아무나 하는 수학, 과학 & 라디오

2019년 4월 29일 월요일

W3.8/35강 임펄스 함수를 이원항으로 갖는 미분 방정식의 풀이

[커세라] 이과생을 위한 미분 방정식(Differential Equations for Engineers)

0주: 환영(Welcome)
W0.1 강좌 예고(Course Trailer)
W0.2~5 강좌 개요(Course Overview)
W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
(Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)

1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application: Compound interest)
W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application: Terminal Velocity)
W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application: RC Circuit)
W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)
W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)

2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)
W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)
W2.2/11강 중첩의 원리(Principle of Superposition)
W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)
W2.4/보강1 복소수(complex numbers)
W2.5/13강 일원 2차 상미분 방정식 (Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.6/14강 예제1: 2개의 실근(Case1: Distinct Real Roots)
W2.7/15강 예제2A: 켤레 복소수 근 A(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part A))
W2.8/16강 예제2B: 켤레 복소수 근 B(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part B))
W2.9/17강 예제3A: 중근 A(Case 3: Repeated Roots (Part A))
W2.10/18강 예제3B: 중근 B(Case 3: Repeated Roots (Part B))
W2.11 연습문제(Practice quiz: Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.12/19강 이원 2차 상미분 방정식(Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.13/20강 지수함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Exponential func.)
W2.14/21강 삼각함수꼴 이원항(A)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part A)
W2.15/22강 삼각함수꼴 이원항(B)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part B)
W2.16/23강 다항함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Polynomials)
W2.17/24강 공진현상(Resonance)
W2.18 연습문제(Practice quiz: Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.19/보강2 차원해석(Dimensional Analysis: Nondimensionalization)
W2.20/25강 응용: RLC회로(Application: RLC Circuit)
W2.21/26강 응용: 스프링에 달린 질량(Application: mass on a spring)
W2.22/27강 응용: 진자운동(Application: Pendulum)
W2.23/28강 응용: 감쇄공진(Application: Damped Resonance)
W2.24 평가문제(Week-2 Graded Quiz)

3주: 라플라스 변환과 급수해(Laplace Transform and Series Solution)
W3.1/29강 라플라스 변환의 정의(Definition of Laplace Transform)
W3.2/30강 상미분 방정식의 라플라스 변환(Laplace transform of a const.coeff.ode)
W3.3/31강 초기값 문제의 해(Solution of an Initial Value Problem)
W3.4 연습문제:라플라스 변환(Practice Quiz: Laplace Transform)
W3.5/32강 단위 계단함수(The heaviside step functions)
W3.6/33강 디랙-델타 함수(The Dirac delta function)
W3.7/34강 불연속 함수를 이원항으로 갖는 미분 방정식의 풀이
(solution of a discontinuous inhomogeneous term)

W3.8/35강 임펄스 함수를 이원항으로 갖는 미분 방정식의 풀이
(Solution of an impulsive inhomogeneous term) /동영상/영문자막

이번에 풀어볼 문제는 이원항이 델타 함수로 기술된 상미분 방정식이다. 이런 류의 미분 방정식은 스프링이나 끈에 메달린 질량에 망치로 충격(impulse)을 가한 경우라고 할 수 있다. 미분 방정식으로 기술하면 다음과 같다.

초기조건은 다음과 같다. 즉, 망치로 충격이 가하기 전의 위치와 속도(1차미분)은 모두 0이다.

라플라스 변환표를 참조하여 미분 방정식을 라플라스 변환하면 다음과 같다.

X(s)에 관하여 풀면,

라플라스 역변환을 위해 분수식을 선형결합 꼴로 분리한다.

라플라스 변환표를 참조하여 역변환하면 X(s)에서 x(t)를 구할 수 있다.

이 해의 의미를 살펴보자. 초기조건에서 질량의 위치는 0이었다. 충격이 가해진 순간 t=0 를 위의 해에 적용해도 위치는 0이다. 속도(위치의 일차미분)를 보자. 초기 조건의 속도는 0이었다.

위에서 구한 위치를 미분하여 충격이 가해진 순간 t=0을 적용하면 속도는 1이다.

충격이 가해진 순간에 위치는 연속이나 속도는 불연속이다.

[연습]------------------------------------------------------------

2019년 4월 28일 일요일

W3.7/34강 불연속 함수를 이원항으로 갖는 상미분 방정식의 풀이

[커세라] 이과생을 위한 미분 방정식(Differential Equations for Engineers)

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1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
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W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application: Compound interest)
W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application: Terminal Velocity)
W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application: RC Circuit)
W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)
W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)

2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)
W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)
W2.2/11강 중첩의 원리(Principle of Superposition)
W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)
W2.4/보강1 복소수(complex numbers)
W2.5/13강 일원 2차 상미분 방정식 (Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.6/14강 예제1: 2개의 실근(Case1: Distinct Real Roots)
W2.7/15강 예제2A: 켤레 복소수 근 A(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part A))
W2.8/16강 예제2B: 켤레 복소수 근 B(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part B))
W2.9/17강 예제3A: 중근 A(Case 3: Repeated Roots (Part A))
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W2.18 연습문제(Practice quiz: Inhomogeneous 2nd-order ODEs)
W2.19/보강2 차원해석(Dimensional Analysis: Nondimensionalization)
W2.20/25강 응용: RLC회로(Application: RLC Circuit)
W2.21/26강 응용: 스프링에 달린 질량(Application: mass on a spring)
W2.22/27강 응용: 진자운동(Application: Pendulum)
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3주: 라플라스 변환과 급수해(Laplace Transform and Series Solution)
W3.1/29강 라플라스 변환의 정의(Definition of Laplace Transform)
W3.2/30강 상미분 방정식의 라플라스 변환(Laplace transform of a const.coeff.ode)
W3.3/31강 초기값 문제의 해(Solution of an Initial Value Problem)
W3.4 연습문제:라플라스 변환(Practice Quiz: Laplace Transform)
W3.5/32강 단위 계단함수(The heaviside step functions)
W3.6/33강 디랙-델타 함수(The Dirac delta function)

W3.7/34강 불연속 함수를 이원항으로 갖는 미분 방정식의 풀이
(solution of a discontinuous inhomogeneous term)/동영상/영문자막

미분 방정식 풀이의 대원칙은 적분이다. 하지만 쉽지 않다. 그래서 적분하기 수월한 해를 미리 상정하는 방법(ansatz)을 도입했다. 복합적인 현상(진자운동, RLC회로 등)을 기술하거나 여러 이론(우주론 방정식)을 엮어놓은 미분 방정식의 형태는 원하는 만큼 단순하지 않다(inhomogeneous). 더구나 이원항(inhomogeneous term)에 비연속(discontinuous) 함수가 포함된 경우도 있다. 라플라스 변환은 미분 방정식 풀이에 매번 적분을 수행하는 번거로움을 줄여준다. 더구나 비연속 함수가 포함된 미분 방정식의 풀이(적분)을 가능케 한다. 단, 미리 계산된 변환표를 참조해야 하므로 상당한 대수 연산과정(미적분 연산의 선형성 활용, 인수분해, 분수식 가감산 분리등)을 필요로 한다.

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이원항(inhomogeneous term)에 계단 함수(heaviside step function) u_1(t)가 포함된 미분 방정식의 예제를 풀어보자.

이 미분 방정식의 우변은 t<1 일때 1, t≥1일때 0이다. 이 미분 방정식의 우변을 힘(force)의 작용을 기술한 것이라고 한다면, t가 1보다 작은 동안에는 지속적으로 힘이 작용하다 t가 1보다 큰 구간에서는 힘의 작용이 없다는 의미다[힘이 다르게 작용하는 임계 영역이 있음]. 초기 조건에 따라 정지한 상태에서 시작한다. 우변에 불연속 함수가 포함된 미분 방정식으로 라플라스 변환을 적용하기에 적합한 형태다. 라플라스 변환표를 참조하여 미분 방정식을 변환시켜보자.

정리하면,

쉽게 해를 구했다. 이제 X 를 라플라스 역변환할 차례다. 대수연산이 필요하다. 역변환 역시 라플라스 변환표를 이용한다. 변환표에 있는 미리계산된 항목에 맞추기 위해 s의 분수식을 선형 결합의 꼴로 분리해 내어야 한다.

역변환 하기전에 라플라스 변환 해 X(t)를 다루기 수월하게 분수식에서 분자를 선형분리하자. F(s)를 다음과 같이 놓으면,

X(t)는 다음과 같다.

이제 F(s)를 라플라스 역변환 해보자.

따라서 x(t)는 다음과 같다.

[연습]----------------------------------------------

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2019년 4월 24일 수요일

W3.6/33강 디랙-델타 함수(The Dirac delta function)

[커세라] 이과생을 위한 미분 방정식(Differential Equations for Engineers)

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W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)
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W2.8/16강 예제2B: 켤레 복소수 근 B(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part B))
W2.9/17강 예제3A: 중근 A(Case 3: Repeated Roots (Part A))
W2.10/18강 예제3B: 중근 B(Case 3: Repeated Roots (Part B))
W2.11 연습문제(Practice quiz: Homogeneous 2nd-order ODEs)
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3주: 라플라스 변환과 급수해(Laplace Transform and Series Solution)
W3.1/29강 라플라스 변환의 정의(Definition of Laplace Transform)
W3.2/30강 상미분 방정식의 라플라스 변환(Laplace transform of a const.coeff.ode)
W3.3/31강 초기값 문제의 해(Solution of an Initial Value Problem)
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W3.5/32강 단위 계단함수(The heaviside step functions)

W3.6/33강 디랙-델타 함수(The Dirac delta function)/동영상/영문자막

이전 강의에서 보여준 계단함수(Heaviside step function)은 이원항(inhomogeneous term)에 단절된 연속함수(piece-wise continuous function)로 기술된 미분 방정식을 풀때 유용함을 보였다. 이번 강의에서 소개할 델타 함수는 디랙(Dirac)이 양자역학을 다루면서 도입한 함수로 물리학 뿐만 아니라 여러 이공계 분야에 널리 활용된다. 다루기 까다로운 적분(미분 방정식 풀기)을 아주 쉽게 해준다.

델타 함수(delta function)는 해머 함수(hammer function)라고도 하는데 매우 짧은 시간동안 거대한 충격(impulse)을 가한 모습을 기술한다. [크기가 0에 가까운 점 전하의 포텐셜, 미지 시스템에 가하는 탐침 등을 모형화 할 때 활용됨]

델타 함수를 그림으로 표현 해보자. 특정 순간에 갑자기 무한대의 충격이 가해진다.

이 디랙 델타 함수는 실제로 함수라 할 수는 없으나 극한으로 기술 할 수 있고 함수처럼 작동한다. 충격이 가해진 충격량(면적)을 1로 두고 간격이 0에 가깝게 하면 충격의 세기는 무한대가 된다. 디랙 델타 함수를 단계 계단 함수(heaviside step function)을 이용하여 기술하면 다음과 같다. 두 계단 함수의 차는 '사각형'의 폭이다. 폭이 작아지면 '사각형'의 면적을 1로 정의 하였으므로 높이는 무한히 커진다.

사각형의 시간축 간격(Δt=ε)이 0으로 접근하는 극한으로 기술된 델타함수의 정의는 다음과 같다.

위와 같이 기술된 디랙 델타 함수는 함수하기 어렵다. 실제로 수학자들은 함수라 하지 않고 분포(distribution)라고 한다. 하지만 함수처럼 작동(활용)한다.

임의의 t의 함수 f(t)를 디랙 델타 함수 δ(t-c) 의 곱을 [0, ∞] 구간에서 적분 해보자. 델타 함수의 특성에 따라 적분이 아주 쉬워진다. 함수 f(t)와 델타 함수 δ(t-c)의 곱은 t=c 이외에 모두 0 이다. 아울러 델타함수의 정의에 따라 무한 적분은 1이다. 따라서 이 적분은 함수 f(t)의 t=c 에서 값이 된다.

이번에는 델타 함수의 라플라스 변환을 해보자. 위의 델타함수의 적분 특성을 이용하면 아주 쉽다.

계단 함수와 델타함수의 라플라스 변환은 여러모로 유용하게 사용된다. 특히 13번 공식인 계단함수의 라플라스 변환은 역변환에 유용하게 활용된다.

I introduce a new function in this video, the Dirac Delta function. One of my favorite functions because it makes modeling of an impulse force very clean, and allows you to do integrals that are otherwise impossible to do.

* Application of Delta function: Impulse response -> system function

We can model the Dirac Delta function using a step-up, step-down function and it just obeys the property that the width will go to zero and the height will go to infinity, but the area of that rectangle will stay constant of area one.

Because of that property, integrals become easy. If you integrate a function against the Dirac Delta function, it just picks out the function at the value at which the argument of the Dirac Delta function is zero.

That allows us to do the Laplace transform of the Dirac Delta function. The Dirac Delta function together with the Heaviside step function, Laplace transforms are shown in the table.

[연습]----------------------------------------------------------

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2019년 4월 23일 화요일

W3.5/32강 단위 계단함수(The heaviside step functions)

[커세라] 이과생을 위한 미분 방정식(Differential Equations for Engineers)

0주: 환영(Welcome)
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(Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)

1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application: Compound interest)
W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application: Terminal Velocity)
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W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)
W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)

2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)
W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)
W2.2/11강 중첩의 원리(Principle of Superposition)
W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)
W2.4/보강1 복소수(complex numbers)
W2.5/13강 일원 2차 상미분 방정식 (Homogeneous 2nd-order ODEs)
W2.6/14강 예제1: 2개의 실근(Case1: Distinct Real Roots)
W2.7/15강 예제2A: 켤레 복소수 근 A(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part A))
W2.8/16강 예제2B: 켤레 복소수 근 B(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part B))
W2.9/17강 예제3A: 중근 A(Case 3: Repeated Roots (Part A))
W2.10/18강 예제3B: 중근 B(Case 3: Repeated Roots (Part B))
W2.11 연습문제(Practice quiz: Homogeneous 2nd-order ODEs)
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W2.14/21강 삼각함수꼴 이원항(A)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part A)
W2.15/22강 삼각함수꼴 이원항(B)(Inhomogeneous term:sine or cosine-Part B)
W2.16/23강 다항함수꼴 이원항(Inhomogeneous term:Polynomials)
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W2.19/보강2 차원해석(Dimensional Analysis: Nondimensionalization)
W2.20/25강 응용: RLC회로(Application: RLC Circuit)
W2.21/26강 응용: 스프링에 달린 질량(Application: mass on a spring)
W2.22/27강 응용: 진자운동(Application: Pendulum)
W2.23/28강 응용: 감쇄공진(Application: Damped Resonance)
W2.24 평가문제(Week-2 Graded Quiz)

3주: 라플라스 변환과 급수해(Laplace Transform and Series Solution)
W3.1/29강 라플라스 변환의 정의(Definition of Laplace Transform)
W3.2/30강 상미분 방정식의 라플라스 변환(Laplace transform of a const.coeff.ode)
W3.3/31강 초기값 문제의 해(Solution of an Initial Value Problem)
W3.4 연습문제:라플라스 변환(Practice Quiz: Laplace Transform)

W3.5/32강 단위 계단함수(The heaviside step functions) /동영상/영문자막

라플라스 변환 기법(Laplace transform technique)의 장점은 우변의 이원항(inhomogeneous term)이 불연속 함수일 경우에도 미분방정식을 풀 수 있게 한다는 점이다. 불연속 함수의 예로 계단함수(step function) 혹은 임펄스 함수(impulse function)등이 있으며 모형화에 자주 접하는 함수다.

계산 함수(Heaviside step function)는 그림으로 보면 매우 단순하다. 함수 f(t)가 t=c에서 값이 급격히 변한다. 이때 함수가 두개의 값을 갖지 않도록 정의한다. 이 계단함수는 t의 함수 이지만 c에서 특이점을 갖는다.