아무나 하는 수학, 과학 & 라디오: W3.2 흐름 그리고 순환(Flow and Circulation)

[커세라] 전기역학: 기초편(Electrodynamics: An Introduction)

1주: 정전기학 입문(Introduction and Basics of Electrostatics)/강의자료
W1.0 강의안내(Introduction)
W1.1 전기-자기 입문(Introduction to Electromagnetism)
W1.2 전기역학 방정식 입문(Introduction to Electrodynamics equation)
W1.Q 1주 평가문제

2주: 스칼라, 벡터 그리고 미분 연산자(Scalars, Vectors and the ∇ Operator)/강의자료
W2.1 스칼라와 벡터(Scalars and Vectors)
W2.2 ∇ 연산자 활용(Applying the ∇ Operator)
W2.Q 2주 평가문제(Week 2 Quiz)

3주: 가우스 정리, 흐름 그리고 순환(Gauss' Theorem, Flow, and Circulation)/강의자료
W3.1 가우스 정리 유도(Deriving Gauss' Theorem)

W3.2 흐름 그리고 순환(Flow and Circulation)/동영상/영문자막

[W3.2-1]---------------------------------------------------------------

전 시간에 가우스 정리를 유도하고 이 그 정리가 열의 확산 방정식을 세우는데 어떻게 이용되는지 봤었다. 에너지 보존법칙으로부터 시작된 방정식이 가우스 정리를 활용하여 미분형으로 바뀌는 과정을 보였다.

이 미분형(differential form) 열 에너지 보존 방정식은 적분하면 다시 원래의 방정식이 된다.

임의의 모양을 한 입체의 폐포(closed surface)에서 방출되는 벡터 장의 플럭스(flux)는 벡터 필드에 대한 발산(divergence of vector field)을 체적 적분(volume integral)한 것과 같다.

* 사전에서 찾아본 '가우스 정리(발산 정리)':

벡터 미적분학에서, 발산 정리(發散定理, 영어: divergence theorem) 또는 가우스 정리(Gauß定理, 영어: Gauss' divergence theorem)는 벡터 장의 선속(flux)이 그 발산의 삼중 적분(volume)과 같다는 정리이다.

[W3.2-2]---------------------------------------------------------------

방사형 열 흐름(Radial Heat Flow): 열원으로부터 전방향으로 공히 방출되므로 방향에 대한 고려는 필요없이 단지 거리의 방정식이 된다.

열흐름 벡터 h 의 크기는 열원으로부터 거리의 제곱에 반비례(inverse square)하며 방향은 반경과 평행이다. 따라서 방사형 열흐름의 가상 경계면은 구(sphere)의 모양을 취한다.

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열 에너지 보존 법칙이 유효한 계에서 열 확산 방정식을 세워보자. [물리 방정식을 세우고 장에 관한 수학적 도구에 익숙해 지기 위한 연습으로 열 에너지의 확산 문제를 다루고 있다]

에너지 보존율이 유효한 계(생생은 물론 흡수도 없음)에 놓인 물질에서 열의 확산, 즉 열 에너지 흐름 벡터 h 는 위와 같이 근사적으로 정의될 수 있다. [열전도율(thermal conductivity) κ 를 도입한 실험식(empirical equation)이다.] 열흐름 벡터 h를 미분형 에너지 보존 법칙에 적용하면 다음과 같다.

열역학에 따르면 각 물질은 부피에 따라 수용할 수 있는 온도가 있다.

위의 두 관계식을 정리해보자.

이것을 우리는 열 확산 방정식(Heat Diffusion Equation)이라고 한다.

열 에너지 보존 계의 한 지점에서 온도의 시간 변화율은 온도의 라플라시안(rhdrksdml 2계미분)에 비례한다. 이는 픽의 확산 법칙(Fick's Diffusion Law)으로 알려져 있다.

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앞서 가우스 정리에 이어 벡터 장 연산에 관한 수학 도구, 벡터 장의 회전(Circulation)에 대해 알아보자.

앞서 경로상 한점에서 스칼라 장의 그래디언트 벡터에 대한 접선 방향 성분(tangential component) 혹은 면의 수직 벡터(norm) 성분을 구하는 스칼라 곱 혹은 발산(divergence)에 대해 공부했다.

이 경로가 폐곡선 일 때,

벡터 연산의 적용은 동일하나 그 결과는 매우 다르다. 전편에서 스칼라 장의 두지점을 잇는 경로의 정분은 두 지점의 스칼라 값 차이 였다는 점을 기억해 두자.

폐곡선을 둘로 나눠보자.

한 폐곡선의 선적분은 둘로 나눈 후 각각의 폐곡선에 대한 적분의 합과 같다. 이때 원래의 폐곡선의 회전 방향과 둘로 나뉜 각 폐곡선 회전 방향은 모두 같다(위 그림에서 모두 반 시계방향임). 두 폐곡선이 공유하고 있는 내부의 경계 구간에서 회전의 방향이 서로 반대가 된다는 점에 유의하자.

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원래 폐곡선은 잘게 나눠보자. 잘게 나뉜 작은 폐곡선들은 평평한 사각형이다.

이렇게 평평한 사각형으로 나눠 놓으면 폐곡선의 길이 계산이 쉽다. 이렇게 잘게 나누기는 앞서 입체에 대해서도 같은 접근을 했었다.

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작은 사각형을 둘러싼 회전을 살펴보면서 스토크 정리를 증명해보자.

작은 사각형을 xy 평면에 놓자. 이 사각형을 편의상 좌표축에 수평과 수직하게 놓고 벡터로 표시했는데 사실 어떤 방향으로 놓든 상관 없다.

What is the meaning of the curl of a vector field at the point of interest? We talked about the flux before. That means the curl of the vector field is equal to the circulation but over a given area.

벡터 C에 대하여 xy 평면상의 폐곡선(사각형)의 선적분 벡터는 벡터 C의 회전(curl, ∇x)과 사각형의 면적 벡터(area vector)의 스칼라 곱(dot product)과 같다. 이를 일반화한 것이 스토크(Stokes' theorem) 정리다.

[W3.2-7]---------------------------------------------------------------

So Stoke's theorem is similar to Gauss' theorem, where the circulation of any vector C around any loop gamma is equal to the surface integral of the curl of C normal to the surface, S, which is bounded by gamma.

So the circulation is equal to the surface integral of the curl of the vector field along the surface. And positive normal, n, is related to the sense of rotation which follows the right hand rule.

* 켈빈-스토크스 정리
스토크스 정리의 고전적인 형태로서 켈빈-스토크스 정리(영어: Kelvin–Stokes theorem)라고도 한다. 3차원 공간상의 (벡터 장을 둘러싼) 폐곡선에서 수행되는 선적분은 스토크스의 정리에 의해 주어진 폐곡선이 둘러싼 임의의 곡면의 면적분으로 변환될 수 있다. 역도 가능하다.

[W3.2-8]---------------------------------------------------------------

발산정리(divergence theorem, = 가우스 정리)와 스토크스 정리(Stokes' theorem,=Circulation)를 모두 배웠으니 이제 재미있는 예를 살펴보기로 한다.

델(del, ∇)과 벡터 곱(cross product)를 취했을 때 0이 되는 장을 컬-프리 장(curl-free fields)이라 한다.

벡터 장의 두 점 (1)과 (2)를 잡고 임의의 서로 다른 두 경로를 그린다. 두 경로에 대해 벡터 장 C의 접선 벡터의 적분(integral of tangential component)이 같다면 상태 함수(state function)가 된다. 상태 함수는 계의 상태에만 의존하고 현재 상태에 도달하기까지의 경로, 즉 과정에는 무관한 함수를 의미한다. 경로 무관 적분(path independent integral)은 앞서 배웠던 대로 정리 1(theorem 1)과 같다.

두 점을 잊는 서로다른 경로를 각각 'a' 와 'b'라고 하고 폐곡선을 Γ (gamma)라고 하자. 스칼라 장(ψ)의 그래디언트(gradient, ∇)를 취한 벡터 장 C가 컬-프리 장이라면 C의 폐곡선(loop)의 순환(circulation)이 0이다.

폐곡선 의 순환(circulation)은 두 경로의 선적분의 합이다. 점 (1)에서 (2)까지 이르는 경로 a가 순방향 이라면, 경로 b 는 역방향이 된다. 그리고 그 합은 위의 컬-프리 장의 조건에 따라 0이다.

따라서, 두 경로의 선적분은 같다.

컬-프리 장에 스토크스 정리를 적용하여 경로 무관 선적분을 증명하였다.

그로부터 다음과 같은 사실을 알게 되었다.

어떤 벡터 장이 컬-프리 라면 이 벡터 장은 그래디언트 해서 얻을 수 있는 스칼라장이 존재한다. 그 역도 성립한다. 즉, 스칼라 장을 그래디언트 하여 얻은 벡터 장은 컬-프리하다.

[W3.2-9]---------------------------------------------------------------