1주: 정전기학 입문(Introduction and Basics of Electrostatics)/강의자료
W1.0 강의안내(Introduction)
W1.1 전기-자기 입문(Introduction to Electromagnetism)
W1.2 전기역학 방정식 입문(Introduction to Electrodynamics equation)
W1.Q 1주 평가문제(Week 1 Quiz)
2주: 스칼라, 벡터 그리고 미분 연산자(Scalars, Vectors and the ∇ Operator)/강의자료
W2.1 스칼라와 벡터(Scalars and Vectors)
W2.2 ∇ 연산자 활용(Applying the ∇ Operator)
W2.Q 2주 평가문제(Week 2 Quiz)
3주: 가우스 정리, 흐름 그리고 순환(Gauss' Theorem, Flow, and Circulation)/강의자료
W3.1 가우스 정리 유도(Deriving Gauss' Theorem)
W3.2 흐름 그리고 순환(Flow and Circulation)
W3.Q 3주 평가문제(Week 3 Quiz)
4주: 정전기 및 전기 포텐셜의 플럭스(Electrostatics and Flux of Electric Potential)/강의자료
W4.1 정전기 및 전기 포텐셜(Electrostatics and Electric Potential)/동영상/영문자막
[W4.1-1]-------------------------------------------------------------------
[W4.1-2]-------------------------------------------------------------------
Statics(정역학) is about every things are fixed in 'time'. 한글 사전의 정역학(Statics)은 "정역학(靜力學): 물체에 작용하는 힘의 균형을 논하는 역학의 한 부분. 정역학을 다루기 앞서 전기와 자기의 모든것을 설명해 주는 맥스웰 방정식을 다시 살펴보자.
첫번째 식은 전기장의 발산(the divergence of electric field)은 기술한 것으로 전하 밀도(the charge density)나누기 진공의 유전율(permitivity in vacuum)과 같다.
두번째 식은 전기장의 회전(circulation of electric field)에 관한 것으로 전기장의 컬(the curl of electric field)은 자기장의 시간미분(round B over round t, ∂B/∂t)과 같다.
세번째 식은 자기장의 발산(the divergence of the magnetic field)은 항상 0이라는 것으로 자기장의 단극자(mono-pole)는 없다는 의미다.
네번째 식은 자기장의 회전(the curl of magnetic field) 전기장의 시간변화(round E over round t, ∂E/∂t)와 도선에 흐르는 전류에 의해 생성된다는 뜻이다.
위의 네가지 방정식으로 전자기의 모든 것을 설명한다고 하지만 이해하기 어렵다. 두번째 방정식을 살펴보자. 자기장의 변화가 전기장의 회전(circulation)을 일으킨다는 의미를 직관적으로 받아들이기는 쉽지 않다. 전기(벡터)장(electric field)은 전기 정역학 포텐셜의 그래디언트(the gradient of the electrostatic potential)라고 했지만, 그 그래디언트가 꼭 회전을 일으킨다고 할 수 없다. 하지만 어떤 그래디언트가 써큘레이션을 일으키는 것은 아니라고 할 지라도 자기장을 변화 시키면 전기장의 회전을 일으 킬 수는 있다.
먼저 위의 방정식을 단순한 상황으로 만든 후 어떻게 다뤄야 할지 살펴보기로 하자. 먼저 한가지 질믄을 던져본다. '정역학'이란 무엇인가?
It doesn't change as a function of time.
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'정적(static case)'이란 정기장과 자기장이 시간의 함수가 아니라서, 공간상에 모든 전하의 위치는 영원히(permanently, 시간적으로) 고정되었거나 움직임이 회로상 전하와 전류가 상수라는 뜻이다.
정전기(Electrostatic):
- 전기장의 발산(divergence of electric field)은 단지 특정 지점의 전하밀도(charge density)에 달렸다.
- 전기장의 순환(Circulation of electric field)은 전류가 상수(constant)이거나 변화가 없기 때문에 자기장의 변화를 일으키지 못하므로 0이다. 따라서 전기장의 컬(curl of electric field)은 0이다.
정자기(Magnetostatics):
- 만일 전하밀도의 시간변화가 없다면 전기장 시간변화가 0이되고, 자기장의 컬(curl of magnetic field)은 오직 정전기 전류 (steady-state current)에 만 의존한다.
원래 전기장과 자기장의 순환이 시간 변화에 따라 서로 엃혀 있었는데 정전기-자기 상태에서는 서로 연관이 없어진다.
따라서 전기(electricity)와 자기(magnetism)는 별개의 현상(distinct phenomena)이 된다.
전기와 자기의 정역학 상태가 적용되는 예를 들어보자. 서로 다른 전하를 가진 이온(ion)들이 결합된 결정체(crystal lattice)가 좋은 예라 하겠다. 소금(NaCl)의 경우 양전하를 띈 Na와 음전하를 띈 Cl이 결정을 이뤄 단단하게 위치를 잡고(fixed position) 있는 것이 소금 결정이다.
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정전기(electrostatics)와 정자기(magnetostatics)는 벡터 장(vector fields)을 공부하기에 아주 좋은 소재다.
- 정전기는 전기(벡터)장의 컬이 0이고 발산 하는 경우다.
- 정자기는 자기(벡터)장의 발산이 0이고 컬이 존재하는 경우다.
공부할 순서는 아래 그림에 보여준 과정을 따라가 보기로 한다.
먼저 정전기(electrostatics)를 배우면서 벡터 장의 발산(divergence)을 배운다. 발산은 두가지 관점에서 다루는데, 첫째는 전하의 위치(전하들 사이의 간격)를 알고 있는 경우로 쿨롱의 법칙과 그 적분 잘 알려져 있다. 두번째 경우는 전하의 위치를 알지 못하거나 단지 경계조건(boundary condition)만 알려진 경우로 좀더 까다롭다. 이어서 정자기(magnetostatics)로 벡터 장의 컬(curl)이 역활을 하는 경우다. 이 둘을 배우고 나면 우리의 최종 목표인 (전기와 자기가 얽혀있는) 전자기학(electromagnetism)에 도달하게될 것이다.
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정전기는 쿨롱의 법칙으로 잘 알려져 있다.
쿨롱의 법칙은 전기장의 현상중 정전기에 적용되는 근사 법칙이다. 좀더 정확하게 살펴보기 위해 맥스웰 방정식으로 접근해보자. 쿨롱의 법칙이 맥스웰 방적식의 전기장의 발산과 컬의 수학적 연관성을 살펴보자.
쿨롱의 법칙은 정지한 두 전하사이에 작용하는 힘을 기술한다. 두전하 사이의 힘은 거리의 제곱에 반비례한다.
힘의 벡터는 두 전하사이의 직선 거리 방향 벡터다. 쿨롱 법칙에서 두 전하가 받는 힘은 서로 반대 방향이다(작용과 반작용의 관계).
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쿨롱 법칙에서 계수(prefactor)를 보면 중요한 사실을 발견하게 되는데 빛의 속도 c_0를 포함하고 있다는 점이다. 특수 상대론에 따르면 정지된 좌표나 움직이는 좌표(가속운동하지 않는)에서든 빛의 속도는 같다. 이는 아주 인상적이게도 맥스웰 방정식에서도 미리 예견되었다. 이 계수의 단위는 쿨롱 제곱 분의 뉴튼 메터제곱 또는 쿨롱 분의 볼트 메터다. 중력계수와 마찬가지로 힘의 단위환산과 차원 해석에 대해서 많은 교과서에 나와 있으니 참고하자.
You might ask, how accurate is this pre-factor, to which scale? If you're interested in that, you can see many of the lecture or textbooks showing that this could be very accurate down to very small scales, like atomic scales.
[참고]----------------------
1. 힘의 단위: 뉴턴: 1kg의 질량을 갖는 물체를 1 미터 매 초 제곱 만큼 가속시키는 데에 필요한 힘으로 정의된다. 이 물리량의 단위는 SI 기본 단위로 kg·m·s^(-2)이 된다.
2. 전하에 작용하는 힘: 쿨롱의 법칙(수학적 표현)
각각 1C의 전하량을 갖는 두 점전하가 1m의 거리에 있을 때 발생하는 힘은 1t 트럭 100만 대와 맞먹는다. 이렇게 큰 힘이 기준 단위가 된 것은 전기에 대한 상세한 지식이 없는 시절에 이를 측정 단위로 삼았기 때문이다. 실제 일상 생활에서 발생하는 정전기의 전하량은 대략 ×10-6에서 ×10-9 쿨롱 정도에 불과하다.
3. 단위(unit)와 차원(dimension)
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(맥스웰 방정식의)전기장을 적용하여 쿨롱의 법칙을 좀더 자세히 이해 해보자. 이를 위해 관점을 좀더 좁혀 보는데 "전기장을 다른 물리 인자들 처럼 시간과 공간의 함수 대신 단위 전하가 가진 힘"으로 보자.
전기장 E(1)을 임의의 지점 (1)에서의 (심지어 전하 q_1의 위치가 아니어도 좋다) 값이라 보고 다른 전하들의 위치는 고정되어 있다고 하자.
E(1)은 다음과 같다. 이 식에서 q_1은 단위 전하라고 했으므로 이 식에 나타나 있지 않다. E(1)은 벡터 형식으로 세개의 부분요소 (E_x, E_y, E_z)으로 나타낼 수 있다.
E(1)의 한 위치 요소는 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)를 적용하면 다음과 같다.
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'중첩(superposition)'은 한 전하에 작용하는 다른 전하 사이의 쿨롱력(또는 전기장 E)의 선형 합을 의미한다. 벡터 E(1)를 공간 요소로 나누어 보면 다음과 같이 표현된다.
[W4.1-8]-------------------------------------------------------------------
거의 원자나 그 이하의 입자 수준의 크기로 취급되는 점전하를 일일이 다루기(discrete charge) 보다 "전하밀도(charge density)"의 개념을 적용하는 편이 적절하다.
또한 점전하의 묶음을 연속적인 매질(continues medium)로 취급하면 미분과 적분이 가능하다.
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앞서서 임의의 모양으로 분포한 전하에 의해 생성되는 전기장(전기력)을 구해 보았다. 실제로 정기장의 값을 구하기 위해서 적분을 수행해야 하는데 임의의 모양을 한 입체의 부피를 구하기는 아주 어렵다. 따라서 이 적분은 컴퓨터의 계산(수치해석)에 맞기기로 하자.
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이제 구체적인 계산은 컴퓨터에 맞기기로 하고 기초이론에 집중해 보기로 하자. 먼저 전기장의 포텐셜이다.
포텐셜 에너지(Potential Energy)를 정의하면 점a 에서 b로 이르는 동안 힘(force)에 거스르며 한 일이다.
출발지에서 목적지에 이르기까지 소모되는 혹은 필요한 일의 양을 총 에너지라고 하자. 중간 어느 지점에 도달할때까지 소모한 일(에너지)의 양과 남은(유보된) 일의 합이 총 에너지다. 이때 남은(혹은 나타나지 않은)양의 에너지를 포텐셜 이라고 한다. 포텐셜 에너지의 예는 중력장에서 낙하의 문제를 다룰 때 분명하게 이해할 수 있다. [벡터장의 선적분이다. 경로 무관성에 유의하자.]
전기 벡터 장에 대해서 적용하면 위와 같다. [일은 벡터 장과 경로의 스칼라 곱 적분(선적분)이다. 힘 벡터=벡터 장, 일=에너지, 한일+할일=일전체]
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그리하여 (단위)전하를 지점 a에서 b까지 끌고갔다가 다시 다른 경로로 a 지점으로 끌고오면서 장에 대해 더 자세히 알 수 있을 것이다. 과연 이 선적분(전기장의 두지점 사이를 단위 전하를 끌고다니는데 필요한 에너지)은 경로에 무관 할 것인가.
정전기 장(static field)에서 임의 두점 사이의 경로를 따라 선적분(실제로 운동이 있는 것은 아님)하여 얻은 (포텐셜) 에너지는 서로 상쇄되어 에너지를 얻지 못한다.
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앞서 살펴 봤던 대로 임의의 모양을 한 묶음으로 존재하는 전하 다발에 대한 전기력을 표현하기는 매우 어렵다. 쿨롱의 법칙으로 전기력을 이해하기 위해 언하가 단 한개만 존재하는 경우를 보기로 한다. 한개의 점 전하가 형상하는 힘(전기장)의 분포는 매우 구형(radial)이다.
전기력의 측정을 위해 r_a지점에 감지용 전하(test charge)를 두었다고 하자. 이 시험전하는 전하량이 +1인 단위전하(unit charge)다. [전기력은 두 전하 사이의 힘이다. 어떤 전하가 형성한 전기장을 측정 하려면 당연히 단위의 시험점하를 두어야 한다.]
이 시험전하를 a에서 a'으로 이동 시켰다. 단, 전하에서 거리는 같다.[r_a=r_a'] 이어서 a'에서 b로 이동 시켰다. 이제 a에서 a'을 거쳐 b에 이르는 동안 시험전하가 한 일(work)을 계산해보자. 간단한 적분 수학이다.
전기장에서 일(에너지)는 경로에 상관없이 전하로부터의 거리에 반비례한다.
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동일 거리의 구 둘레(arc)를 이동한 후 반경(radial) 방향으로 이동하는 과정을 반복했다고 하자. 결국 한 일(work)의 총합은 a 에서 b 사이의 거리(반경)에 의해 결정된다. 중간에 원호 이동의 경우 동일 반경이므로 한 일은 없다.[거리 변화가 없었으므로 전기력의 변화도 없다.]
계단모양이 아니더라도 단위 전하(시험전하)가 이동하며 한 일(전기 에너지)는 어떤 경로를 취했거나 상관 없이 결국 두 지점 사이의 거리에 의해 결정된다. [벡터 장에서 두 지점의 임의 경로에 대한 접선성분(스칼라 곱)의 적분은 경로 무관하게 같다.]
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(거리 역제곱에 비례하는 벡터장에서) 기준 전하의 일(에너지)은 결국 전하의 최초 위치와 최종 위치의 최단거리(직선)에 의해 결정된다. [움직여야 '일'한다]
두 지점 사이의 에너지를 직접 계산해 놓기보다 기준점을 잡아 상대적으로 크기를 정하는 것이 편리하다. 이렇게 기준점을 잡아 계산한 정전기를 정전기 포텐셜(electrostatic potential)이라고 하며 시세한 전하(점전하)의 다발은 (연속의) 스칼라 장(scalar field)이 된다.
기준점의 위치를 '무한대'라고 놓음으로써 포텐셜이 0이되게 만든다. 그리고 이 기준점으로부터 임의 위치만큼 떨어진 지점의 포텐셜 에너지 지도를 그려보는데 바로 포텐셜 에너지의 스칼라 장이 된다. [전하 사이의 상대적 힘(쿨롱 력)이 아닌 한 기준을 잡아 전체 전하분포도를 그릴수 있다. 아주 작은 '점전하'를 감안하자.]
Now, I just mentioned that we can put zero volt at infinity. But in practice it's hard to connect infinity. So, where can we find zero volt in our everyday life. The ground, we can find zero volt from the ground. Why does ground has the same potential as the point at infinity?
If you think of the Earth capacitance of the surrounding environment, and at infinite, there's zero volts. So, the change in voltage for a capacitor is equal to the change in charge over the capacitance. However, since this is a very large system, the capacitance is very large essentially infinite. So, if your Delta V is equal to zero, then on the other side of this capacitor, which is the earth will also be zero.
In addition, if you connect anything to this large source of charges, then everything will balance out. So, if you connect something here, has a positive, there's a lot of negative charges that can make this zero as well.
[W4.1-15]-------------------------------------------------------------------
이제 전기장(electric field)에 더해서 수학 도구를 동원하여 정전기 포텐셜(electrostatic potential)의 개념을 도입한 이유를 알아 보자.
The electrostatic potential contributed to (a position) by each component of charge in the world.
전하로 가득찬 세상에서 (어딘지 모르지만 무한히 먼) 기준점에서 떨어진 한점에 단위 전하(a unit charge)를 놓고 이 단위 전하에 작용하는 전기 에너지를 구하려면 그 점에 작용하는 모든 정전기 포텐셜의 선형 합이 된다는 의미다. 이를 보여주기 위해 선형성과 적분이라는 수학도구를 동원하였다.
이렇게 복잡한 적분을 도입하려고 애쓰는 이유는 무엇인가?
A group of charge. Again, if we smear this out, we can use the smooth function and integration where now we assume it's a distribution of charge. You may wonder, why do we do this?
Because when we didn't have computer, it is easier to deal with scalar functions, scalar field instead of vector fields.
Because if you're going to do superposition of vector fields, you have to have three equations all the times. But in case of electrostatic potential, you only have one set of equations to do the addition.
Then, what you do is just differentiation, and then you can have your resulting vector field. So, along the way, you do a lot of calculation, you deal with scalar function, and at the end of the road, you come up with a vector that's much more easier than dealing with vector fields from the starting point to the endpoint.
[W4.1-16]-------------------------------------------------------------------
전기장(electric vector) E(벡터)대신 정전기 포텐셜(electrostatic potential) Φ을 선호하는 이유는 한번의 적분으로 계산할 수 있다. [벡터는 기술이 수월하다.] 유리할 때마다 벡터 E와 스칼라 Φ의 관계를 정의 할 수 있어여 한다. [스칼라 Φ의 그래디언트가 벡터 E와 같다는 점을 증명하자.]
전하가 한 일을 두가지 관점에서 볼 수 있는데, 하나는 점전하의 미분, 두번째 관점은 선적분이다. 논의의 단순화를 위해 x축 만으로 움직였다고 하자.
Proof: Electric field can be derived from the derivative of electrostatic potential by using the gradient.
[W4.1-17]-------------------------------------------------------------------
Which way is more convenient to calculate the electric field on the point of interest.
(1) Integral: Whether you want to go through the route to gather all the information of the electric field from the charge in the world that act upon your point of interest, and then do the summation,
(2) Derivation: or if you want to change that into electrostatic potential world, and then do all the summation there and do the derivative.
So, our argument is that it is easier to use electrostatic potential because it is scalar and (1/r) is usually a little easier to integrate than (x/r^3). There's only one integral for Φ (scalar), while three for E (vector). If you look at those equations, you can go around and come again.
So, from the yellow mark, this is the definition of the electrostatic potential that we just mentioned, and the red arrow really is from the linear integral theorem that we just mentioned. If we integrate the gradient of a scalar function, then it will be a state function. By comparing these two, you will get the insight into the equation between E and -∇Φ.
[W4.1-18](Summary)-------------------------------------------------------------
So, from vector calculus, if electric field is -∇Φ, which is the case for the E field from Coulomb's law, the curl is zero. So, there is no circulation whatsoever. So, that will be Maxwell's second equation for electrostatics.
The work done around a closed path is zero in electrostatics field, because there's no circulation, and that's the Stokes' theorem.
For any radial force, the work done is independent of the path, and there exists a potential. In another words, for any radial force, the curl is zero.
What type of force is radial force, but not one over r squared force? Maybe inter-atomic forces. Van der Waals force.
There are many types of force that have the radial characteristics, but doesn't follow the inverse square law, and those will have curl free. Why? Because the work done is independent of the path.
So, the existence of potential, and the fact that the curl of E is zero comes really only from the spherical symmetry and radial directional electrostatic forces. So, with this one only, we cannot derive the Coulomb's law because we need another condition which is, you need to have (1/r^2).
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