확한 이해 없이 첨삭 되었으므로 틀린 부분이 있을 수 있으니 주의 할 것. 추후 공부해 나가면서 수정 할 것.
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