1주: 정전기학 입문(Introduction and Basics of Electrostatics)/강의자료
W1.0 강의안내(Introduction)
W1.1 전기-자기 입문(Introduction to Electromagnetism)
W1.2 전기역학 방정식 입문(Introduction to Electrodynamics equation)
W1.Q 1주 평가문제(Week 1 Quiz)
2주: 스칼라, 벡터 그리고 미분 연산자(Scalars, Vectors and the ∇ Operator)/강의자료
W2.1 스칼라와 벡터(Scalars and Vectors)
W2.2 ∇ 연산자 활용(Applying the ∇ Operator)
W2.Q 2주 평가문제(Week 2 Quiz)
3주: 가우스 정리, 흐름 그리고 순환(Gauss' Theorem, Flow, and Circulation)/강의자료
W3.1 가우스 정리 유도(Deriving Gauss' Theorem)/동영상/영문자막
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* 맥스웰 방정식(Maxwell's equations) 요약
맥스웰 방정식(Maxwell's equations)은 다음과 같은 전기와 자기현상을 설명하는 4개의 편미분 방정식으로 구성되었다.
- 전기와 자기의 발생
- 전기장과 자기장
- 전하 밀도와 전류 밀도의 형성
맥스웰의 방정식은 네 개의 법칙을 모아 종합하여 구성한 것이다. 각 방정식의 수학적 표현은 공식 부분에서 다루기로 하고 우선은 방정식의 의미를 살펴보면 다음과 같다.
- 가우스 법칙
가우스 법칙은 전하에 의해 발생된 전기장의 크기를 설명한다. 따라서 가우스 법칙은 본질적으로 쿨롱 법칙과 같은 의미를 지닌다. 다만, 쿨롱 법칙이 공간에 놓인 두 점전하 사이에서 발생하는 힘을 설명하는데 반해 가우스 법칙은 하나의 전하로부터 발생하는 전기장의 세기가 거리에 따라 반감되는 이유를 설명한다. 실제 회로 이론이나 전자공학에서는 계산이 편리하고 직관적으로 이해 하기 쉬운 가우스 법칙을 일반적으로 사용한다.
- 가우스 자기 법칙
가우스 자기 법칙에 따르면, 폐곡면의 총 자기 선속은 0이다. 즉, 전기와 달리 자기는 홀극이 없고, N극과 S극이 언제나 함께 존재한다.[주해 2] 이러한 자기의 성질 때문에 일정한 공간으로 들어오는 자기력선과 나가는 자기력선의 크기는 언제나 같고, 따라서 서로 정반대의 방향으로 작용하는 같은 크기의 힘의 합계는 언제나 0이다.
- 패러데이 전자기 유도 법칙
패러데이 전자기 유도 법칙은 자기 선속이 변화하면 그 주변에 전기장[주해 3] 이 발생한다는 것이다. 고리 모양으로 만들어진 전선 가운데서 자석을 위 아래로 움직이면 전류가 발생하는 것을 예로 들 수 있다. 발전소는 이러한 원리를 이용하여 교류 전류를 만들어 낸다.
- 앙페르-맥스웰 회로 법칙
앙페르 회로 법칙은 전류가 흐르는 전선에 따라 자기장이 발생한다는 것이다. 맥스웰은 앙페르 회로 법칙을 확장하여 전기장의 강도가 변화하면 자기장이 발생하는 것으로 파악하였고, 축전기를 이용한 실험을 통해 이를 입증하였다. 즉, 축전기 자체는 전류를 이동시키지 못하지만 전계의 변화를 전달한다. 맥스웰은 축전기에서 전계가 변화할 때 자기장이 발생하는 것을 측정하였고 이로써 전선뿐 만 아니라 전계의 강도가 변화하는 모든 곳에서 자기장이 발생함을 증명하였다. 전류 변화로 자기장이 발생하는 것을 이용한 도구로는 전자석, 전동기와 같은 것이 있다.
각각의 방정식을 제임스 클러크 맥스웰이 종합한 이후 맥스웰 방정식으로 불리게 되었다.
맥스웰은 이러한 기존의 연구 성과를 종합하여 전기와 자기가 하나의 상호작용, 즉 전자기력에 의한 것임을 증명하면서 빛역시 전자기파라는 것을 밝혔고, 전자기 복사의 발견을 예언하였다.
전자기역학은 맥스웰 방정식과 로런츠 힘 법칙으로 요약된다. 로런츠 힘은 맥스웰 방정식으로부터 유도될 수 있다.
발산정리(divergence theorem)와 스토크스의 정리(Stoke's theorem)를 이용하면 미분형과 적분형 방정식이 동치임을 알 수 있다.
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* 이번 강의는 맥스웰의 4개 방정식 중 첫번째 방정식인 가우스 법칙(Gauss's Law)을 유도하는 과정을 설명한다.
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수학 도구들(mathematical tools) 먼저 설명한다. 함수의 적분을 배웠을 것이다. 때에 따라 다변수 함수의 적분(중적분)을 다루기도 했지만 어쨌든 스칼라(각변수가 서로 직교 관인 경우 스칼라 장)이다. 값과 방향의 의미를 가진 벡터를 직접 적분 할 수는 없다. 벡터의 적분이 가능하게 만드는 벡터 연산의 과정을 거쳐야 한다. 지금부터 다룰 벡터 적분(Vector Integrals)은 이 벡터 연산과 그 의미를 이해하는 것으로부터 시작한다.
벡터 장 방정식(vector field equation)을 더 잘 이해 할 수 있으려면 장의 미분(derivatives of the field)에 어떤 의미를 갖는지 아는 것이 좋다.
벡터 장(vector field)의 특성은 수학에서 정의된 두가지 벡터 곱의 도구를 활용하여 플럭스(flux)와 순환(circulation)으로 기술 할 수 있다. 플럭스는 벡터 장에 ∇ 연산자와의 스칼라 곱(scalar product)을 한 것으로 발산(divergence)연산이라 한다. 순환은 ∇ 연산자의 벡터 곱(vector product)으로 기술된다.
벡터 장에 대한 발산(divergence)과 회전(curl) 연산의 수학적인 의미를 아는 것도 중요할 뿐만 아니라 이 두가지 연산은 이공계의 모든 법칙에 등장한다. [전기장,자기장, 중력장, 퀀텀 장...]
이런 수학 도구들은 방정식 문제를 푸는데 유용할지 모르지만 실제 물리적 현상을 이해하는데 크게 기대할 것이 못된다. 극히 단순화된 문제에 제한적으로 적용 할 수 있다. 문제를 풀기보다 연산을 적용하는 이유와 그 결과의 통찰이 요구된다.
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먼저 이론 1 (Theorem 1)은 다음과 같다.
위의 그림에서 보인 것처럼 스칼라 장 ψ의 임의의 점 (1)에서 점(2)까지 경로를 따른 적분은 두 지점의 스칼라 장의 값 ψ(2)-ψ(1)과 같다. 적분이란 경로를 미소 간격으로 나눈 후 극한 기울기 값을 모두 합하는 것이다. 또한 경로가 어떤 모습을 하든 미소 값의 합은 결국 벡터 ∇ψ의 합차로 상쇄된다. [경로가 어떻든 벡터의 합차로 두 지점의 최단 경로와 같다.]
점(1)에서 시작하여 점(2)까지 이르는 경로의 모습이 어떻든 상관 없다.
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이론 1의 의미를 살펴보자.
스칼라 장(scalar field)의 한 지점에서 기울기(gradient)를 취하면 벡터 ∇ψ가 된다. 경로상의 미소 구간(infinitesimal line element)을 ds로 잡자. 스칼라 장의 기울기 벡터 ∇ψ와 미소 경로 벡터 ds 를 스칼라 곱하면 경로 Γ 상의 미소 스칼라 값이된다. 이 미소 스칼라 값의 총합(적분)이 결국 두 점사이의 스칼라장 값 차이와 같다는 것이 이론 1이다.
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이론 1을 유도하기 전에 적분의 정의부터 시작하자.
적분(integral)은 함수 f(x)의 구간 [(1),(2)]을 잘게 나눈 후 잘게 나눈 폭과 함수의 값을 곱하여 모두 더한다. 결국 함수 f(x)와 구간 [(1),(2)]에 둘러쌓인 '면적'이다. 하지만 이 '면적'은 단지 설명을 위한 기하학적 표현에 불과 하다. '함수가 x축과 구간에 둘러 쌓인 면적'으로 설명할 때 먼저 축과 함수의 관계가 '직교'한다고 전재하고 있다. 그럼 함수를 f(s)라 하고 s를 공간이(공간의 함수)라 하자. Δs는 공간상의 미소거리다. 이에 대한 적분을 굳이 '부피'라고 설명 하려면 역시 공간 좌표계의 정의가 있음을 전재로 하는 것이다.
적분을 원점을 가진 직교 좌표계로 구속하지 말자. 벡터는 특정 좌표계(축과 원점)에 구속되지 않고 자유롭게 선형 이동될 수 있다. 이것이 물리현상의 기술에 벡터라는 수학도구를 도입하는 근본적인 이유라 하겠다.
운동 경로를 따라 운동량을 모두 더하면 총 운동 에너지가 되는 것을 알고 있다. 이처럼 총 운동 에너지를 구할 때 우리는 적분을 했다. 우리는 적분이 단순히 면적이나 부피를 구하기 위한 도구가 아니라는 것을 알고 있다.
그럼 선적분(line integral)이 무엇인지 알아보자.
선 적분은 스칼라 장의 기울기(gradient) ∇ψ를 경로의 접선(tangential)에 투영한 성분(∇ψ)_t 에 대한 적분이다. 장의 두점 사이에 수많은 경로를 만들 수 있다. 그중 한 경로에 대해 접선 '벡터' 성분의 적분이 선적분이다.
* 벡터는 특정 좌표에 구속되지 않는다. 크기와 방향이 같다면 특정 좌표계의 위치는 중요치 않다. 경로에 따라 접선성분 벡터의 위치는 계속 변하지만 벡터의 방향과 크기는 변함이 없으므로 이들을 모두 더할 수 있는 적분이 가능하다. 이 적분은 결국 '벡터 합'이다.
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선적분의 의미를 이해 했다면 스칼라 장의 두점 사이의 차이 ψ(2)-ψ(1) 와 두점을 잇는 경로 벡터의 적분과 같다는 정리 1(Theorem 1)을 수학적으로 증명해 보자.
먼저 스칼라 장의 미소 간격 ΔT에 관한 공식이 있었다(원래 벡터 연산공식 중 하나임). 미소 간격 ΔT는 미소 거리의 그래디언트를 취한 벡터 ∇T 와 미소 공간 벡터 ΔR와의 스칼라 곱이다.
스칼라 장의 미소값 차의 공식을 경로를 따른 미소 간격의 합에 적용하면 다음과 같다.
수학 공식을 증명한다면 뭔가 거창할 줄 알았지만 허무하리 만큼 단순하다. 이렇게 단순하게 느껴지는 이유는 미리 쌓아둔 수학적 통찰을 바탕(벡터 연산과 미적분)으로 하기 때문이다. 단순한 만큼 이 수학 정리에 담긴 깊은 의미가 있으니 잘 새겨야 할 것이다. 스칼라 장의 두 지점을 잇는 경로를 따라 적분 한다는 것은 어떤 의미인가?
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스칼라 장의 두 점 사이에 경로를 따라 접선 벡터 적분인 선적분의 욧점이다. 두점의 '어떤 경로(any path)'에 대해서도 이 정리가 적용된다.
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전자기 현상을 다루기 전에 앞서 예로 들었던 열 에너지의 확산을 다시 살펴보자. 바닷가에 가서 모닥불을 피웠다고 하자. 가상의 경계면 S (모양은 상관 없음)를 통해 번져나가는 열기의 총 흐름은 열기흐름 벡터 h와 가상 경계의 표면에 수직인 벡터의 선적분으로 구할 수 있다.
따라서 열기의 흐름 벡터 h와 미소면적 벡터 nda 의 닷 프로덕트[벡터 h를 미소 표면적 da의 벡터 방향 n에 정사형]를 적분한 것이다. 이를 플럭스(flux)의 개념으로 확장해 보면 벡터를 면의 수직 방향성분을 취해 면적분 한 것이다. 이때 표면은 임의의 폐포(closed surface)다.
열 흐름 대신 전기의 흐름, 그러니까 전기장의 플럭스를 대입해 보자. 닫힌 표면 S에 수직으로 통과하는(normal component) 전기장의 플럭스는 다음과 같다.
So flux of electric flow through fictitious boundary S, which encloses a charge, is equal to electric field dot n times da. In this case, there's nothing physical flowing out. So mathematically they look similar, but physically they have different meanings. In this case, you have a real physical quantity that is going out as a function of time. But in this case, it is just a static field emanating from charge. There's no time involved.
수학적으로 열 흐름의 총합이나 전기장의 플럭스나 같아 보이지만 아주 중요한 차이가 있다. 열 흐름이란 시간의 경과에 따른 열기의 방출을 의미한다. 하지만 전기장은 전하가 존재하여 그로부터 전기장이 형성되었을 뿐 실제로 어떤 물리량이 이동되었다는 뜻은 아니다. 시간이 개입되지 않았다.
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앞서 닫힌 표면을 통과하는 에너지의 총량을 계산하기 위해 면적분(surface integral) 하였다. 플럭스(flux)는 단위면적당 단위 시간당 통과하는 에너지를 표현한다. 시간의 차원을 포함 시키기 위해 에너지 보존 법칙을 적용해보자. 에너지 보존 법칙은 우주론을 포함하여 모든 물리 방정식을 세울 때 적용되는 단순하면서도 만능의 도구다.
에너지 보존법칙에 따라 닫힌 면적 S 전체를 통해 나가는 에너지 량은 그 닫힌 체적 내부에서 감소하는 에너지의 시간당 감소량과 같다.
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우리가 다루려고 하는 중요한 이론은 방금 배운 에너지 보존 법칙이라는 아주 단순명료한 법칙에서 시작한다. 임의 표면적을 통과하는 에너지 플럭스를 계산해 보고자 한다. 그런데 아무렇게 생긴 체적의 표면적을 어떻게 구할 것인가? (못 구한다. 그대신 좋은 방법이 있는데 바로 '가우스 정리'라는 것이다.)
Now we're going to cover a very important theory based on what we've just learned. So we will use the concept of flux, which is the normal component of our vector field integrated over a closed surface, and see how the flux of an arbitrary surface can be evaluated based on a very simple principle.
부피가 V=Σ 인 입체의 표면의 총 에너지 플럭스를 구하려고 한다. 작은 부피 V_i로 나눠진 표면 S_i를 경계로 하는 플럭스의 총합과 같다.
아무렇게 생긴 입체를 반으로 나눠놓고 각각의 플럭스를 계산해 보자. 양쪽 부피를 각각 V_1과 V_2로 놓자. 이때 나눈 두 체적이 공유하며 맞대고 있는 면은 S_ab(빗금친 면)다. 공유하는 면의 단위 벡터를 각각 n_1, n_2 라 하고 방향은 서로 반대다. [체적의 밖으로 나가는 면으로 방향을 정했다.]
따라서 맞대지 않는 면에 대한 부분 플럭스 합이 전체 플럭스가 된다. 당연한 것을 수학적으로 증명하는 것 같지만 과학자라면 이렇게 논리를 세우는 습관을 들이자.
이런 중요한 결론을 얻는다.
임의 모양을 한 원래 입체를 어떻게 분할 하더라도 그 외부 표면을 통한 플럭스 총합은 내부 분할한 모든 조각에 대한 플럭스의 합과 같다. 그럼 계산하기 좋게 내부 분할을 정육면체로 나눠보자.
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기초를 닦았으면 이제 맥스웰 방정식의 첫번째 방정식인 가우스 정리를 유도해 보자. 이 방정식은 전하에 의해 발생된 전기장의 크기를 설명한다.
임의의 모양을 한 입체의 표면도 좋지만 잘게 자른 정육면체를 가지고 이론을 전개해보자. 정육면체는 전 좌표축 방향에 대해 대칭(symmetric)이므로 다루기 용이하다. 한쪽 축만을 따져서 각 축으로 확장할 수 있다. 먼저 x 축에 대하여,
미소 간격의 두 지점 (1)과 (2)에서 벡터 필드 C의 x축 성분 C_x의 차를 구하면 다음과 같이 쓸 수 있으므로,
미소 정육각형의 x축에 대한 플럭스 총합의 근사는 다음과 같다.
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미소 정육각형의 x,y,z 각축으로 미소 플럭스를 모두 더하면 총 플럭스가 된다.
위의 증명은 한 점에서 벡터 장 C의 발산은 그 점을 둘러싼 주변의 단위 부피당 플럭스와 같다는 것을 보여준다.
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드디어 가우스 정리(법칙)이다. 바로 이번 강의의 목표다.
가우스 정리는 벡터 장 C의 발산(divergence)을 미소 부피를 통해 흘러 나가는 플럭스의 관계를 정의한다.
형태에 관계없이 닫힌 표면에 수직하게 방출되는 벡터의 적분(플럭스)과 벡터의 발산을 그 표면에 의해 감쌓인 내부 공간에서 적분한 것은 같다.
적분 형식(Integral form)으로 표현된 가우스 정리는 위와 같다.
* 벡터 미적분학에서, 발산 정리(發散定理, 영어: divergence theorem) 또는 가우스 정리(Gauß定理, 영어: Gauss' divergence theorem)는 벡터 장의 선속(flux)이 그 발산의 삼중 적분(volume)과 같다는 정리이다.
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